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家里有一个死星的模型,有一天看到凹形碟处的影子形状很像个圆,到底是不是呢?我先证了圆的,然后到一般情况,发现这样一个结论:对于某些形状的曲线形成的旋转体,向垂直轴心的截口(圆的)射去平行光,在旋转体上成的影子边界形状在一个平面内,也就是一个平面截这个旋转体。这个平面是很好确定的。   这是死星(死星地球仪)(附件:273727) 这是证明。其实证明并不难,主要是结论比较有趣 (附件:273728) 要证在一个平面内只要证YOZ平面内点的轨迹共线。不小心用了左手系,问题不大。 (附件:273729) 所以截面函数f(x)的反函数g(x)=r^2+Az^2+Bz 据我考虑到的情况,f(x)可以是:.各种直线 ,中心在z轴上的圆、椭圆、双曲线、抛物线(的一部分)。 所以可以成类似以下的旋转体 (附件:273730) 也就是说光从这些壳的口里射进去,成的影子边界形状在一个平面上。所以假如死星的聚焦碟是球冠的壳,所成的影子形状就是个圆,据计算(不是普遍的)圆的半径和球冠边界的半径相等。但假如侧面曲线不是这些类型的,影子应该就不在一个平面内。     这个有什么用呢?比如说画素描要画一个碗,要画影子,就可以大胆地按圆画吧。

我们不能说这篇文章一定正确,因为用演绎的顺序还是归纳法来安排教学顺序,外国教育界是有分歧的.不过对于觉得数学难学的同学耒说,这篇文章一定会有用. 转帖,原发 matrix67 注:这篇文章里有很多个人观点,带有极强的主观色彩。其中一些思想不见得是正确 的,有一些话也是我没有资格说的。我只是想和大家分享一下自己的一些想法。大家记得保 留自己的见解。也请大家转载时保留这段话。 我不是一个数学家。我甚至连数学专业的人都不是。我是一个纯粹打酱油的数学爱好 者,只是比一般的爱好者更加执着,更加疯狂罢了。初中、高中一路保送,大学不在数学专 业,这让我可以不以考试为目的地学习自己感兴趣的数学知识,让我对数学有如此浓厚的兴 趣。从 05 年建立这个 Blog 以来,每看到一个惊人的结论或者美妙的证明,我再忙都会花 时间把它记录下来,生怕自己忘掉。不过,我深知,这些令人拍案叫绝的雕虫小技其实根本 谈不上数学之美,数学真正博大精深的思想我恐怕还不曾有半点体会。 我多次跟人说起,我的人生理想就是,希望有一天能学完数学中的各个分支,然后站在 一个至高点,俯瞰整个数学领域,真正体会到数学之美。但是,想要实现这一点是很困难 的。最大的困难就是缺少一个学习数学的途径。看课本?这就是我今天想说的——课本极其 不靠谱。 这个我深有体会。最近两年,我一直在做初中数学培训,有了一些自己的看法。数学教 育大致

   在所有周长相等的长方形中,正方形拥有最大的面积;在所有周长相等的平面图形中,圆拥有最大的面积;在所有表面积相等的长方体中,正方体拥有最大的体积;在所有表面积相等的立体图形中,球拥有最大的体积。所有这类问题的答案都是越对称的图形越好吗? George Pólya 在 Mathematical Discovery 一书中的第 15 章里举了下面这个例子。     在给定圆周上选取四个点构成一个四边形,那么正方形的面积一定是最大的吗?答案是肯定的。只要有哪个点不在相邻两点之间的圆弧的中点处,我们都可以把它移动到这段圆弧的中点处,使得整个图形的面积变得更大。好了,我们现在的问题是,在球面上选取八个点构成一个顶点数为 8 的多面体,那么正方体一定是体积最大的吗? [align=left]     答案居然是否定的。单位球中的内接正方体,体对角线将会等于球的直径 2 ,那么这个正方体的边长 x 就应该满足 x2 + x2 + x2 = 22 ,解得 x = 2 / √3 。因而,这个正方体的体积就是 (8 / 9) · √3 。现在,让我们再想象这样一种单位球中的内接多面体:作出赤道面上的内接正六边形,再把它的各个顶点与南北极相连,构成一种由两个正六棱锥拼接而成的立体图形。每一个正六棱锥的底面都是一个边长为 1

(附件:155992)几何概率是十九世纪末新发展起来的一门学科,使很多概率问题的解决变得简单而不用运用微积分的知识。然而,1899年,法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖论”(亦称”贝特朗怪论“),矛头直指几何概率概念本身:   在一给定圆内所有的弦中任选一条弦,求该弦的长度长于圆的内接正三角形边长的概率。 悖论分析    解法一: 由于对称性,可预先固定弦的一端。仅当弦与过此端点的切线的交角在60°~ 120° 之间,其长才合乎要求。所有方向是等可能的,则所求概率为1/3 。此时假定端点在圆周上均匀分布。    解法二: 由于对称性,可预先指定弦的方向。作垂直于此方向的直径,只有交直径于1/4 点与 3/4 点间的弦,其长才大于内接正三角形边长。所有交点是等可能的,则所求概率为1/2 。此时假定弦的中心在直径上均匀分布。    解法三: 弦被其中点位置唯一确定。只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内,其长才合乎要求。中点位置都是等可能的,则所求概率为1/4。此时假定弦长被其中心唯一确定。   这导致同一事件有不同概率,因此为悖论。   同一问题有三种不同答案,究其原因在于圆内“取弦”时规定尚不够具体,不同的“等可能性假定”导致了不同的样本空间,具体如下:其中

第一次发帖子,作为初中生写的,可能内容略显幼稚,大家多多提意见哈 各位领导,各位来宾,在这个阳光明媚,春暖花开的日子里,我们在这里,举行关于魏延子午谷之计收益的研讨大会。今天这个会,我们要着重谈一谈,数千年来争议不断的魏延的子午谷的出奇兵的问题的问题的问题,关于这个问题,有的银支持,有的银反对,但都是泛泛而谈,难以驳倒对方。那么此计失败和成功的机率到底有多少?值不值得为了那一点点成功的几率而冒这个大险?诸葛亮当时到底是否应该采纳此条建议呢?现在的科学研究,怎么都讲究个定量分析,所以,同志们,今天我们尝试用数学建模的方法对其进行定量分析,用数字来说明问题。 一.北伐成败的量化指标: 首先,我们先分析一下北伐的几种结果,我们认为可以归纳为以下七种: 1.大胜,即围歼对方主力或斩杀敌军统帅,如关羽水淹七军,如击毙司马懿。得5分。 2.小胜,即击溃或歼灭敌方一部,取得物质上的收获,或者斩杀对方大将,取得士气上的收获。得1分。 3.无功,即双方战果基本一样。得0分。 4.小败,部队受到小的损失,伤亡数千人。得-1分。 5.大败,部队损失超过数万人。得-5分。 6.完胜,即攻取长安并站住脚,大大改善蜀汉的战略态势。得20分。 7.完败,即主力覆没,甚至于丢失汉中等重要据点,大大伤及蜀汉的元气,得-20分。 二.诸葛亮六次北伐的战果: 第一次:先胜而后败,折了马谡,失了孟达,

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