号称的七大数学难题
ccaia2007/03/26科学技术学 IP:四川

美国麻州的克雷(Clay)数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事:对七个“千僖年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。以下是这七个难题的简单介绍。
  “千僖难题”之一:P(多项式算法)问题对NP(非多项式算法)问题 

  在一个周六的晚上,你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安,你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说,你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟,你就能向那里扫视,并且发现你的主人是正确的。然而,如果没有这样的暗示,你就必须环顾整个大厅,一个个地审视每一个人,看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是,如果某人告诉你,数13,717,421可以写成两个较小的数的乘积,你可能不知道是否应该相信他,但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803,那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧,判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证,还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解,被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克(StephenCook)于1971年陈述的。   

  “千僖难题”之二: 霍奇(Hodge)猜想

  二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上,我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用,使得它可以用许多不同的方式来推广;最终导至一些强有力的工具,使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是,在这一推广中,程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下,必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言,对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说,称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。  

  “千僖难题”之三: 庞加莱(Poincare)猜想

  如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带,那么我们可以既不扯断它,也不让它离开表面,使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面,如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上,那么不扯断橡皮带或者轮胎面,是没有办法把它收缩到一点的。我们说,苹果表面是“单连通的”,而轮胎面不是。大约在一百年以前,庞加莱已经知道,二维球面本质上可由单连通性来刻画,他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难,从那时起,数学家们就在为此奋斗。  

  “千僖难题”之四: 黎曼(Riemann)假设

  有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质,例如,2,3,5,7,等等。这样的数称为素数;它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中,这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式;然而,德国数学家黎曼(1826~1866)观察到,素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。著名的黎曼假设断言,方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。  

  “千僖难题”之五: 杨-米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口

  量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前,杨振宁和米尔斯发现,量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨-米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实:布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此,他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是,被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设,从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。  

  “千僖难题”之六: 纳维叶-斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性

  起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船,湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信,无论是微风还是湍流,都可以通过理解纳维叶-斯托克斯方程的解,来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的,我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展,使我们能解开隐藏在纳维叶-斯托克斯方程中的奥秘。

  “千僖难题”之七: 贝赫(Birch)和斯维讷通-戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想

  数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答,但是对于更为复杂的方程,这就变得极为困难。事实上,正如马蒂雅谢维奇(XXXXXXXtiyasevich)指出,希尔伯特第十问题是不可解的,即,不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时,贝赫和斯维讷通-戴尔猜想认为,有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是,这个有趣的猜想认为,如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解),相反,如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。

来自:科创总论 / 科学技术学
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~~空空如也
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17年3个月前 IP:未同步
17953

国际数学界关注上百年的重大难题——庞加莱猜想,近日被科学家完全破解。哈佛大学教授、著名数学家、菲尔兹奖得主丘成桐3日在中国科学院晨兴数学研究中心宣布,在美、俄等国科学家的工作基础上,中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学兼职教授曹怀东已经彻底证明了这一猜想。

“这就像盖大楼,前人打好了基础,但最后一步——也就是‘封顶’工作是由中国人来完成的。”丘成桐说,“这是一项大成就,比哥德巴赫猜想重要得多。”

“这是第一次在国际数学期刊上给出了猜想的完整证明,成果极其突出。”数学家杨乐说。

在美国出版的《亚洲数学期刊》6月号以专刊的方式,刊载了长达300多页、题为《庞加莱猜想暨几何化猜想的完全证明:汉密尔顿-佩雷尔曼理论的应用》的长篇论文。

任何一个封闭的三维空间,只要它里面所有的封闭曲线都可以收缩成一点,这个空间就一定是一个三维圆球--这就是法国数学家庞加莱于1904年提出的猜想。庞加莱猜想和黎曼假设、霍奇猜想、杨-米尔理论等一样,被并列为七大数学世纪难题之一。2000年5月,美国的克莱数学研究所为每道题悬赏百万美元求解。

100多年来,无数的数学家关注并致力于证实庞加莱猜想。20世纪80年代初,美国数学家瑟斯顿教授因为得出了对庞加莱几何结构猜想的部分证明结果而获得菲尔兹奖。之后,美国数学家汉密尔顿在这个猜想的证明上也取得了重要进展。2003年,俄罗斯数学家佩雷尔曼更是提出了解决这一猜想的要领。

运用汉密尔顿、佩雷尔曼的理论,朱熹平和曹怀东第一次成功处理了猜想中“奇异点”的难题,发表了300多页的论文,给出了庞加莱猜想的完全证明。

从去年9月底至今年3月,朱熹平和曹怀东应邀前往哈佛大学,以每星期3小时的时间——连续20多个星期、共约70个小时——向包括哈佛大学数学系主任在内的5位数学家进行讲解,回答了专家们提出的一系列问题。

丘成桐指出,这一证明意义重大,将有助于人类更好地研究三维空间,对物理学和工程学都将产生深远的影响。(据新华网,2006年6月)

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ccaia作者
17年3个月前 IP:未同步
17954

看看中国数学爱好者有多厉害

中国数学狂人宣称破解四大数学难题

貌似简单,爱好者们着魔般趋之若鹜。条件严苛,尺规无法作出关键线段

两千多年前的古希腊,流传出三大几何难题———用没有刻度的直尺和圆规将任意一个角三等分;已知任意一个圆,画一个面积和它相等的正方形;已知任意一个立方体,画另一个体积是它2倍的立方体。

  无数爱好者对此跃跃欲试,却始终无人能够破解。18世纪,三大难题被数学界判下“死刑”,宣告无解。然而,痴迷者却从未停下过“破解”的脚步……

  不久前,一位60岁的数学爱好者召开了“3800年世界顶级四大数学难题破解会”,声称自己一梦醒来相继破解了千年数学顶级难题。

  世界古代数学史上曾存在四大几何问题:用无刻度的直尺、圆规“三等分任意角”、“化圆为方”、“做2倍立方体”和“做正十七边形”。

  不久前,一位60岁的数学爱好者崔荣琰称自己一梦醒来相继破解了流传数千年的数学顶级难题。他召开了“3800年世界顶级四大数学难题破解会”,并公布自己对四大顶级数学难题的破解方法。

  对此,所有受邀的数学家全都没有出席现场会。事实上,早在18世纪,数学界就对其中的前三题判了“死刑”。但该数学爱好者声称他将参加2010年世界数学家大会,以证明自己解法的正确性。

  三大几何难题为何无解?为何为其着迷、欲证其可解的人不断涌现?究竟是怎样的魅力使数学爱好者们不信“无解”而趋之若鹜?

  三道几何难题流传千年,貌似简单,吸引无数爱好者趋之若鹜

  三大几何难题源起古希腊,迄今已经有着数千年的历史。 清华大学数学科学系一位郑姓教授告诉记者,从表面上看,古希腊三大几何难题似乎非常简单。

  “三等分任意角”,是只用直尺和圆规将任意一个角进行三等分,即分成三个相同度数的角。“化圆为方”,要求只用直尺和圆规画出一个正方形,而该正方形的面积要等于任意一个已知的圆的面积。“2倍立方体”,即已知任意一个立方体,要求只用直尺和圆规作出另一个立方体,使它的体积是已知立方体的两倍。

  这三个问题的表述直观而通俗,无数专家和爱好者深受吸引,为之绞尽脑汁。上千年的时间流过,始终没有一个人能够得到答案。

  “越是表述简单的世界级难题,越是使数学爱好者们趋之若鹜。然而,难题早已被科学家通过严密的数学逻辑理论证明是‘无解’的。”郑教授说。1755年,法国科学院面向全世界对这三道几何题判了“死刑”———宣告无解。1882年,数学家们证明了这三道死题为何不可解。

  而事实上,有大量的爱好者还是无法相信难题“无解”,他们始终认为所谓的“无解”不过只是一时找不到适当的作图法而已。

  古希腊人对几何作图的限制非常严苛,成为破解三大难题的拦路虎

  郑教授告诉记者,貌似简单的几个问题其实有着极其苛刻的条件。

  据介绍,古希腊人在几何作图方面的限制非常严苛。他们要求,作图只能使用圆规和无刻度的直尺,而且只能有限次地使用。其间,直尺和圆规的使用必须符合规范,不能在直尺上做记号,更不能够折叠作图纸。

  然而,用直尺及圆规通常只能做三件事,即将两点连接成为一条直线,以一个点为圆心、一定长为半径画圆,得到两条直线、两个圆,或者一条直线和一个圆的交点。而且每一个步骤只能完成这三件事中的一件。

  正是这些苛刻的规定成为一道高不可攀的城墙,挡在了问题的前面。

  破解三大难题的线段,无法通过尺规作图得到,难题最终成为死题

  其实,三大几何难题的玄机已经被代数方法所识破。

  根据加、减、乘、除、乘方、开方等六种代数运算,在三道题中,“化圆化方”要求这样一个数———它与自身的乘积必须等于圆周率π,π是一个介于3.1415926和3.1415927之间的无限不循环小数。“2倍立方体”要求的数则必须满足连续两次乘以它自身等于2,即这个数的值为3。而“三等分任意角”要找的是一个与三角函数有关的三次方程的解。

  换句话来说,只有严格按照作图要求画出一些线段,其长度为任意一条已知线段长度的3倍,倍……,才能够解决三大几何难题。

  然而,并非所有长度的线段都能按要求用尺规作出来,尺规只可作出已知线段长度通过有限次地加、减、乘、除、开平方所能计算出来的数。

  三大几何难题求解的这些数,并不能通过尺规作图得到。所以,这三道题从本质上不可能实现,最终也就被宣判为“死题”。

  郑教授强调,三大几何难题的表述很简单、直观,正因为如此,很容易激发一些数学爱好者的挑战性和好奇性,而在尝试的过程中,恰好在某些特殊的条件下证明成功,更加误以为自己能彻底解决。

  ●延伸阅读

  古希腊三大难题从何而来

  “三等分任意角”、“化圆为方”、“2倍立方体”问题至今有着上千年的历史。

  相传大约在公元前430年,古希腊的雅典流行着黑死病。为了消除灾难,雅典人向太阳神阿波罗求助,阿波罗提出要求,必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍,否则疫病会继续流行。雅典人百思不得其解,即使当时最伟大的学者柏拉图也感到无能为力。这就是三大几何难题之一的“2倍立方体”问题。

  第二大难题“化圆为方”问题由一个名叫安拉客萨歌拉的才子提出。相传公元前5世纪,安拉客萨歌拉对别人说:“太阳并非一尊神,而是一个非常大非常大的大火球。”结果被他的仇人以亵渎神灵的罪名给关在牢里。也许是为了打发无聊的铁窗生活,抑或是为了发泄一下自己不满的情绪,于是他提出了一个数学问题:“怎样做出一个正方形,才能使它的面积与某一个已知圆的面积相等呢?”

  至于“三等分任意角”问题的提出,人们普遍认为也许比前两个几何问题出现得更早,但是历史上找不出有关来源的记载。

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ccaia作者
17年3个月前 IP:未同步
17955

媒体的口吻总是这样有特色:

重庆一七旬翁苦证5年 破解数学难题

周文洁,重庆晨报。

一有空闲,陈敏道老人就坐在桌前研究。

  一道举世公认的数学难题,让众多数学家陷入困境,而重庆老人陈敏道却凭借坚强毅力,花5年时间尝试过百余种方法求 高中留下遗憾
“50多年来,这道题一直是我心中的困惑。”今年74岁的陈敏道老人回忆与这道数学题的“相遇”,仍是记忆犹新:上世纪50年代,自己在安徽合肥一中读书,偶然从课外书上看到这道题目为“用一把圆规和一把直尺,经过有限步骤,把任意一个已知角分为三等分”的几何题。

后来,陈老从《数理天地》杂志上得知,这原来是举世公认的三大数学难题之一。

潜心求证5年

大学毕业后,陈敏道分配至綦江齿轮厂研究所工作,一直尝试寻找求证方法,但直到退休,陈敏道仍然没有求解。

“2001年,我干脆回到家中潜心研究这道几何题。”每天5点多钟,陈老就早早地钻出被窝,拿着圆规和直尺趴在地上不停地比划,找到一丁点儿头绪,又立即坐在电脑前求证、修改。

答案有待认证

5年过去了,陈老尝试过百余种不同的方法解题,“有时候一种方法会历时半年,最后关头行不通,又是竹篮打水一场空。”陈老说,因为每天都会长时间地对着电脑,所以视力直线下降。

上个月,陈老终于凭借自己考虑了两个月的“渐开线展成法”找出答案,为了证明方法的通用性,还换了多种度数的角论证,仍然正确。

事后,记者从市内高校多名数学教授处了解到,陈老解答的题确实是一道举世公认的数学难题,解答步骤是否正确,需要国内权威部门的认证。

为此,陈老已求助本报966966热线,面向全市邀请几何爱好者共同探讨,看自己的求证方法是不是还存在破绽。

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o1911
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17956

[quote]国际数学界关注上百年的重大难题——庞加莱猜想,近日被科学家完全破解。哈佛大学教授、著名数学家、菲尔兹奖得主丘成桐3日在中国科学院晨兴数学研究中心宣布,在美、俄等国科学家的工作基础上,中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学兼职教授曹怀东已经彻底证明了这一猜想。[/quote]

Poincare猜想完全是别人俄罗斯人Perelman解决的,只是由于这个天才数学家性情孤僻、离群索居,发了三篇简短的证明论文之后,便又消失在数学界的视野之外,而整个数学界被这三篇艰深的证明论文整得全都挠头,Perelman把证明过程写得极为简洁,很多正确的证明步骤中间过程省略……所以整个验证工作迟迟没有完成。

朱和曹做的事情就是把别人论文中懒于罗列的步骤补出来,然后又发表一遍,却厚颜无耻的声称是自己证明的 [em04][em04][em04],相当于是抄了成绩好的同学的作业,然后还说是自己做出来的……不要脸...

最后最有说服力的是,Fields奖颁给了Perelman——如众望所归...,而出人意料的是,Perelman根本不屑于这些世俗名利,他又一次拒绝了Fields奖.

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o1911
17年3个月前 IP:未同步
17957

[quote]媒体的口吻总是这样有特色:

重庆一七旬翁苦证5年 破解数学难题

周文洁,重庆晨报。

一有空闲,陈敏道老人就坐在桌前研究。

  一道举世公认的数学难题,让众多数学家陷入困境,而重庆老人陈敏道却凭借坚强毅力,花5年时间尝试过百余种方法求 高中留下遗憾
“50多年来,这道题一直是我心中的困惑。”今年74岁的陈敏道老人回忆与这道数学题的“相遇”,仍是记忆犹新:上世纪50年代,自己在安徽合肥一中读书,偶然从课外书上看到这道题目为“用一把圆规和一把直尺,经过有限步骤,把任意一个已知角分为三等分”的几何题。

后来,陈老从《数理天地》杂志上得知,这原来是举世公认的三大数学难题之一。

潜心求证5年

大学毕业后,陈敏道分配至綦江齿轮厂研究所工作,一直尝试寻找求证方法,但直到退休,陈敏道仍然没有求解。

“2001年,我干脆回到家中潜心研究这道几何题。”每天5点多钟,陈老就早早地钻出被窝,拿着圆规和直尺趴在地上不停地比划,找到一丁点儿头绪,又立即坐在电脑前求证、修改。

答案有待认证

5年过去了,陈老尝试过百余种不同的方法解题,“有时候一种方法会历时半年,最后关头行不通,又是竹篮打水一场空。”陈老说,因为每天都会长时间地对着电脑,所以视力直线下降。

上个月,陈老终于凭借自己考虑了两个月的“渐开线展成法”找出答案,为了证明方法的通用性,还换了多种度数的角论证,仍然正确。

事后,记者从市内高校多名数学教授处了解到,陈老解答的题确实是一道举世公认的数学难题,解答步骤是否正确,需要国内权威部门的认证。

为此,陈老已求助本报966966热线,面向全市邀请几何爱好者共同探讨,看自己的求证方法是不是还存在破绽。

[/quote]

那些杜撰这些文章的记者连x,y,z都不懂,文盲……可怜的文科生...[em18][em18]

三等分角的作图群不存在有限表示群,所以根本就做不出来...

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o1911
17年3个月前 IP:未同步
17958

笑死人,让中国人遗臭万年的中国人...

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q13247217299
16年11个月前 IP:未同步
17959
[公告]

本人已破解了``怎样用一把无刻度的直尺和一圆规将一个角分成三等份的难题 ..

作法如下

`1. 作一任意角∠AOB

、2.以O为圆心,任意长为半径作弧,交OA于C,交OB于D,连接CD。

.3.将直尺一端始终紧靠O点,直尺通过线段CD及其所对的弧。

4.以C为圆心作弧,必然与CD及CD所对的弧有交点,移动直尺直到以C点为圆心所作的半径与直尺边缘靠拢时这时与CD及CD所对的弧的两个交点


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q13247217299
16年11个月前 IP:未同步
17960

本人已破解了``怎样用一把无刻度的直尺和一圆规将一个角分成三等份的难题 ..

作法如下

`1. 作一任意角∠AOB

、2.以O为圆心,任意长为半径作弧,交OA于C,交OB于D,连接CD。

.3.将直尺一端始终紧靠O点,直尺通过线段CD及其所对的弧。

4.以C为圆心作弧,必然与CD及CD所对的弧有交点,移动直尺直到以C点为圆心所作的半径与直尺边缘靠拢时这时与CD及CD所对的弧的两个交点

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