一篇关于数学学习的文章,G+上看到的
虎哥2012/03/26数学 IP:四川
我们不能说这篇文章一定正确,因为用演绎的顺序还是归纳法来安排教学顺序,外国教育界是有分歧的.不过对于觉得数学难学的同学耒说,这篇文章一定会有用.

转帖,原发 matrix67

注:这篇文章里有很多个人观点,带有极强的主观色彩。其中一些思想不见得是正确 的,有一些话也是我没有资格说的。我只是想和大家分享一下自己的一些想法。大家记得保 留自己的见解。也请大家转载时保留这段话。

我不是一个数学家。我甚至连数学专业的人都不是。我是一个纯粹打酱油的数学爱好 者,只是比一般的爱好者更加执着,更加疯狂罢了。初中、高中一路保送,大学不在数学专 业,这让我可以不以考试为目的地学习自己感兴趣的数学知识,让我对数学有如此浓厚的兴 趣。从 05 年建立这个 Blog 以来,每看到一个惊人的结论或者美妙的证明,我再忙都会花 时间把它记录下来,生怕自己忘掉。不过,我深知,这些令人拍案叫绝的雕虫小技其实根本 谈不上数学之美,数学真正博大精深的思想我恐怕还不曾有半点体会。

我多次跟人说起,我的人生理想就是,希望有一天能学完数学中的各个分支,然后站在 一个至高点,俯瞰整个数学领域,真正体会到数学之美。但是,想要实现这一点是很困难 的。最大的困难就是缺少一个学习数学的途径。看课本?这就是我今天想说的——课本极其 不靠谱。

这个我深有体会。最近两年,我一直在做初中数学培训,有了一些自己的看法。数学教 育大致分成三个阶段,看山是山看水是水,看山不是山看水不是水,看山是山看水是水。

最早数学教育就是,教你几个定理,告诉你它们是怎么证的,再让你证明一些新的定 理。

后来的要求就变了:光学数学不够,还要用数学。数学教育已经上升了一个层次:大家 要把数学用到生活中去,解释生活中的现象。一时间,课本也好,中考题也好,全是与生活 实际紧密联系的数学应用题,仿佛放眼望去身边真的处处都是数学一样。商场卖货,书店卖 书,农民耕地,工人铺砖,再一次涌现在了课本、教辅书和考试题里。其实,数学可以解释 生活,只是我们并不会这样去做。生活的变量太多,再强大的数学模型也不可能考虑到一 切。对于平常人来说,真正能用到数学的地方,也就只有算算帐了。

总有一天,数学教育会拔高到第三层:返朴归真,数学真正牛 B 的还是它本身。你会发 现,那些伟大的数学思想,那些全新的数学理论,最初研究的动机并不是要急于解释我们身 边的某某诡异现象,而是它本身的美妙。线性代数的出现,很大程度上要归功于神奇的 Cramer 悖论;群论的诞生,也是 Galois 研究多项式的解的结构时的产物;Euler 创立图 论,源于那个没有任何实用价值的 Königsberg 蛋疼问题;非欧几何的出现,则完全是由于 这个问题本身的魅力。微积分呢?它确实有非常广泛的实用价值,物理学的各种定义都依赖 于微积分;但很可惜,它不是一种具有颠覆性的数学思想。

初一课本讲负数时,反复说负数的实际意义,比如海拔、得分、温度、收支等等,把负 数变成一种真实的存在。其实,这不是人们使用负数的主要动机。负数的价值在于,它可以 把减去一个数变成加上一个负数,很多加加减减复杂到甚至需要分类讨论的东西都能够用一 个式子统一在一起了。比如说小学的盈亏问题:如果每人分 3 个苹果还多 8 个,如果每人 分 5 个苹果则还多 2 个,问有多少人多少苹果?解法是,两种分法多出来的苹果相差 6 个,这是每个人多分了两个苹果引起的,因此一共 3 个人,从而可以算出有 17 个苹果。但 是,如果把问题改成“每人分 3 个就多 8 个,每人分 5 个就少 2 个”该怎么办?上面的公式 就变了,8 不能减 2,要加 2 。因此,小学讲盈亏问题会分“盈亏”、“盈盈”、“亏亏”三种情 况讨论。其实,如果把“少 2 个”理解成“多 -2 个”,问题是一模一样的,之前的公式同样适 用。负数这一新思想立即把三种情况统一在了一起,它们的本质变得一模一样了。

这是我给初一学生讲负数时必讲的例子。这才是负数的意义。这才是课本里应该反复举 例强调的。

某次看到论坛里有人问,群论有什么意思啊?某人回复,群论很有意思啊,只是课本把 它写得没意思了,比方说,讲群论怎么能不讲魔方呢?我不赞同这个回复。数学吸引人的地 方,不在于它在生活中的应用,而在于它本身的美。为什么不讲 Lagrange 定理?为什么不 讲 Sylow 定理?对于我来说,最能吸引我学习一个数学课题的,莫过于一系列非平凡的结 论以及它的精彩证明了。

科幻小说《伤心者》的末尾列举了很多长期以来未得到实际应用的数学理论,不过却没 有说到一个更为极端的例子。数学中的皇冠——数论——2000 年来一直没有任何实际应 用,是最纯粹的数学。直到计算机,尤其是现代密码学的出现,才让数论第一次走出数学, 走进了人们的生活中。是什么在支持数论的研究呢?只能是数学本身了。

在我给初中孩子出几何题时,我都尝试着给出一般性的问题,求证三角形中两边的平均 长度大于第三边上的中线长,求证三角形三条高的倒数和等于内切圆半径的倒数,等等。即 使是纯代数问题和解析几何问题,我也总能编出题目描述简单并且极具挑战性的问题。两数 的和与积相等共有多少个整数解?把直线 y=x 沿 y=2x 翻折后得到的直线方程是什么?在感 受结论之美的同时,他们也会因自己独立解决了一个真正的数学问题而激动。

然而,这还不算教育的主要问题。某次与一个数学专业的同学聊到 Riemann 假设时,对 方说她从没听说过 Riemann 假设。我大吃一惊,数学专业的人怎么可能不知道 Riemann 假设呢?随即明白,这也是拜数学教育所赐。翻开数学课本,总是成套的理论体系,先定义 再证明,说得头头是道。可是,这些东西都是怎么来的呢?在得出这些东西的过程中,数学 家们走了哪些弯路呢?课本上只字不提。课本里从来都只讲什么是对的,却从来不讲什么是 错的。数学考试只会让你证明一个结论,从不会让你推翻一个结论。

2010 年江苏高考数学题因为“太难”备受争议。其中最后一道大题如下:已知 △ABC 的三 边长都是有理数,(1) 求证 cos(A) 是有理数; (2) 求证对任意正整数 n , cos(nA) 是有理 数。其实这道题是一个非常漂亮的好题,描述简单,问题普遍,结论有趣,证明巧妙,中考 题就该这么出。不过我觉得,如果再补上这么一个小问,这道题就真的完美了:证明或推 翻, sin(A) 一定是有理数。当然,问题本身并不难,等边三角形就是一个最简单的反例。 关键在于,推翻一个结论,寻找一个反例,也是数学研究的一个基本能力,而这是中学数学 教育中很少重视的。

于是,在教初中数学时,我布置的每道作业题都无一例外地以“证明或推翻”打头。偶尔, 有些题目真的是需要学生们去推翻它。比方说,证明或推翻,周长和面积都相等的两个三角 形全等。不同的人找到的反例不一样,有的简单有的复杂,有的深刻有的盲目。再用一整节 课的时间逐一讲解并点评大家构造的反例,给孩子们带来的收获远比直接讲题要大得多。

但是,我还没有讲到数学教育中最主要的问题。前段时间去图灵的作译者交流会,期间 和刘江老师简单地聊了几句。刘江老师提到一个网站叫做 Better Explained 。他说,其实 大家没能理解数学之妙,是因为教的时候没教好,数学本来可以讲得更直观,更通俗的。

我非常同意刘江老师的说法。举个例子吧。如果有学生问,质数是什么?老师会说,质 数就是除了 1 和自身以外,没有其它约数的数。不对,这不是学生想要的答案。学生真正 想知道的是,质数究竟是什么?其实,质数就是不可再分的数,是组成一切自然数的基本元 素。 12 是由两个 2 和一个 3 组成的,正如 H 2 O 是由两个 H 原子和一个 O 原子组成的一

样。只是和化学世界不同,算术世界的元素有无穷多个。算术世界内的一切对象、定理和方 法,都是由这些基本元素组成的,这才是质数为什么那么重要的原因。

高中学复数时,相信很多人会纳闷儿:虚数是什么?为什么要承认虚数?虚数怎么就表 示旋转了?其实,人们建立复数理论,并不是因为人们有时需要处理根号里是负数的情况, 而是因为下面这个不可抗拒的理由:如果承认虚数,那么 n 次多项式就会有恰好 n 个根, 数系一下子就如同水晶球一般的完美了。但复数并不能形象地反映在数轴上,这不仅是因为 实数在数轴上已经完备了,还有另外一个原因:没有什么几何操作连做两次就能实现取相反 数。比如,“乘以 3”就代表数轴上的点离原点的距离扩大到原来的三倍,“3 的平方”,也就 是“乘以 3 再乘以 3”,就是把上述操作连做两次,即扩大到 9 倍。同样地,“乘以 -1”表示把 点翻折到数轴另一侧,“-1 的平方”就会把这个点又翻回来。但是,怎么在数轴上表示“乘以 i ”的操作?换句话说,什么操作连做两次能够把 1 变成 -1 ?一个颇具革命性的创意答案便 是,把这个点绕着原点旋转 90 度。转 90 度转两次,自然就跑到数轴的另一侧了。没错, 这就把数轴扩展到了整个平面,正好解决了复数没地方表示的问题。于是,复数的乘法可以 解释为缩放加旋转,复数本身自然也就有了 z = r (cosθ + sinθi) 的表示方式。顺着这个道理 推下去,一切都顺理成章了。复数不但有了几何解释,有时还能更便捷地处理几何问题。

一直对线性代数很感兴趣,于是大学选了线性代数这门课,结果收获几乎为零。原因很 简单,本来期待着来一次大彻大悟,结果学了一个学期,我还是不知道矩阵究竟是什么,矩 阵乘法为什么要这么定义,矩阵可逆又怎么了,行列式究竟表示什么。

直到今天看到这个网页,才看见有人一语道破线性代数的真谛(这也是我终于决定写成 此文的直接原因)。我终于找到了我那一个学期企图寻找的东西。就好像把 x 变成 2 x 一 样,我们经常需要把 (x, y) 变成 (2 x + y, x - 3 y) 之类的东西,这就叫做线性变换。于是才 想到定义矩阵乘法,用于表示一切线性变换。几何上看,把平面上的每个点 (x, y) 都变到 (2 x + y, x - 3 y) 的位置上去,效果就相当于对这个平面进行了一个“线性的拉扯”。
矩阵的乘法,其实就是多个线性变换叠加的效果,它显然满足结合律,但不满足交换 律。主对角线全是 1 的矩阵所对应的线性变换其实就是不变的意思,因此它叫做单位矩 阵。矩阵 A 乘以矩阵 B 得单位矩阵,就是做完线性变换 A 后再做一次线性变换 B 就又变回 去了的意思,难怪我们说矩阵 B 是矩阵 A 的逆矩阵。课本上对行列式的定义千奇百怪,又 是什么递归,又是什么逆序对,还编写口诀帮助大家记忆。其实,行列式的真正定义就一句 话:每个单位正方形在线性变换之后的面积。因此,单位矩阵的行列式当然就为 1,某行全 为 0 的行列式显然为 0 (因为某一维度会被无视掉,线性变换会把整个平面压扁), |A·B| 显然等于 |A|·|B| 。行列式为 0 ,对应的矩阵当然不可逆,因为这样的线性变换已 经把平面压成一条线了,什么都不能把它变回去了。当然,更高阶的矩阵就对应了更高维的 空间。一瞬间,所有东西都解释清楚了。

难以置信的是,如此令人兴奋的东西,我们所用的课本上竟然一点都没有说到!那些开 篇就讲行列式定义的课本,为什么不先把线性变换下的面积当作行列式的定义,再推导出行 列式的计算方法,再来补充说明“其实从逻辑上说,我们应该先用这个计算公式来定义行列 式,然后才说行列式可以用来表示面积”?为了严密性而牺牲了可读性,太不值得了。写到 这里,我真想立即拾起线性代数课本,用全新的眼光重看所有的定义和定理,然后重新写一 份真正的线性代数教材来。

高数课本同样荒唐。主流的高数课本都是先讲导数,再讲不定积分,再讲定积分,完全 把顺序弄颠倒了。好多人学完微积分,虽然已经用得得心应手,但仍然没懂这是怎么回事。 究其原因,还是数学教学的问题。

我理想中的微积分课本则应该是先讲定积分,再讲导数,再讲不定积分。先讲定积分, 不过千万不能用现在的定积分符号,避免学生误认为定积分是由不定积分发展而来的。讲自 古就有的积分思想,讲分割求和取极限的方法,自创一套定积分的符号。然后另起炉灶,开 始讲微分,讲无穷小,讲变化量。最后才讲到,随着 x 一点一点的增加,曲线下方面积的 变化量就是那一条条竖线的高度——不就是这个曲线本身的函数值吗?因此,反过来,为了 求出一个函数对应的曲线下方的面积,只需要找到一个新函数,使得它的微分正好就是原来 那个函数。啪,微积分诞生了。

光讲形式化的推导沒有用。这才是真正把微积分讲懂的方式。严格定义和严格证明应该 放到直观理解之后。只可惜,我还没看到哪本课本是这样写的。

说了这么多,其实总结起来只有一句话:我们学习数学的过程,应该和人类认识数学的 过程一样。我们应该按照数学发展历史的顺序学习数学。我们应该从古人计数开始学起,学 到算术和几何,学到坐标系和微积分,了解每个数学分支创立的动机,以及这个分支曲折的 发展历程。我们应该体会数学发展的每个瓶颈,体会每个全新理论的伟大之处,体会每一次 数学危机让数学家们手忙脚乱的感觉,体会先有直观思维再给出形式化描述的艰难。

可惜,我没有找到任何用这种方式学习数学的途径。

不过也好。既然没有捷径,那就让我自己把那堆形式化的定义和证明通看一遍,然后自 己去体会其中的道理吧。这样看来,我们的教育也没错:先用考试逼着大家把该学的东西都 学了,尽管自己也不知道自己学的是啥;等将来的某一天达到一定高度时,回头看看过去学 的东西,突然恍然大悟,明白了当初学的究竟是什么。这无疑是一件更有乐趣的事情。我希 望有一天能像今天这样,能悟出高等代数究竟在讲什么,能悟出范畴论到底有什么用,能悟 出 Riemann 假设为何如此牛 B,能悟出 Hilbert 空间是什么东西,然后把它们都写下来。
来自:数理化 / 数学
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~~空空如也
20!Dopaminor
12年2个月前 IP:未同步
380250
要是老师都知道就好了。。。   应该搞个教育学开发基地。。  现在的教育。。  真的是个悲剧
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caoyuan9642
12年2个月前 IP:未同步
380270
其实有本书叫做"线性代数应该这么学",里面直到最后一章都根本没有提到行列式的概念。
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婺源寻芳
12年2个月前 IP:未同步
380503
这篇文章写的不错。可惜数学老师们本身搞懂这些的也不多。当然无法传授这些知识。

另外,用汉语学数学也确实吃亏一些。比如质数听起来很抽象,英语prime number就非常口语化。线性代数则更如此。

以前也常纳闷复数是干啥用的。工程上用来代表信号的相位确实很方便。
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cnacd
12年2个月前 IP:未同步
380643
实际上老师也不知道为什么这样,因为他们的老师没有教。
而肯探究到底的人,怎么会去做老师呢。。。。。。。。。
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nm_
12年1个月前 IP:未同步
382297
数学一直不及格的飘过……
每次都会被莫名其妙的框框架架干掉好多分……
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Xyin2016
7年7个月前 IP:江西
826058
据说翻译讲究信达雅,结果就是雅的你脑子还得把自己的语言再翻译一遍。学计算机拿词典看英文版的教材比直接看中文的理解的好,就是这个原因吧。
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7年7个月前 IP:浙江
826066
引用 caoyuan9642:
其实有本书叫做"线性代数应该这么学",里面直到最后一章都根本没有提到行列式的概念。
这本书的最后一章讲了行列式,行列式对于线性代数还是很重要的,但是不应该从行列式入手学习线性代数。
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acmilan
7年7个月前 IP:四川
826074
为什么行列式不翻译成决定因子呢
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rb-sama
7年7个月前 IP:湖北
826109
推荐《数学桥》一书,前段时间买了影印版来看,里面的内容广度非常大。
楼主位提到的问题,在书中都有讲到,读完这本书让我受益匪浅。
强烈推荐给各位数学爱好者阅读,真的是是一本非常不错的数学科普读物。
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novakon
7年7个月前 修改于 7年7个月前 IP:广东
826278
作为亲历者,国内大学的高数、线代课本之烂,已经成为共识……

学了这么多年数学,觉得数学的作用就是一门语言。工程上的各种问题,用数学语言来描述要比用自然语言更准确、更简练,更节省大脑的抽象开销。提高了描述问题的效率,也就提高了沟通和解决问题的效率。

既然是语言,自然要尊重语言学习的规律。国内教材的作者在践踏这些规律的同时,也践踏了无数学生对数学的信心。
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D1729
7年3个月前 修改于 7年3个月前 IP:广东
829791
文章中提到的关于复数和线性代数的部分,前不久在国内教材《线性代数》(李尚志著)里看到了,讲得略没有那么详细,然而当时激动的心情已经难以言表。

然后去了文章里提到的Better Explained看了一下午,我已经想去数学系了。。。
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