质数与合数
质数与合数
    我看了网上关于《质数与合数》的视频后,我感到非常痛心。痛心的是我们在对下一代的培养上,难道只能给她们灌输最原始的方法吗?我也知道这些老师们的讲座来源于教科书。难道我们的教科书就不能接收一点新的、先进的知识吗?先进的知识为什么非得分官科与民科呢?应该本着谁的方法最先进就用谁的。
    老师们在讲解中是寻找100以内的质数与合数,是把100以内的数字全部写出来后进行筛选,我下面讲的是寻找210之内的全部质数,请大家比较一下100与210,看谁取的数字少?方法更好?
    一、基本概念
    质数,只能被1和自身数整除的整数,叫质数,(自然数1不是质数)。也就是说,质数是除了能被1和自身数整除外,不能被其它任何数整除的整数。
    合数,除了能被1和自身数整除外,还能被其它数整除的整数,叫合数。
    我们把自然数分为两种等差数列:合数等差数列与能够产生质数的等差数列:
    在整数递增等差数列中,当首项能被公差或公差分解出来的质数整除时,该等差数列只有首项可以为质数,其它项皆为合数,除去首项的质数外,我们称它为合数等差数列。
    在整数递增等差数列中,当首项不能被公差或公差分解出来的所有质数整除时,该等差数列是能够产生质数的等差数列。能够产生质数的等差数列并不是说它的每一项都是质数。
    二、具体寻找方法
    具体寻找方法,分为两个方面:放,收。
    我们以210以内为例:
    第一个质数2,2以内有两个数1和2,以质数2为公差,把自然数分为两个等差数列:1+2N和2+2N,其中,1+2N是能够产生质数的等差数列。
    第二个质数3,我们将1+2N按质数3的值取3项(下同):1,3,5.用前面等差数列的首项1*3=3,即,3为这3个数中的删除数(下同),删除后剩余1和5为首项,以2*3=6为公差,组成两个能够产生质数的等差数列:1+6N,5+6N。
    第三个质数5,我们将前面的两个等差数列各取5项:
    1+6N有,1,7,13,19,25,
    5+6N有,5,11,17,23,29,
    删除数为首项数乘以5,即1*5=5,5*5=25,删除后剩余8个数为首项,以2*3*5=30为公差组成8个能够产生素质数的等差数列。
    第四个质数7,我们将前面的8个数列各取7项:
    1+30N有,1,31,61,91,121,151,181,
    7+30N有,7,37,67,97,127,157,187,
    11+30N有,11,41,71,101,131,161,191,
    13+30N有,13,43,73,103,133,163,193,
    17+30N有,17,47,77,107,137,167,197,
    19+30N有,19,49,79,109,139,169,199,
    23+30N有,23,53,83,113,143,173,203,
    29+30N有,29,59,89,119,149,179,209.
    这就是放,这种放以所寻找的范围为限,用这种方法可以无限地延续下去。
    下面就是收:
    因为,我们所取的范围是210以内,因210开平方约等于14,即在210之内的数中删除小于14的质数的倍数的数后,剩余的数(除了1)就是质数。上面8*7=56个数中,已经删除了能被2,3,5整除的数,还存在能被7,11,13整除的合数。
    能被7整除的合数,为首项除了1之外的数(也就是56个数中除了1之外,在210/7之内的数,下同)乘以7的合数:49,77,91,119,133,161,203,
    能被11整除的合数,因210/11≈19,注意:这里是11乘以11到19前面删除后的剩余数(注意:不能理解为56个数中11到19中的数,因为,在寻找大范围时,在这个期间存在前面质数倍数的合数,是前面质数删除了的,其乘积没有具体的数可删除。下同)为删除合数。这里为121,143,187,209,
    能被13整除的数,因210/13≈16,即13乘以13到16前面剩余的数,这里只有13*13=169.
    在这表中8*7=56个数中,有56-7-4-1-1+3=46个质数,7是能被7整除的合数,4是能被11整除的合数,前1是能被13整除的合数,后1是自然数1,3是指组成公差30的3个质数2*3*5=30.
    在210之内共有46个质数,1个自然数1,210-46-1=163个合数:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,
    说明:
    1,这里的210之内所涉及的数字,比老师们讲的100之内涉及的数字少。
    2,这里所删除的合数,是一一对应关系,即一个乘法题得出,而不是一个合数除以它根号以下的所有质数得出,对于质数根本不须要再考虑验证的问题。
    3,这种方法适应于大范围内质数的寻找,范围越大,范围内所涉及的数字与范围的比值越小。
    不是人类还没有寻找到直接计算质数的方法吗?而这种方法寻找到的质数个数比删除数还要多,而一个删除数只须要一个乘法运算搞定,所以,这种方法应该比人类未来寻找到的质数计算方法更简单。
                            四川省三台县工商局 王志成。
来自:非主流科学 / 江湖科学技术
神临天下
6年7个月前
1楼
因为,这是最省钱的办法。
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山吹绿
6年7个月前
2楼
数学贴 要顶!!!!!!
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wangzc1634作者
6年7个月前
3楼
             实践与先进性
因为,我们追求的是最先进,最完美的方法,所以,希望您能提出最合理的修改意见和建议.
一,实践,即,删除数与素数,范围与所取之数的具体情况.
素数2,删除1个数2,2是素数;剩余1+2N数列.
素数3,删除1(为前面的数列个数*1,下同)个数3,3是素数;剩余1+6N和5+6N为2个数列;
素数5,删除2个数5,25,其中5是素数;剩余8个数,以30为公差组成8个等差数列.
素数7,删除8个数,即在正文的表中删除8个数,其中7是素数,删除后表中剩余1*2*4*6=48个数,以210为公差组成48个等差数列.
为了说明问题,我们在这里进行了4个“收”的总结,您可以一直“放”到您所需要的计算范围时再最后收.
[文中的收也就是从这里开始,48个数中1不是素数,48-1=47,47中不包括前面删除的4个素数,47+4=51,而210中实际素数为46个,即,还应删除51-46=5个合数,到这里小计删除数17个,寻找到了46个素数,在210个数中实际取的数字为12+48=60个.所取数字与范围内数字比为60/210≈0.2857,删除数与素数比为17/46≈0.3696.]
素数11,删除48个数,其中11是素数,删除后剩余480个数为首项,以2310为公差组成480个等差数列.
[480个数中1不是素数,480-1=479,479中不包括前面删除的5个素数,479+5=484,而2310中实际素数为343个,即,还应删除484-343=141个合数,到这里小计删除数60+141=201个,寻找到了343个素数,在2310个数中实际取的数字为60+480=540个.所取数字与范围内数字比为540/2310≈0.2338,删除数与素数比为201/343≈0.5860]
素数13,删除480个数,其中13是素数,删除后剩余5760个数为首项,以30030为公差组成5760个等差数列.
[5760个数中1不是素数,5760-1=5759,5759中不包括前面删除的6个素数,5759+6=5765,而30030中实际素数为3248个,即,还应删除5765-3248=2517个合数,到这里小计删除数540+2517=3057个,寻找到了3248个素数,在30030个数中实际取的数字为540+5760=6300个.所取数字与范围内数字比为6300/30030≈0.2098,删除数与素数比为3057/3248≈0.9412.]
素数17,删除5760个数,其中17是素数,剩余92160个数为首项,以510510为公差组成92160个等差数列.
[92160个数中1不是素数,92160-1=92159,92159中不包括前面删除的7个素数,92159+7=92166,而510510中实际素数为42331个,即,还应删除92166-42331=49835个合数,到这里小计删除数6300+49835=56135个,寻找到了42331个素数,在510510个数中实际取的数字为6300+92160=98460个.所取数字与范围内数字比为98460/510510≈0.1099;删除数与素数比为56135/42331≈1.3261.]
从这里看取数字与范围内数字比,从28.57%降到10.99%,说明我们不断地降低了所取数,减少了无用功;删除数与素数比36.96%上升到132.61%.表明我们每得到一个素数缓慢地升到1.3261个乘法运算,但是,因√510510≈714,而741内有127个素数,小于714的最大的素数为709,因709*709=502681,即,使用老方法从502681到510510每寻找一个素数,至少要用这个数除以2到709这127素数才能确定它是否是素数,即,127个除法题与1.33个乘法题相比,还是先进多了,还不包括不能直观判断的许多合数都要经过许多除法运算来排除,才能做到范围内的素数一个不漏.
二,先进性,指科学地有机结合.
我们利用合数等差数列与能够产生质数的等差数列,巧妙地把合数等差数列删除,达到最大限度地少写合数出来,减少写出与删除,减少工作量.
我们在这里,从公差含小质数到大质数的合数等差数列,进行依次删除,是因为,含小质数的合数出现的频率比含大质数的合数的频率高,这样最大限度地减少合数的删除频率.
能够产生质数的等差数列的特性,比如说,1+210N,公差210为2*3*5*7,即含质数2,3,5,7,首项为1,1既不能被公差210整除,也不能被公差分解出来的2,3,5,7整除,这是能够产生质数的等差数列的条件;特性是:该等差数列的每一项都既不能被公差210整除,也不能被公差分解出来的2,3,5,7整除.
因为,在2*3*5*7*…*R之内,不能被2,3,5,7,…,R整除的数为1*2*4*6*…*(R-1)个,所以,以这些数字为首项,以2*3*5*7*…*R为公差,能够组成1*2*4*6*…*(R-1)个能够产生质数的等差数列.下面以具体实例进行说明:
在2*3*5=30之内,不能被2,3,5整除的数只有1*2*4=8个,即1,7,11,13,17,19,23,29,以这8个数为首项,以30为公差能够组成8个产生质数的等差数列,是不是以30为公差能够产生质数的等差数列只有这8个呢?如31+30N,47+30N是否符合产生质数的等差数列的条件呢?是符合,但是,这些能够产生质数的等差数列都存在于这8个等差数列之中.
为什么在这种综合性计算中,要将这8个能够产生质数的等差数列一同使用呢?因为,这8个能够产生质数的等差数列包括了大于5的所有质数,缺少任何一个等差数列在计算中都存在质数的遗漏.
为什么这8个能够产生质数的等差数列包括了大于5的所有质数?因为,能够产生质数的等差数列,只有一种功能,它只能排除能被公差分解出来的质数整除的数,这8个等差数列的公差30为2,3,5的乘积,在2*3*5内只有这8个数不能被2,3,5整除,用它们作为首项,以30为公差组成的等差数列中的数包括了所有不能被2,3,5整除的数.又因为,质数是不能被其它质数整除的数,所以,不能被质数2,3,5整除的质数都包括在这8个等差数列之中,而不能被2,3,5整除的质数,就是大于5的所有质数.
(假若是您还想问:按这种说法,我想寻找在M内,不能被3,5,7整除的所有数怎么办?因为,2*4*6=48,首先寻找到3*5*7=105内的这48个不能被3,5,7整除的数为首项,以105为公差,组成48个等差数列,这48个等差数列存在于M之内的数,就是答案.)
公差30为质数2*3*5的乘积,仅大于质数5的质数为7,为什么针对质数7要将这8个等差数列都取7项,而不是4项,5项或8项,9项呢?因为,质数2,3,5,7的最小公倍数为2*3*5*7=210,在210之内不能被2,3,5,7整除的数是一个循环周期,即每210个自然数内不能被2,3,5,7整除的数个数是一样的,只有对这8个等差数列都取7项才能包括一个循环周期内不能被2,3,5整除的所有的数,在这些数中删除能被7整除的数后,才是周期内不能被2,3,5,7整除的所有数,取的项数大于7,超出了循环周期存在重复,小于7项是一个不完整的循环周期.
为什么在8个数列各取7项后,我们确定能被7整除的数必然是这8个数列的首项乘以7呢?因为,210/7=30,在30之内不能被2,3,5整除的数,只有这8个数,其它30=22个数都是能够被2,3,5整除的数,如12,12=2*2*3,即12是能被2和3整除的数,12*7也是能被2和3整除的数,而这8个数列中的数是不能被2,3,5整除的数,即12*7不在这8个等差数列之中,所以,只有7乘以不能被2,3,5整除的数,只有乘以这8个数列的首项才能在这8个等差数列中寻找到具体的数.
还有什么疑问,欢迎大家提出来,我们共同研究.谢谢!!
其实,我们民科没有别的追求,在这方面,只是觉得数学探索好玩而已.
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wangzc1634作者
6年6个月前 修改于 6年6个月前
4楼
如何理解这里出现的两个新名词?
容易理解的是合数等差数列,当等差数列的首项能被公差或者公差分解出来的素因子整除时,该等差数列除了首项可以为质数外,其它项皆为合数.如2+2N和25+30N,这是很明显,很直观的东西.
其实,能够产生质数的等差数列也很容易理解,得转一个弯:
如,公差为2*3*5*7*11=2310时,在公差以内不能被2,3,5,7,11,分别整除的数有1*2*4*6*10=480,以这480个数为首项,以2310为公差能够组成480个能够产生质数的等差数列,这480个等差数列平分大于11的所有质数,我们可以取一段质数表进行说明.
又如,公差为2*5=10时,在10以内不能分别被2和5整除的数为1*4个:1,3,7,9,以这4个数为首项,以10为公差组成4个能够产生质数的等差数列,这4个等差数列平分不包括组成公差的2和5以外的所有质数,打开质数表看尾数就会知道.
因为,平分,即,缺一不可,所以,它是能够产生质数的等差数列.
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