一个很幼稚的问题
阿斯达1232015/08/11数学 IP:甘肃
假设:1+1/2+1/4+1/8+1/16``````+1/n(n代表2的(加数-1)次方,那么理应和<2,可如果加数有无数个,那它的结果应为无数,请问这是为神魔?
鄙人初一,还很肤浅,望高手解答
来自:数理化 / 数学
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~~空空如也
20!Dopaminor
8年9个月前 IP:广东
784535
对半切正方形,然后一半的一半切下去

普通数学问题而已,有兴趣就好。
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香皂火箭q
8年9个月前 IP:山东
784567
二分之一+四分之一+八分之一+十六分之一+……能加到一吗?
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rudolf
8年9个月前 IP:北京
784603
等比数列求和公式
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航模发烧友
8年9个月前 IP:江西
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是一个无限接近于二的数!  不是一个无限的数!
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laji3865689
8年9个月前 IP:浙江
784691
楼主的困惑在于“无限个比0大的数字之和为什么不是无限大”。
答案先说:有时无限大,有时不是无限大。
解释在此:如果这一系列的数字都是像1,12,0.5,8.9.......等等“普通数字”,它们的和确实是无限大。
但是,如果给这组数字设定一个规律:后一个数总是比前一个小但始终不小于0,例如楼主给出的递减等比数列1,1/2,1/4,1/8...,那么把它们按顺序相加,每加一个数字,总和的增幅就会变小1次,并最终趋向于0。而所谓无限大,必须大于任何具体的数值,然而上述增幅逐渐变0的总和,只要将某一次的增幅人为地改大(比如说1/128改为1/64),就能得到一个比原来的总和更大的数字,可见原来的总和并不是真正的无限大。
打个不太精确的比方:油门踩到底,车速也有个上限,因为加速度是逐渐变小最后趋向0的。

上面说这一通,其实就是楼主将要学到的关于极限的概念(或者已经学到了?)然后教材会从极限引出微分,再引出积分。现在不明白不要紧,大部分人学完微积分都不会明白什么是极限的,这玩意更重要的是“怎么用”,而非“是什么”。
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迪纳米斯
8年9个月前 IP:广西
784721
引用 航模发烧友:
是一个无限接近于二的数!  不是一个无限的数!
正解,用形象的比喻,就像在AB距离=BC=1,然后你从A走到B,越过B点之后,按如下规则前进:每次前进的距离等于到C点剩下的距离的一半,第一步是BC/2即是1/2单位距离,然后停下,在走完剩下路程的1/2,即是1/4单位距离,以此类推,那么每次停下来前方的路程越来越短直至无限小,但是永远有1/2还没走完,也就是永远也到达不了C点。所以极限为2
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阿斯达123作者
8年9个月前 IP:北京
784862
感谢
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兰若,公主魂
8年8个月前 IP:浙江
785320
这样是不是就是微积分了
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Mr.Pretty
8年5个月前 IP:宁夏
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从一加到2的n次方分之一,答案是2-(二分之一的n次方),有一个极限值是2
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rb-sama
7年7个月前 IP:湖北
826110
an=1/2n数列的级数收敛于2,可以通过极限运算出来。
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acmilan
7年7个月前 修改于 7年7个月前 IP:四川
826443
$$1+1/2+1/4+...+1/2^n+...$$才是等于2
$$1+1/2+1/4+...+1/2^n$$等于\(2-1/2^n\)
$$\lim_{n \rightarrow \infty} 1+1/2+1/4+...+1/2^n$$等于2
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kimist
5年8个月前 IP:江苏
850079

”加数有无数个,那它的结果应为无数“——这个无数指的是什么?是无数个结果,还是说结果为无穷大?2000多年前墨子说过”一尺之槌,日取其半,万世不竭“就是你说的这个例子,一个一尺长的杆,每天取其一半,永远也不能穷尽这个过程,但是他们组合起来就是一根杆——这就是量变到质变的过程。所以说,从某个角度来说,数学背后隐藏着哲学。

换句话说,如果你不能理解0.999...(循环)=1,那么就可以理解为何会提出这种问题。到了大学你就会明白原因。

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梧桐雨西岭雪2
5年8个月前 IP:黑龙江
850082

数学上对于无穷(也就是楼主所说的无数)的处理方法是引进极限思想。对于这种无穷多个数相加的情况,可以先考虑n个数相加。鉴于你初一,讲明白是很困难的,大体说一下。等楼主到了高中,会学到数列,所谓数列是指无数个数字按照顺序排成的序列,例如1,2,3,4,5,...;初一应该学过正比例函数,其实数列就是一种特殊的函数。有些数列有规律,它能够写出通项公式,就好比一些函数能用解析式来描述。对于一些特殊的数列,我们考虑它前n项的和(就是数列前n个数加起来)。高斯曾经计算过1加2加3一直加到100的结果,我们可以认为这个是数列1,2,3,4,...前100项的和。高斯的算法是1+2+3+...+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+...+(50+51)=50*101=5050,(提句题外话,这个算法只适用于有限和和收敛的无穷级数,不收敛的不能随便加括号局部结合的。)那么我们可以用类比思想得到前n项和的公式是(1+n)*0.5*n。这里n带表未知量。现在我们考虑无穷个数相加的情形。我们把无穷大当做一个数。那么当n为无穷时(1+n)*0.5*n是什么呢?这里无穷的运算有一套单独的运算方法,这里不再冗述(楼主到大学自然就能学到)。

现在我们回到问题,1+1/2+1/4+1/8+1/16+...+1/2^n相当于数列1,1/2,1/3,...的前n项和,楼主到高中学到等比数列会知道,它的前n项和公式为1*(1-1/2^n)*2,当n为无穷时结果趋近于2。

另,无数(无穷)个数相加不一定是无数(无穷),取决于级数和是否收敛。

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sine5
5年7个月前 IP:北京
850432

原式=2-1/2^n。

因为n趋近于无穷,所以1/2^n=0。

所以原式=2。

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