电气电工电炮技术
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磁阻式电磁炮的最优加速度分配

这篇帖子要解决的问题通俗的讲就是,我是把更多电容放在前面效率高,还是放在后面效率高。

首先把问题变成这个形式:对于一个磁阻式电磁炮,已知弹丸初速为v0,出速为v1(v1>v0)。总加速距离为x1(x1>0)。求如何分配各级的加速度,能使效率最高。

引入一个前提条件:整个系统的电阻损耗功率Pr和加速度a的平方成正比,且与其它变量(比如弹丸正在哪一级的哪个位置)无关,即$P_{r}=k\ a^{2}$

这个前提条件对应的实际情况大概是:弹丸始终在磁饱和状态下;分级足够精细,各级紧密相邻,且各级均带关断与能量回收。

结论是:若加速度$a=(C_{3}\ x+C_{4})^{\frac{1}{3}}$,则效率可能最高。其中C3和C4是和v0,v1,x1有关的常数。

求解过程如下:

以位移为零的时刻为时间起点,即$t|_{x=0}=0$,设位移为x1时,时间为t1(t1不是已知量)。设电阻损耗的总能量为$E_{r}$。则此问题可以描述为如下形式:

在满足固定边界条件$v|_{x=0}=v_{0},\ v|_{x=x_{1}}=v_{1}$的情况下,求函数v(x),使泛函$E_{r}[v(x)]=k\ \int_{0}^{t_{1}} a^{2}\mathrm{d}t$取极小值。

∵$v={\mathrm{d}x}/{\mathrm{d}t},\ a={\mathrm{d}v}/{\mathrm{d}t}$

∴$\mathrm{d}t={\mathrm{d}x}/{v},\ a=v\cdot {\mathrm{d}v}/{\mathrm{d}x}=v\cdot v^{\prime},\  (v^{\prime}={\mathrm{d}v}/{\mathrm{d}x})$

∴$E_{r}[v(x)]=k\int_{0}^{x_{1}}v{\cdot} v^{\prime2}\mathrm{d}x$

设$ G(x,v,v^{\prime})=v\cdot v^{\prime2} $

对于物理可实现的系统,$G(x,v,v^{\prime})$拥有连续的二阶偏导数

∴由欧拉—拉格朗日方程可知,Er取极值的必要条件是

$$G_{v}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}G_{v^{\prime}}=0$$

$$v^{\prime2}+2v{\cdot} v^{\prime\prime}=0$$

这是一个可降阶的二阶微分方程,可以求出

$$v^{\prime}=C_{0}v^{-\frac{1}{2}}$$

进而求出

$$v=(C_{1}x+C_{2})^{\frac{2}{3}}$$

代入边界条件可以求出C1,C2的值,求出的结果形式上比较复杂 ,mathematica给出的结果是这样的,里面可能有些解不符实际需要舍去

pic

求出v(x)后,可以很方便的求出加速度与位置的关系,即a(x)

$$a(x)=\frac{2}{3}C_{1}(C_{1}x+C_{2})^{\frac{1}{3}}=(C_{3}\ x+C_{4})^{\frac{1}{3}}$$

对于常见的初始速度为0的情况,易知C2=0,所以对于这种情况有

$$a=C_{5}\ x^{\frac{1}{3}}$$

所以初速为0时,若加速度与位置的三分之一次方成正比,则可能得到最高的效率。

至此求解完毕

然后说点闲话。记得我之前曾经发过一篇帖子说效率最高的是匀加速,当时没有发解法(当时本来是打算把另一个问题解决之后一起发出来的,后来发现另一个问题解不动……)结果前两天突然发现,我把当时的解法给忘了……然后又翻了一遍书重做了一遍,发现当时的结论不对,估计是边界条件给错了。当然这个也不保证对,毕竟欧拉方程只给出必要条件,是不是充分条件还要另求……而且关于位移,速度,加速度的那个部分我还有点迷糊……

[修改于 25 天前 - 2018-06-23 13:13:36]

1楼

看不懂(´・_・`),等大佬铺好路摸着大佬过河。

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千古风流
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