科创茶话
方向变化的矢量能不能积分?
BSP 2018-11-2

如题,方向变化的矢量能不能积分并且保留方向(就是积出来是矢量)?面积分可以么?

我们物理老师讲动量的时候硬说方向改变的力不能积分。

2018-11-2 12:40:02
1楼

当然可以,不过高中物理中并没有教实用的矢量运算方法(例如两个矢量加减是通过做平行四边形/三角形解出来的),这样做积分显然不太好处理。请参考高中数学中“向量”的处理方法。

另外面积分一般指的是分布在曲面上的矢量在曲面法线方向上的分量对曲面的积分,积分结果是标量。同理还有线积分,指的是在曲线上的矢量在曲线切线上的分量对曲线的积分,结果同样是标量。例如做功就可以表述成物体在不同位置的受力在在物体运动轨迹上的线积分。

至于这个动量的例子,则应当是物体随时间变化的受力对时间的积分,结果为矢量。

[修改于 8 个月前 - 2018-11-02 12:46:13]

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BSP(作者)
2楼
引用:radio 发表于1 楼的内容:
当然可以,不过高中物理中并没有教实用的矢量运算方法(例如两个矢量加减是通过做平行四边形/三角形解出来.....

高中数学也处理不了这个,具体的话要用哪种方法呢?我得给物理老师一个交代。

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3楼

可以积分的

如果我们能够构建在平面/空间中某力在x,y(,z)轴上的分量与时间的关系,例如:

$$F_X = f_X(t) \\ F_Y = f_Y(t)$$

那么我们就可以得到在$t_0,t_0 + \Delta t$时间段内该力的冲量在x,y轴上的分量:

$$I_X = \int_{t_0}^{t_0 + \Delta t} f_X(t) \mathrm{d} t \\ I_Y = \int_{t_0}^{t_0 + \Delta t} f_Y(t) \mathrm{d} t$$

用矢量的坐标形式表示该冲量就是:

$$(I_X,I_Y)$$

以上就是对变力(包括楼主所说的方向改变的力)积分的方法。

我们来看一个例子:

小明拿出溜溜球,靠着神之右臂让以溜溜球在与地面垂直的平面上以手指为中心做圆周运动,周期为+1s的圆周运动,那么溜溜球的所合受外力可以表示为(设$t=0$时溜溜球在最低点,规定向上为正方向):

$$F_X = cos(2 \pi t) \\ F_Y = sin(2 \pi t)$$

那么在第一个周期内的冲量在x,y轴上的分量:

$$I_X  =  \int_{0}^{1} cos(2 \pi t) \mathrm{d} t  =  0 \\ I_Y  =  \int_{0}^{1} sin(2 \pi t) \mathrm{d} t  =  0$$

也就是$\mathbf{I}=0$($\mathbf{I}$表示冲量矢量)

而这个结果与两时间点溜溜球运动状态不变的事实是相符的。

[修改于 7 个月前 - 2018-11-03 09:02:57]

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BSP(作者)
4楼
引用:1160599678 发表于3 楼的内容:
可以积分的如果我们能够构建在平面/空间中某力在x,y(,z)轴上的分量与时间的关系,例如:$$F_X.....

太感谢了。(话说怎么投硬币啊?)

刚刚数学晚自习上我想的就是这个:把矢量方程化成标量方程然后再处理。

其实物理问题很简单:小球在扇形轨道上做匀速率圆周运动,求冲量。


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2018-11-3 09:07:00
5楼
引用:猪啊猪啊我是猪头 发表于4 楼的内容:
太感谢了。(话说怎么投硬币啊?)刚刚数学晚自习上我想的就是这个:把矢量方程化成标量方程然后再处理。其.....

对于你说的这道题,你这样的思路是不恰当的,恰当的方法是根据公式$I=/Delta p$求,而不是对力进行积分。

[修改于 7 个月前 - 2018-11-03 09:07:59]

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