【理论向】丢石头真的是45度最远吗?
谁叫小明 2020-9-4原创 物理科创茶话
中文摘要
抛物线

背景

       

      小朋友们比赛扔石头看谁扔的远,这样的比赛除了比谁的力气大,还要比谁扔的角度好。小朋友便凭着直觉想:如果水平扔石头(与水平方向为0°)那过不了多久石头掉地上了;若向着天空垂直扔石头(与水平方向为90°)那石头不会向前走。那大大概概取个中间值45°可能就刚刚好能扔到最远了吧?(就这? )

       那我们能否用我们高中学的物理和数学知识证明 丢石头向水平方向向上45°处最远 呢?咸鱼了一天的我就给大家演示一遍如何证明小朋友的想法。


本文适合 高中生 观看,建议自行用笔推导。

本文用到高中物理和数学的基础知识,模型是 理想状态 下的情景。



推导过程


1.  首先我们随心所欲地建一个平面坐标系,初速度抛出角度 可变定值 (手绘图像非标准抛物线)

坐标系.png


2.  然后我们可开开心心地分别列出x,y方向上的公式:

1599221616924.jpg


3.  突然间!我看着突如其来的 t0 和 Vy 非常不爽!

     便经过简单的 代入消元 处理可以得到一个 y 方向关于 x 方向上的关系式子

     忽然咱灵光一闪地发现这是一个抛物线模型! (本来抛东西都是抛物线,这也是为什么叫抛物线函数...)

     这样咱可以用我们幼稚园时熟知的二次函数模型进行分析了:

1599222016727.jpg


4.小朋友要求的是怎么抛的最远,就是我们第一张图中的 X什么时候能取得最大,我们有两个方法:

     法1:令 y 为零,用 求根公式 得其中 X2 与 可变定值 的关系(我觉得求根公式不便化简就用 法2 投机取巧)

     法2:我们知道对称轴为 X=-b/2a(此处可 求导 得知此性质)那么 X2 =-b/a (机智!)  由此我们可以得到抛到最远处为:

1599222856058.jpg


5. 小朋友要让 X最大

       首先 V0 是看小朋友的力气大小了

       再是重力加速度 g 咱可以给他选一个海拔较高的地方令其变小从而使得 X2 变大

       最后就是最重要的角度 θ 了, sin2θ 中,当 θ= /4 sin2θ 取得最大,即 45° 时能取得最大值。

     (这时候因为赶着洗澡的我就懒的画一个 sin2x 的图像了)


总结:

1.首先理论上我们证明了丢石头确实是45°时能最远,实际上我们抛出点比掉落点要高,所以实际上稍微小于45度理论上会远于标准45度。(此处不过多解释)

2.理论仅供实践参考,现实中抛出角度的不同会导致使力不一样;空气阻力使得轨迹并非抛物线而是极值点右偏的类抛物线;不一定能抛出45°角......(实际总比理论复杂太多)

3.诚然在现实中确实能通过改变 g 值和 θ 值来抛的更远,但是最最重要的还是我们的 V0 初速度,与其投机取巧,不如咱脚踏实地的锻炼身体让 V0 变的更大来取得比赛中的胜利。


本文仅供参考,为提高各位对各学科的兴趣。

小明学识不深,若有误处定虚心听教,谢谢!


来自:数理化 / 物理科创广场 / 科创茶话
2
UICalc
5个月24天前
1楼

就求解这个简单的匀变速模型,在kc可能有点不够看了。不如加个空气阻力,再试试求解,档次会高很多。

回复
评论
3
加载评论中,请稍候...
200字以内,仅用于支线交流,主线讨论请采用回复功能。
折叠评论
interesting
5个月24天前
2楼

空气阻力大小恒为速度k倍,初速度为v0,方向与地面角度为a,求水平位移与v0和a关系

手动滑稽

回复
评论
1
加载评论中,请稍候...
200字以内,仅用于支线交流,主线讨论请采用回复功能。
折叠评论
浪里黑条
5个月23天前
3楼

0.7kg抬手20米以上 sticker 大力出奇迹,我管他角度不角度的呢(暴论)

回复
评论
12
加载评论中,请稍候...
200字以内,仅用于支线交流,主线讨论请采用回复功能。
折叠评论
虎哥
5个月23天前
4楼
引用浪里黑条发表于3楼的内容
0.7kg抬手20米以上大力出奇迹,我管他角度不角度的呢(暴论)

这是对的,这里面的问题主要是人体工效学,最佳的角度不见得是最能使得上力的角度……

回复
评论
12
加载评论中,请稍候...
200字以内,仅用于支线交流,主线讨论请采用回复功能。
折叠评论
水木年华而似水流年
5个月22天前
5楼

对于这个问题,其实早就有答案,以前的人研究火炮最远射程的问题时理论是45度没错,现实确是31.几度,并非完美的抛物线

回复
评论
加载评论中,请稍候...
200字以内,仅用于支线交流,主线讨论请采用回复功能。
折叠评论
家里蹲
5个月22天前
6楼

用公式模拟过一个,空气阻力也涵盖了,初速草草定了个50,结果45度角抛射的时候还比10度的距离少了3米多

回复
评论
加载评论中,请稍候...
200字以内,仅用于支线交流,主线讨论请采用回复功能。
折叠评论
0
5个月16天前
7楼

最后因为有空气阻力所以可能还是会减小的吧,许多火炮的最大射程角度一般也是30-35度左右吧

回复
评论
加载评论中,请稍候...
200字以内,仅用于支线交流,主线讨论请采用回复功能。
折叠评论
1211
5个月9天前
8楼

谁来实验一下人体用哪个角度扔最省力、初速最快?估计与石头的大小和质量有关。

回复
评论
加载评论中,请稍候...
200字以内,仅用于支线交流,主线讨论请采用回复功能。
折叠评论
浪里黑条
4个月2天前
9楼
引用水木年华而似水流年发表于5楼的内容
对于这个问题,其实早就有答案,以前的人研究火炮最远射程的问题时理论是45度没错,现实确是31.几度,...

这个也跟炮弹的出膛速度有关,记得小时候看过一本书上说,如果出膛速度达到2km/s,最佳角度就变成了52°,可以尽快提升高度以期大幅降阻。

回复
评论
加载评论中,请稍候...
200字以内,仅用于支线交流,主线讨论请采用回复功能。
折叠评论
小千千
2个月17天前
10楼

45度只是理论的

回复
评论
加载评论中,请稍候...
200字以内,仅用于支线交流,主线讨论请采用回复功能。
折叠评论
FGA25N120
2个月17天前
11楼

如果有初始高度,应该是(pi/4-α/2)


回复
评论
加载评论中,请稍候...
200字以内,仅用于支线交流,主线讨论请采用回复功能。
折叠评论
毒狼
1个月8天前
12楼
引用水木年华而似水流年发表于5楼的内容
对于这个问题,其实早就有答案,以前的人研究火炮最远射程的问题时理论是45度没错,现实确是31.几度,...

是为了更好的适应多变的阻力最大程度的提高打击精确度?

回复
评论
加载评论中,请稍候...
200字以内,仅用于支线交流,主线讨论请采用回复功能。
折叠评论
草虫
1个月7天前
13楼

楼主的推导也和我的经验相符合

回复
评论
加载评论中,请稍候...
200字以内,仅用于支线交流,主线讨论请采用回复功能。
折叠评论
五月裂片
1个月6天前
14楼

45°角投掷在理论上谁也驳不倒。楼主说的是特殊情况,比如:用石块砸山沟里的鬼子;用手榴弹炸飞机……

回复
评论
加载评论中,请稍候...
200字以内,仅用于支线交流,主线讨论请采用回复功能。
折叠评论
改装pcp
1个月6天前
15楼

有本书叫实验外弹道的。现在也不知道能不能找出来了。石头的话,空气阻力较大的,发射角度低于45度可达到比较远。大于45度就比较近了。20多年以前用弹弓在湖边验证过了。

回复
评论
加载评论中,请稍候...
200字以内,仅用于支线交流,主线讨论请采用回复功能。
折叠评论

想参与大家的讨论?现在就 登录 或者 注册

%7B%22isDisplay%22%3Atrue%7D

仅供内部学术交流或培训使用,请先保存到本地。本内容不代表科创观点,未经原作者同意,请勿转载。

插入资源
全部
图片
视频
音频
附件
全部
未使用
已使用
正在上传
空空如也~
上传中..{{f.progress}}%
处理中..
上传失败,点击重试
等待中...
{{f.name}}
空空如也~
(视频){{r.oname}}
{{selectedResourcesId.indexOf(r.rid) + 1}}
处理中..
处理失败
插入表情
我的表情
共享表情
Emoji
上传
注意事项
最大尺寸100px,超过会被压缩。为保证效果,建议上传前自行处理。
建议上传自己DIY的表情,严禁上传侵权内容。
点击重试等待上传{{s.progress}}%处理中...已上传
空空如也~
草稿箱
加载中...
此处只插入正文,如果要使用草稿中的其余内容,请点击继续创作。
{{fromNow(d.toc)}}
{{getDraftInfo(d)}}
标题:{{d.t}}
内容:{{d.c}}
继续创作
删除插入插入
{{forum.displayName}}
{{forum.countThreads}}
篇文章,
{{forum.countPosts}}
条回复
{{forum.description || "暂无简介"}}
ID: {{user.uid}}
学术分隐藏
{{submitted?"":"投诉或举报"}}
请选择违规类型:
{{reason.description}}
支持的图片格式:jpg, jpeg, png
插入公式
分享回复:{{shareId}}
加载中...
加载中...
详情
详情
推送到专栏从专栏移除
设为匿名取消匿名
查看作者
回复
只看作者
加入收藏取消收藏
加入关注取消关注
折叠回复
置顶取消置顶
评学术分
鼓励
设为精选取消精选
建议修改
编辑
通过审核
退修或删除
历史版本
违规记录
投诉或举报
加入黑名单移除黑名单
查看IP
{{format('YYYY/MM/DD HH:mm:ss', toc)}}
下载资料
{{fileName}}
大小:{{size}}
下载当前附件将花费 {{costMessage}}
你当前剩余 {{holdMessage}}
{{fileName}}
大小:{{size}}
当前附件免费。
你已购买过此附件,下载当前附件不需要花费积分。
加载中...
{{errorInfo}}
附件已丢失
当前账号的附件下载数量限制如下:
时段 个数
{{f.startingTime}}点 - {{f.endTime}}点 {{f.fileCount}}