【理论向】丢石头真的是45度最远吗?
谁叫小明 2020-9-4原创 物理科创茶话
中文摘要
抛物线

背景

       

      小朋友们比赛扔石头看谁扔的远,这样的比赛除了比谁的力气大,还要比谁扔的角度好。小朋友便凭着直觉想:如果水平扔石头(与水平方向为0°)那过不了多久石头掉地上了;若向着天空垂直扔石头(与水平方向为90°)那石头不会向前走。那大大概概取个中间值45°可能就刚刚好能扔到最远了吧?(就这? )

       那我们能否用我们高中学的物理和数学知识证明 丢石头向水平方向向上45°处最远 呢?咸鱼了一天的我就给大家演示一遍如何证明小朋友的想法。


本文适合 高中生 观看,建议自行用笔推导。

本文用到高中物理和数学的基础知识,模型是 理想状态 下的情景。



推导过程


1.  首先我们随心所欲地建一个平面坐标系,初速度抛出角度 可变定值 (手绘图像非标准抛物线)

坐标系.png


2.  然后我们可开开心心地分别列出x,y方向上的公式:

1599221616924.jpg


3.  突然间!我看着突如其来的 t0 和 Vy 非常不爽!

     便经过简单的 代入消元 处理可以得到一个 y 方向关于 x 方向上的关系式子

     忽然咱灵光一闪地发现这是一个抛物线模型! (本来抛东西都是抛物线,这也是为什么叫抛物线函数...)

     这样咱可以用我们幼稚园时熟知的二次函数模型进行分析了:

1599222016727.jpg


4.小朋友要求的是怎么抛的最远,就是我们第一张图中的 X什么时候能取得最大,我们有两个方法:

     法1:令 y 为零,用 求根公式 得其中 X2 与 可变定值 的关系(我觉得求根公式不便化简就用 法2 投机取巧)

     法2:我们知道对称轴为 X=-b/2a(此处可 求导 得知此性质)那么 X2 =-b/a (机智!)  由此我们可以得到抛到最远处为:

1599222856058.jpg


5. 小朋友要让 X最大

       首先 V0 是看小朋友的力气大小了

       再是重力加速度 g 咱可以给他选一个海拔较高的地方令其变小从而使得 X2 变大

       最后就是最重要的角度 θ 了, sin2θ 中,当 θ= /4 sin2θ 取得最大,即 45° 时能取得最大值。

     (这时候因为赶着洗澡的我就懒的画一个 sin2x 的图像了)


总结:

1.首先理论上我们证明了丢石头确实是45°时能最远,实际上我们抛出点比掉落点要高,所以实际上稍微小于45度理论上会远于标准45度。(此处不过多解释)

2.理论仅供实践参考,现实中抛出角度的不同会导致使力不一样;空气阻力使得轨迹并非抛物线而是极值点右偏的类抛物线;不一定能抛出45°角......(实际总比理论复杂太多)

3.诚然在现实中确实能通过改变 g 值和 θ 值来抛的更远,但是最最重要的还是我们的 V0 初速度,与其投机取巧,不如咱脚踏实地的锻炼身体让 V0 变的更大来取得比赛中的胜利。


本文仅供参考,为提高各位对各学科的兴趣。

小明学识不深,若有误处定虚心听教,谢谢!


来自:物理学 / 物理生活广场 / 科创茶话
1
2020-9-4 22:34:30
1楼

就求解这个简单的匀变速模型,在kc可能有点不够看了。不如加个空气阻力,再试试求解,档次会高很多。

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1
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2020-9-4 23:37:49
2楼

空气阻力大小恒为速度k倍,初速度为v0,方向与地面角度为a,求水平位移与v0和a关系

手动滑稽

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1
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2020-09-05 15:52:28
3楼

0.7kg抬手20米以上 sticker 大力出奇迹,我管他角度不角度的呢(暴论)

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9
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4楼
引用浪里黑条发表于3楼的内容
0.7kg抬手20米以上大力出奇迹,我管他角度不角度的呢(暴论)

这是对的,这里面的问题主要是人体工效学,最佳的角度不见得是最能使得上力的角度……

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5
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2020-09-06 23:17:33
2020-9-6 23:17:33
5楼

对于这个问题,其实早就有答案,以前的人研究火炮最远射程的问题时理论是45度没错,现实确是31.几度,并非完美的抛物线

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2020-09-07 03:00:10
6楼

用公式模拟过一个,空气阻力也涵盖了,初速草草定了个50,结果45度角抛射的时候还比10度的距离少了3米多

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2020-09-12 21:13:47
2020-9-12 21:13:47
0
7楼

最后因为有空气阻力所以可能还是会减小的吧,许多火炮的最大射程角度一般也是30-35度左右吧

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2020-09-19 12:40:04
2020-9-19 12:40:04
8楼

谁来实验一下人体用哪个角度扔最省力、初速最快?估计与石头的大小和质量有关。

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