我关于"物体在一个N维重力场中运动,无论路径,只要初末位置分别相同,重力做功相同。"的一个证明
Resbi
Resbi 2020-9-6原创 物理科创茶话
中文摘要
关于”物体在一个N维重力场中运动,无论路径,只要初末位置分别相同,那么重力做功相同。“的一个证明
Abstract
A proof about "A partical moving in a N-dimension gravity field, if the primary position and the end position are determined, whatever the path it move through, the gravity force do a same work".
关键词
物理微积分
PhysicsCalculus

图文无关(滑稽

人到高三,学业繁忙,无意间想到这个问题,碰巧看了一点绿皮高数,我就试着证明了一下。

一番掉发之下出来了一个结果,但是不知道对不对。

假设一个$N$维坐标系原点存在一质量为$M$的质点,假设我们在任意一个坐标(为了方便,以向量形式写)$\vec{P} = (a_1, a_2, ..., a_n)$放一个质量为$m$的质点。

假设牛顿的引力公式依旧成立,那么我们可以得到在该点该质点$m$受到位于原点的质点$M$的引力:

$$\vec{F}(\vec{P})=-\mathrm{G}\frac{Mm}{{|\vec{P}|}^3}\vec{P}$$

再设,质点$m$的运动轨迹为: 

$$ \mathcal{C}: \vec{P}(t) = (f_1(t), f_2(t), ..., f_N(t)) , \ t \in [0, T] $$

那么,初位置为: 

$$ \vec{P}(0) = (f_1(0), f_2(0), ..., f_N(0)) $$

末位置为: 

$$ \vec{P}(T) = (f_1(T), f_2(T), ..., f_N(T)) $$

因为$\mathrm{G}Mm$是常量,这里设$C=-\mathrm{G}Mm$

做功$W$等于位移向量点乘受力向量: 

$$ \begin{aligned} W &= \int_{\mathcal{C}}{\vec{F}(\ \vec{P}\ )\cdot\mathrm{d}\vec{P}} \\ &= \int_{0}^{T}{\frac{C}{{|\ \vec{P}\ |}^3}\cdot\vec{P}\cdot({f_1}'(t), {f_2}'(t), {f_3}'(t), ..., {f_N}'(t))\mathrm{d}t} \\ &= C \int_{0}^{T}{\frac{\sum_{i=1}^{N}{f_i(t){f_i}'(t)}}{{\left({\sqrt{\sum_{j=1}^{N}{{f_j}^2(t)}}}\right)}^3}\mathrm{d}t} \\ &= \left. \left[ C \int{\frac{\sum_{i=1}^{N}{f_i(t){f_i}'(t)}}{{\left({\sqrt{\sum_{j=1}^{N}{{f_j}^2(t)}}}\right)}^3}\mathrm{d}t} \right] \right|_{0}^{T} \\ &= C \left. \left[ \sum_{i=1}^{N}{\int{\frac{f_i(t){f_i}'(t)}{{\left({\sqrt{\sum_{j=1}^{N}{{f_j}^2(t)}}}\right)}^3}\mathrm{d}t}} \right] \right|_{0}^{T} \\ &= C \sum_{i=1}^{N}{ \left[ \left. \left(\frac{{f_i}^2(t)}{{\left({\sqrt{\sum_{j=1}^{N}{{f_j}^2(t)}}}\right)}^3}-\int{{\left(\frac{f_i(t)}{{\left({\sqrt{\sum_{j=1}^{N}{{f_j}^2(t)}}}\right)}^3}\right)}'f_i(t)\mathrm{d}t}\right) \right|_{0}^{T}\ \right] } \\ &= C \left( \sqrt{\sum_{i=1}^{N}{{f_j}^2(T)}} - \sqrt{\sum_{i=1}^{N}{{f_j}^2(0)}} +2\int_{0}^{T}{\frac{\sum_{i=1}^{N}{f_i(t){f_i}'(t)}}{{\left({\sqrt{\sum_{j=1}^{N}{{f_j}^2(t)}}}\right)}^3} \mathrm{d} t} \right)\\ &= C\sqrt{\sum_{i=1}^{N}{{f_j}^2(T)}} - C\sqrt{\sum_{i=1}^{N}{{f_j}^2(0)}} + 2W \\ &= C\sqrt{\sum_{i=1}^{N}{{f_j}^2(0)}}- C\sqrt{\sum_{i=1}^{N}{{f_j}^2(T)}} \\ \end{aligned} $$

由此可见,做功大小仅由初末位置决定。

我们这个时候设初位置=末位置(位移为$\vec{0}$),还可以得到[无论运动路径如何,位移为$\vec{0}$,重力做功为零]的结果

跳的简化步骤有点多,需要的话,我找个时间补上。

有意见尽管发,有什么地方不对也好,写得不标准也好,需要再去学什么也好,就“高三了还搞这些”批判我一番也好,都行,我会改进。

本来想加数学tag的,想了想,改成茶话了233。

或者我其实应该投民科区?

封面图片来自 https://t.bilibili.com/430836806647975077?tab=2


[修改于 17 天前 - 2020-09-06 22:55:11]

来自:物理学 / 物理生活广场 / 科创茶话
1
2020-9-7 22:12:21
Resbi(作者)
1楼

没人=.=..我是不是该投数学区的)

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2020-9-7 22:19:07
2楼

建议学习理论力学,你会发现你的推导,全部木大

不过肯定都会有这种时期的,正常现象。

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Resbi(作者)
3楼
引用kewei_9900发表于2楼的内容
建议学习理论力学,你会发现你的推导,全部木大不过肯定都会有这种时期的,正常现象。

好的)我这有本中国电力出版社的《理论力学》))

也就是说这篇玩意问题很大对吗)

你这么一说,突然想起来初中时期,想搞匀变速运动,瞎搞出来个$S=at^2$,还以为发现了什么宇宙奥妙,实际上甚至推错了。

现在想起来脸都要红死了。。

不过想了一想,如果没有那次推错了,我现在可能都甚至不会去了解微积分)

以上内容均为感叹(强烈的求生欲xxx)

[修改于 16 天前 - 2020-09-07 22:46:06]

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4楼

emmmm,那是工科用的理论力学吧。。。竞赛解题可以看看,比较好懂。不过要了解物理的话,可以看看中科大出的力学与理论力学,如果啃得下去,朗道的《力学》很棒,我高中的时候看得这个。

不是说问题很大,是说没有意义。首先场回路积分是不是恒等于0,场论里有非常方便的办法计算。其次,这个问题背后的物理,即多维动力学问题,拉格朗日力学和哈密顿力学有非常优美的表述。在那之前,唐突算一个多维力是不是有势,没有意义,因为牛顿动力学始终是在三维空间里的。


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Resbi(作者)
5楼
引用kewei_9900发表于4楼的内容
emmmm,那是工科用的理论力学吧。。。竞赛解题可以看看,比较好懂。不过要了解物理的话,可以看看中科...

好的谢谢推荐,我去看看))

其实原本我只是想讨论一下二维的情况,然后发现三维用一样的套路也是可以的,然后就瞎扩了个N维出来。。。

算是民科吧2333


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Resbi(作者)
6楼
引用kewei_9900发表于4楼的内容
emmmm,那是工科用的理论力学吧。。。竞赛解题可以看看,比较好懂。不过要了解物理的话,可以看看中科...

又去仔细地看了下Wiki的曲线积分中文词条,实在快被自己蠢哭了)

好吧,我之前不该逞能看英文版的)

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