分享一个好玩的数列
某倒吊的亚雷斯塔2024/10/13数学 IP:广东

这个数列是我晚修时突然想到的,挺简单,但挺好玩,故发出来分享一下。

以下不严谨证明。

\(a_n = x^{x^{x^{x^…}}}\)(1)

共n个。

就是n阶指数塔。

现在求它的极限,若它收敛,那么:

\(a_n = x^{a_n}\)(2)

即:

\(x = e^{\frac{lna_n}{a_n}}\)(3)

令:

\(f(a_n) = \frac{lna_n}{a_n}\)(4)

求导:

\(f'(a_n) = \frac{1-lna_n}{a_n^2}\)(5)

可知:该函数在\((0,e)\)上单调递增,在\((e,+\infty)\)上单调递减,在\(a_n = e\)处取得最大值\(\frac{1}{e}\)

由于\(g(x) = e^x\)在R上单调递增,故其复合函数单调性如前,即x在\(a_n = e\)处取得最大值\(e^{\frac{1}{e}}\)

这个值大概时1.44

好玩的就出来了:当x从0+开始增大,数列的极限会越来越大,直到x等于\(e^{\frac{1}{e}}\),数列极限取得最大值,x再大一点,哪怕只是一点点,诶,☝️🤓,收敛条件不满足了,数列的极限的值不会减小,而是直接发散到无穷大。

这有点像之前做过的一道物理题,光学双稳态,有一段状态是数学上存在,但是不能再准静态过程中达到。

当然,我数学不好,这段不知道怎么严格描写和证明,希望各位大佬给点建议。

哦,对了,娅娘镇楼

微信图片_20241013221619.jpg


[修改于 3个月28天前 - 2024/10/13 22:25:05]

来自:数理化 / 数学
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~~空空如也
小叮当0312
16天0时前 IP:中国
941542

e的1/e次方这个结果同样也是logax与其反函数正好相切于一点时a的取值,好巧哦


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我也是有底线的