最近在网上刷俄乌战争视频的时候刷到了炸药爆炸时某种类似于“水雾”的效果，如下图所示

这引起了我对这个现象的思考：出现“水雾”的原因是什么，能否使用这个视频来近似估算视频中装药的当量？

网络上很多一般的爆炸视频，只能看到冲击波压缩空气造成折射率的改变，只有在乌克兰这种相对湿度很大的地方才有机会看到类似“水雾”的现象，因此推测这种现象是由于冲击波造成的空气压力和温度的改变导致水蒸气超过其饱和蒸汽压从而析出小水滴导致的。

下面尝试对这个现象进行建模求解，重要的公式有两个：绝热方程和克拉伯龙方程，分别描述的是绝热情况下气体的压强与温度的关系和液体饱和蒸汽压与温度的关系

以下是在求解过程中的一些近似：

①忽略小水滴析出时放的热（事实上由于注重的是边界情况（刚好没有水析出），这个近似是很合理的）

②忽略炸药爆炸时的热辐射和热传导对远处空气的影响，认为空气近似绝热

③水的体积相比水蒸气可以忽略

以下是对克拉伯龙方程和绝热方程的理论推导，不想看可以跳过

克拉伯龙方程：

水的p-v图是这样的，克拉伯龙方程首先要找的东西是$(\frac{\partial P}{\partial T})_V$，还要和汽化热关联起来

为了达到这个目标，我们首先要找$(\frac{\partial H}{\partial V})_T$，这对应的是改变单位体积时的汽化热（因为水的气化是等压过程，焓变直接对应吸放热）

$dH = TdS+VdP =T((\frac{\partial S}{\partial V})_T \ dV + (\frac{\partial S}{\partial T})_V \ dT)+V((\frac{\partial P}{\partial V})_T \ dV + (\frac{\partial P}{\partial T})_V \ dT)$

令$dT = 0$，则$(\frac{\partial H}{\partial V})_T = T (\frac{\partial S}{\partial V})_T + V(\frac{\partial P}{\partial V})_T$

利用麦克斯韦关系，上式可化为：

$T (\frac{\partial P}{\partial T})_V + V(\frac{\partial P}{\partial V})_T$

由于T固定时，蒸汽压不改变，得到：

$(\frac{\partial H}{\partial V})_T = T (\frac{\partial P}{\partial T})_V$，如果认为水的体积相比水蒸气可以忽略，则有：

$\frac{\lambda_{mol}}{V_{mol}}=T \frac{dP}{dT}$，其中$\lambda_{mol}$为单位物质的量汽化热

代入理想气体状态方程，则有：$\frac{\lambda P}{R T^2}=\frac{dP}{dT}$，这便是克拉伯龙方程（的微分形式）

积之，得到：$P=e^{-\frac{\lambda}{R}(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_x})}$，其中Tx为一待定常数

带入水的沸点373.15K，解出：$T_x=198.51K$

绝热方程：

我这里采用和上面差不多的方法（偏导数），事实上有其他比较简单的直接基于热力学第一定理的方法

$(\frac{\partial P}{\partial V})_S=-(1+\frac{R}{C_v})\frac{P}{V}$，

积之，得到：$PV^{\gamma}=Const$，其中$\gamma=(1+\frac{R}{C_v})$

总之，我们现在得到了饱和蒸汽压随温度和气体压强随温度的变化关系，由于水蒸气分压不变，经过简单的代换可以得到：

$ln(P_{H_2O})=ln(\frac{\alpha P_w}{P_0})+ln{p}$，其中$\alpha$是相对湿度，$P_w$是当前温度下的饱和蒸汽压，$P_0$是总大气压

$ln(P_{饱和})=-\frac{\lambda}{R}(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_x})$，并利用绝热关系将其中的$T$替换为$(\frac{P'}{P_0})^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}\frac{1}{T_0}，$T_0$是当前的温度

接下来带入数据，观察两个压强随冲击波超压的变化关系

能够发现产生水汽需要的反向超压和相对湿度大概有如下的关系

95% -1.4kpa

90% -2.8kpa

85% -4.3kpa

80% -5.9kpa

75% -7.5kpa

70% -9.2kpa

60% -12.8kpa

40% -21.4kpa

20% -33.7kpa

这解释了为什么只有在相对湿度很大的情况下才能出现这种现象，因为正向超压大概在反向超压的2~3倍，如果湿度在40%，所需的正向超压大概在50kpa，这时候往往距离爆炸中心比较近了，产生的热辐射导致饱和蒸汽压升高，从而不会有水雾析出

让我们尝试估算一下爆炸当量：经过数视频帧数，能够产生水雾的冲击波持续时间在0.3s，假设视频拍摄当天相对湿度85%-90% (我实在找不到相关资料，只能这么估算了，这也是估算当量很不准确的原因)，需要的正向超压在7-10kpa左右

（这里我尝试了很久该如何估算爆炸当量，尝试过数值解冲击波传播偏微分方程但总是不收敛，最后在某网站上找到了一个有些可疑的冲击波超压计算程序，说它可疑是因为计算出来的远场反向超压比正向超压还大很多，不过正压计算相对靠谱，于是就用它了）

通过调整药量，最后找出了一组相对符合的数据，当量1000kg TNT时传播时间306ms，正向超压峰值7.61kpa，此时传播距离约在160m（平均传播速度522.8m/s），由此估算出药量约在1T TNT的量级