好的，那么现在开始第一点，即一维机械波动单一波模质元势能动能相等。由于我们要普遍地证明，所以，我们既不能完全脱离物理，只研究方程，也不能完全依赖某种特殊情况。

首先，我们要引入波动量\(u(x,t)\)，它是一个二元函数，x为质元平衡位置的空间位置，t为时间，u则为在x处t时，介质质元相对平衡位置的位移。

我们在推导波动方程前，不妨先找找动能和势能的一般表示。

那么，对于线密度为\(\rho_1\)（这里角标为1，代表线密度，即一维的密度\(\frac{dm}{dx}\)）的介质，我们可以很轻松地写出某一质元的动能：

\(dT=\frac{1}{2}(dm)v^2 = \frac{1}{2}\rho_1(\frac{\partial u(x,t)}{\partial t})^2dx\)（1.1）

然而，不同介质的势能却多种多样，找具体的表达式较为麻烦。不过，我们知道，势能一定依赖于相邻两质元波动量u之差，即：\(\Delta_1 = u(x+dx,t)-u(x,t) = \frac{\partial u}{\partial x}dx\)

这是因为，无外力，必无外势场，或者外势能可以忽略不计，势能只来自于介质本身。那么势能肯定只于介质质元间相对位移有关。

不妨记势能为\(V(\Delta_1)\)。

由于讨论的一般是平衡位置附近小幅波动，我们应把势能在0附近泰勒展开，即：

\(dV(\Delta_1) = \frac{1}{0!}dV(0)+\frac{1}{1!}\frac{d(dV)}{d\Delta_1}|_0\Delta_1+\frac{1}{2!}\frac{d^2(dV)}{d\Delta_1^2}|_0\Delta_1^2+o(\Delta_1^2)\)（1.2）

我们只保留到平方项。

由于平衡位置处，势能取得极值，势能的导数应为零。由于势能的值无意义，只有差有意义，所以我们完全可以定义平衡位置处势能为零。

那么，把相对位移的表达式代入式子后面部分，势能的表达式就可以被简化为：

\(dV = \frac{1}{2}\frac{d^2(dV)}{d\Delta_1^2}|_0dx(\frac{\partial u}{\partial x})^2dx\)（1.3）

是不是发现了规律？注意\(\frac{d^2(dV)}{d\Delta_1^2}|_0\)不是变量！它是平衡位置处势能对相对位移的二阶导数的值。

我们可以设：

\(\varepsilon_1 = \frac{d^2(dV)}{d\Delta_1^2}|_0dx\)（1.4）

那么：

\(dV = \frac{1}{2}\varepsilon_1(\frac{\partial u}{\partial x})^2dx\)（1.5）

可以发现，动能和势能的表达式已经很像了。

现在还有一个问题，\(\varepsilon_1\)是否和\(\rho_1\)一样是个常量？还是说是个小量？

解决这个方法，最好的办法就是……

雷氏力学！把（1.2）代入（1.4），不管偏导数，发现分子分母都有4个d，可以约去

好吧，是开玩笑的。

不过类似方法也能用。

先明确两点，振动量对平衡位置坐标的偏微商是常数，一元函数微分有分数性质。

（1.3）代入（1.4）可以发现，分子分母都是四阶小量，同阶小量之比是非零常数，所以\(\varepsilon_1\)是个常量。

最近发现这个结论可以推广，不过没时间写了，请各位大概等两三天

接下来，我们用类似上面的一般方法来推导波动方程。

我们知道\(\vec{F}=-\nabla V\)（1.6）

在一维空间中：

\(\nabla =\frac{\partial}{\partial \Delta_1}\vec{e_{\Delta_1}}\)（1.7）

注意是对\(\Delta\)的偏导数！这是因为两个邻近质元的位移差才是这个维度，势能和力肯定只依赖于它，而不是单个质点偏离平衡位置的位移。

那么我们可以求出力：

\(\vec{F}=-\frac{\partial}{\partial \Delta_1}(dV)\vec{e_{\Delta_1}} = -\frac{\varepsilon_1}{dx}\Delta_1\vec{e_{\Delta_1}} = -\varepsilon_1\frac{\partial u}{\partial x}\vec{e_{\Delta_1}}\)（1.8）

注意，势能是该质元的势能，所以这个力也是该质元施加给邻近且坐标比它大的质元的力。

而我们要列牛顿第二定律的方程，就要找该质元受的力。

由牛顿第三定律，\([x,x+dx]\)内的质元受到的合力（以u正方向为正，写为标量式）可算出：

\(F = \varepsilon_1\frac{\partial u}{\partial x}|_{x+dx}-\varepsilon_1\frac{\partial u}{\partial x}_{x}=\varepsilon_1\frac{\partial^2u}{\partial x^2}dx\)（1.9）

那么，我们便可以导出一维形式的波动方程

\(F=\varepsilon_1\frac{\partial^2u}{\partial x^2}dx=\rho_1\frac{\partial^2u}{\partial t^2}dx\)（1.10）

即：

\(\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-\frac{\varepsilon_1}{\rho_1}\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=0\)(1.11)

这是一个偏微分方程的定解问题，为了方便我们选取无限长一维介质，即无边界条件。

梁昆淼先生的数理方法上，介绍了用达朗贝尔公式去解，下个回复我会把它放上来。然而，这个方法确实适合方便地联系初始条件，但是于我们今天的证明和高维的推广不利，我后面会使用别的方法求解的。

接下来给下上述偏微分方程（被称为波动方程）的一种解法，来自梁昆淼先生的数学物理方法。

还有件事，最近有点忙，更得要慢些了……