接下来，我们开始讨论第一点，即无章动情况下的拉格朗日-泊松陀螺的转动。

首先，既然要无章动，那x必须仅有一个取值。即上文1、2情形。

对（1），其运动方程便是（5.8），所以这里着重讨论（2）。

代入（5.22）我们可以很容易地得出运动方程，不过由于有根直接设处，无法得出条件，所以我们直接从f(x)出发。

为了方便，我们设几个参量：

\(\alpha = \frac{2E-I_3\omega_{30}^2}{I_1}\)(5.23)

\(\beta = \frac{2mgl}{I_1}\)(5.24)

\(a = \frac{I_3\omega_{30}}{I_1}\)(5.25)

\(b = \frac{L_z}{I_1}\)(5.26)

将以上四式，代入31楼图中的f(x)

有：\(f(x) = (1-x^2)(\alpha-\beta x)-(b-ax)^2\)(5.27)

这样的形式固然不好看，但是在以下的讨论中很有用。

那么（5.2）可以写成：\(\dot{\varphi}=\frac{b-ax}{1-x^2},\dot{\psi}=\omega_{30}-\frac{b-ax}{1-x^2}x\)(5.28)

那么，我们可以开始讨论（2）情形了。

此时，我们可以明显发现，x为f(x)的二重根，那么，由定义，有：

\(f(x) = (1-x^2)(\alpha-\beta x)-(b-ax)^2=0\)(5.29)

\(\frac{df(x)}{dx} = 3\beta x^2+2(\alpha+a^2)x+2ab-\beta=0\)(5.30)

回顾下（5.23）-（5.26），发现\(\beta,a\)是较容易测量的。而\(\alpha,b\)虽然也为常量，但是较难测量，所以我们打算尝试换掉它们。

由（5.29）：\(\frac{\alpha-\beta x}{1-x^2}=(\frac{b-ax}{1-x^2})^2 = \dot{\varphi}^2\)(5.31)

将（5.31）代入（5.30），以消去\(\alpha,b\)，得到：

\(2x\dot{\varphi}^2-2a\dot{\varphi}+\beta =0\)(5.32)

以上便是无章动情况下进动角速度应得满足的条件。

值得说明的是，在舒幼生先生的力学第五章中，也有该式的推导，不过该书式普通物理学，所以没讲得太深，而且和本文的符号不同，所以就不引用了，不过也有很大参考价值。

很容易看出，（5.32）是关于进动角速度的二次方程，其有解的条件便是判别式大于等于零，即：

\(4a^2-8x\beta\ge 0\)(5.33)

代入各参量的值，条件可化为\(cos(\theta)\le\frac{I_3^2\omega_{30}^2}{4mglI_1}\)(5.34)

发现当\(\theta>\frac{\pi}{2}\)时，一定成立。

而\(\theta>\frac{\pi}{2}\)时，需满足：\(\omega_{30}\ge\frac{2\sqrt{mglI_1cos(\theta)}}{I_3}\)(5.35)

那么，我们可以解出：

\(\dot{\varphi}=\frac{a\pm\sqrt{a^2-2\beta x}}{2x}=\frac{I_3\omega_{30}\pm\sqrt{I_3^2\omega_{30}^2-4mglI_1cos(\theta)}}{2I_1cos(\theta)}\)(5.36)

欸等等，如果\(\theta=\frac{\pi}{2}\)，即x=0怎么办？要么（5.36）洛必达取极限(注意此时只能取-，这样才是0/0未定式，取+就是正无穷，显然物理世界中不存在，因为这样能量就是正无穷)，要么直接从（5.32）推，有：

\(\dot{\varphi}=\frac{mgl}{I_3\omega_{30}}\)(5.37)

我比较喜欢用洛必达推的那种方法，因为这样可以看作（5.36）仍然成立。

现在，我们只能得到必要条件，那么这是否充分呢？

这时我们就得回到一般运动规律了。

现在（5.21）两边都对时间求导，有：

\(\dot{x}=(x_2-x_3)\frac{d}{dt}(sn^2(\lambda t+\mu,k))\)(5.38)

显然重根情况x₂=x₃，即上式为零，章动角不变。

这就证明了充分性。

现在我们总结下第一点讨论，若f(x)满足（1），那么运动规律便是（5.8），若f(x)满足（2），那么运动规律：

\(\varphi=\frac{I_3\omega_{30}\pm\sqrt{I_3^2\omega_{30}^2-4mglI_1cos(\theta_0)}}{2I_1cos(\theta_0)}t+\varphi_0-2a_\varphi\pi\)(5.39.1)

其中\(a_\varphi\)为使得\(\varphi\in[0,2\pi]\)的自然数。

\(\theta = \theta_0\)(5.39.2)

\(\psi = \frac{(2I_1-I_3)\omega_{30}\mp\sqrt{I_3^2\omega_{30}^2-4mglI_1cos(\theta_0)}}{2I_1}t+\psi_0-2a_\psi\pi\)(5.39.3)

其中\(a_\psi\)为使得\(\psi\in[0,2\pi]\)的自然数。

(5.39)即是无章动情况下的运动方程。

如何理解呢？（5.39）的意思是，若要满足无章动的条件，那么必须在满足（5.34）的3轴角速度条件前提下，满足（5.39.1）的进动条件，这时，便无章动且自转情况为（5.39.3）。好比手中有一个静止的理想陀螺仪，我希望维持在某个章动角稳定进动，那么我必须先根据（5.34）计算出应该满足的三轴角速度，拉绳子或者用电机啊之类的什么把陀螺仪的3轴角速度，也就是此时的自转角速度，陀螺转速（现在相当于手拿着还没进动），提升到（5.34）的条件，然后再用手推一下，使得初始进动角速度满足（5.39.1），那么接下来它便会稳定进动了。

给个视频链接，没找到保存后还能动的动图……

陀螺仪进动2_哔哩哔哩_bilibili

这可能是规则进动，不过为什么是“可能”？后面会说，埋个伏笔。

为了简化计算或者定性分析的难度，我们还要做些近似工作，为与实际情况接轨，此时着重考虑进动角速度，其余的实际上不重要，需要用也可以直接代（5.2）。

由（5.36），我们可以知道，对同一个章动角，无章动且3轴角速度满足条件时，满足规则进动的有一大一小两个进动角速度。

先看小的：

如果进动角速度很小，那么它的平方可以略去，即（5.32）近似为：

\(-2a\dot{\varphi}+\beta=0\)(5.40)

则：\(\dot{\varphi}=\frac{\beta}{2a}=\frac{mgl}{I_3\omega_{30}}\)(5.41)

再看大的：

如果进动角速度很大，那么（5.32）中常数项可以略去，近似为：

\(x\dot{\varphi}-a =0\)(5.42)

则：\(\dot{\varphi} =\frac{a}{x}=\frac{I_3\omega_{30}}{I_1cos(\theta)}\)(5.43)

不难发现，上述讨论都在3轴角速度很大的时候近似得很好，所以这启发我们研究快速自转的陀螺。当然，虽然现在还不知道快速自转的陀螺怎样，但已经知道在自转角速度很大时可以用以上近似。除此之外，在章动角很接近\(\frac{\pi}{2}\)时可以用（5.43）的近似，但是在章动角等于\(\frac{\pi}{2}\)时不行，此时这个近似和精确解一样会趋于无穷大，此时只有一个进动角速度满足条件，即（5.37）