《感知机：计算几何导论》中的连通问题与异或问题的关系

在人工智能领域的经典著作《感知机：计算几何导论》这本书中，马文·明斯基为了证明一个纯粹的感知机存在无法解决的问题，而举了一个让感知机判断是否连通的例子，如图1：

连通可以简单理解为从一个黑色像素点出发，不经过白色像素点，就能抵达任意一个黑色像素点。这里有四张图片，分别编号为X00，X01，X10，X11，显然X01，X10是连通的，而X00，X11由于上下两个图案之间没有任何黑色像素点连接，因此是非连通的。现有一个感知机，感知机有两个扫描头，一个扫描图片左半部分，一个扫描图片右半部分，示例如图2：

每个扫描头对两种模式识别，并输出相应的信号强度，如图3：

两个扫描头输出的信号强度进入感知机后，会进行相加操作，并根据一个激活函数判断是否连通，如图4：

这就引出一个关键问题，即是否能找到这个阈值θ。通过连通情况的总信号强度相加，以及非连通情况的总信号强度相加，可以发现矛盾，从而不存在阈值θ，证明过程如图5：

同样的信号强度，不可能既＞2θ，又＜2θ，这就是矛盾所在。而根据图4受到启示，可以将每张图的信号强度编码到一个二维平面上，从而提供一种几何直观上的证明。信号强度γ=α+β，因此每个γ对应一条直线，而两个扫描头的信号对应直线上的一个点。蓝色为连通的信号强度，绿色为非连通的信号强度，红色为阈值θ。可以发现无论如何也找不到一个信号强度θ，将四个点按照颜色一分为二，如图6：

这说明一个纯粹的感知机无法解决异或问题。