首先，我们看一下半径为R孤立球导体的电容怎么计算。静电平衡时，导体球等势，而我们计算电容使用

$C=\frac{Q}{U}$（1）

我们需要知道电荷在导体球上的分布才能计算电势，才能进而计算电容。

那这个情况怎么计算呢？方法有三：一是“由对称性知均匀分布”，一句话了事。二是泊松方程直接求解球内外电势分布，导出电场分布，通过高斯定理直接暴力求解，但这是导体球，虽然一定能做出来，但没人会这么做。三就是基于唯一性定理了。

好吧这和木原唯一没有半毛钱关系

唯一性定理：某区域内泊松方程$\nabla^2\varphi = \frac{\rho}{\varepsilon}$成立，其边界电势分布给定或其边界电势切向偏导分布给定或其电势和电势切向偏导的一次关系分布给定，则区域内电场分布唯一确定。证明就不给了，网上随便都能搜到。

那么，由于导体球的球面是等势面，我们只需要找到一个方便计算的电荷分布，使其等势面是球面，那么我们就可以用这种电荷分布等效替代导体球，并且唯一确定球外电场分布。又由于导体球等势，内部电场由

$\vec{E} = -\nabla\varphi $（2）

$\vec{E}_{in} = -\nabla\varphi_{0} = 0$（3）

可知处处为零。

那么，在球壳内外取一高斯面如图，便可得到电荷分布

由高斯定理可很方便推出下式子

$\vec{E}_{ex}·\vec{ds} = \frac{\sigma ds}{\varepsilon}$（4）

可很方便推出表面电荷面密度的分布。

那么我们如何找到一种电荷分布使得等势面是个球呢？

很显然，点电荷满足。

由库伦定理，点电荷电场分布满足（我知道这么写不区分场点源点参考点不严谨，但是本文不是详细证明，而且涉及问题很简单不会混淆，就这么写了）

$\vec{E} = \frac{q}{4\pi\epsilon r^2}\vec{e_r}$（5）

我们可以通过（2）积分出以无穷远为电势零点的电势。

$\varphi = -\int^{r}_{\infty}\vec{E}·\vec{dr} = \frac{q}{4\pi\epsilon}\int^{\infty}_{r}\frac{dr}{r^2} = \frac{q}{4\pi\varepsilon r}$ （6）

由（6）可知，点电荷电势分布只是r的函数。则，对电势为$\varphi_0$的等势面，其方程为

$r = \frac{q}{4\pi\varepsilon\varphi_0}$（7）

这是一个球面的方程。

所以点电荷就满足我们的需要。

那对电势为U的导体球产生的电场，我们可将其等效为在球心的点电荷的电场。

那么（5）、（7）带入（4），我们有：

$q = 4\pi\epsilon UR$（8）

$\sigma = \frac{\varepsilon U}{R}$（9）

可见导体球的面电荷密度是常数，则，总电荷量Q：

$Q = S\sigma = 4\pi R^2\sigma = 4\pi\varepsilon UR$（10）

我们发现

$q = Q$（11）

即引入的虚拟电荷电量和真实带点的电荷总量相同。这是很自然的，因为改为虚拟电荷前后电场分布未变，对任意一包含导体球的高斯面，电通量相同，由高斯定理可知电荷量必定相同。

那么对孤立导体球，电容就很方便算出来了：

$C = 4\pi \varepsilon R$（12）