首先是我们的制冷机原理，使用逆卡诺循环进行降温。

更具体地，我们有如下四个过程：

• 绝热膨胀 从$StateI(p_1, V_1, T_1)->StateII(p_2, V_2, T_2)$

• 等温膨胀 从$StateII(p_2, V_2, T_2)->StateIII(p_3, V_3, T_2)$，吸收$Q_1=nRT_2\ln\frac{V_3}{V_2}$

• 绝热压缩 从$StateIII(p_3, V_3, T_2)->StateIV(p_4, V_4, T_1)$

• 等温压缩 从$StateIV(p_4, V_4, T_1)->StateI(p_1, V_1, T_1)$，放出$Q_2=nRT_1\ln\frac{V_4}{V_2}$

因为在降温过程中，制冷室的温度也在降低，实际上在等温膨胀这步中并不是等温膨胀，所以我们需要对我们计算吸热的公式稍加修改。

我们首先考虑一个简单的问题，热容、温度分别为$C_1, T_1; C_2, T_2$的两个物体接触在一起，在热平衡状态时，它们温度为多少。

很显然，设它们温度的增量分别为$\Delta T_1, \Delta T_2$，可以列出一个线性方程组：

$$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}C_1\Delta T1+C_2\Delta T2&=0\\T_1+\Delta T_1&=T_2+\Delta T_2\\\end{aligned}\right.\end{equation}$$

求解可得到热平衡状态下它们的温度：$T=T_1+\Delta T_1=T_2+\Delta T_2=\frac{T_1C_1+T_2C_2}{C_1+C_2}$

然后我们考虑温度变化时我们的制冷情况：我们在很短的一段时间内，可以近似地认为它由两个过程组成：1. 等温膨胀吸热$Q_1$(导致制冷室温度降低) 2. 被制冷气体与工作气体发生热传导，工作气体将一部分热量$Q_2$传给制冷室

我们先刚开始设被制冷气体的热容为$C_1$温度为$T_0$，工作气体热容为$C_2$温度为$t$，显然，$T_0=t$

首先很显然，第一步完成后，被制冷气体的温度$T=T_0-\frac{Q_1}{C_1}$，然后第二步完成后，代入我们刚推导出的公式，可以得到此时它们的温度$T_{next}=\frac{C_1T+C_2t}{C_1+C_2}=\frac{C_1(T_0-\frac{Q_1}{C_1})+C_2t}{C_1+C_2}=\frac{C_1T_0+C_2t-Q_1}{C_1+C_2}=T_0-\frac{Q_1}{C_1+C_2}$

又由$Q_1=-dW=p\mathrm dV$

因此$T_{next}=T_0-\frac{p\mathrm dV}{C_1+C_2}$

由此可得微分方程：$\mathrm dT=-\frac{p\mathrm dV}{C_1+C_2}$ (T为在完成上述两个过程后的被制冷气体温度，即工作气体温度)

再根据物态方程：$pV=nRT$即$p=\frac{nRT}{V}$

所以$\mathrm dT=-\frac{nRT\mathrm dV}{V(C_1+C_2)}$

分离变量可得：$\frac{\mathrm dT}{T}=-\frac{nR\mathrm dV}{V(C_1+C_2)}$

两边同时积分可得：$\ln \frac{T}{A}=-\frac{nR}{C_1+C_2}\ln V$

再作一点简单的代数变换，可得：$T=Ae^{-\frac{nR}{C_1+C_2}\ln V}$

再考虑初值：显然初始状态为$State (p_2, V_2, T_2)$

因此$T=T_2e^{\frac{nR}{C_1+C_2}\ln\frac{V_2}{V}}$

再将终点状态$State (p_3, V_3, T_3)$代入方程：

$T_3=T_2e^{\frac{nR}{C_1+C_2}\ln\frac{V_2}{V_3}}$

于是我们就得到了计算State3的各参数的公式！

然后我们开始代入实际数据：

$$ R=8.314J/(mol\cdot k) \\p_0=1.01325\times10^5 Pa\\ \gamma=1.4\\ 初始温度：T_1=303.15K\\ 目标温度：T_2=90.15K\\ 工作气体初始体积：V_1=1L $$

[未完待续]