4个未知数4个自由度，加一个方程约束就变成3个自由度了

另外，欧拉角并不是“不完全表达”。它确实是可以唯一确定一个物体的姿态的，只是它在奇点对同一个姿态有多值。并且欧拉角在物体旋转时其导数不连续。这很不利于使用，但它并不是不能用的。阿波罗飞船的捷联惯组用的是欧拉角微分方程。
不完全表达应该是缺失了自由度的情况，例如光有xy坐标并不能完全表达物体在三维空间的位置。

楼主看了一些专业名词，但还不明白它们的意思。如果想真正的理解，一定要仔细看懂书上或者论文的公式和推导过程。发明这个概念的人最初的著作还能在网上找到，可以看他的论文或者后人的总结（教材）。
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四元数的历史