问了问 chatGPT

这个问题可以通过计算每个小质点在重力势场中的运动轨迹，然后将它们的轨迹绘制出来并找到它们的包络面来解决。

根据牛顿万有引力定律，小质点在距离为$r$的距离处受到的引力为：

$F=\frac{GmM}{r^2}$

其中，$G$为万有引力常数，$m$为小质点的质量，$M$为M星体的质量。

因为小质点的质量极小，我们可以认为每个小质点的轨迹不会影响其他小质点的轨迹，因此我们可以将每个小质点看作一个质点，并且不考虑它们之间的相互作用。

由于小质点的速度足够小，因此它们的运动可以看作是受到M星体的引力的运动，我们可以使用牛顿第二定律来描述它们的运动：

$F=ma$

其中，$F$为小质点在M星体引力作用下受到的合力，$a$为小质点在M星体引力作用下的加速度。

将上面两个公式结合起来，我们可以得到小质点在重力场中的运动方程：

$\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}=-\frac{GM}{r^2}\frac{\vec{r}}{r}$

其中，$\vec{r}$为小质点与M星体之间的向量，$r$为$\vec{r}$的模，$G$为万有引力常数，$M$为M星体的质量。

对于每个小质点，我们可以通过求解上述运动方程，得到它在重力场中的运动轨迹。我们可以将这些轨迹绘制出来，然后找到它们的包络面。包络面是连接轨迹最外侧的曲面，因此我们可以通过找到这些轨迹的最大值和最小值来找到包络面。

需要注意的是，由于这些小质点的速度不足以使它们逃逸，因此它们的轨迹应该是封闭的，也就是说，它们应该是围绕M星体做椭圆形运动。因此，包络面应该是一个椭球面。

问它怎样求解包络面，思路应该是对的，假设发射点在x轴，则包络面半长轴与直接向星体方向发射时得到轨迹的远点相等，半短轴与沿着y轴发射时得到轨迹与y轴交点相等，包络面椭球中心在星体上。

但是问它解析解就开始胡扯了，多纠正几次给出的答案是：

非常抱歉，我之前的回答有误。您是正确的，如果发射点在 x 轴上，那么在以星体质心为原点的坐标系中，轨迹在 y-z 平面上对称，因此包络面也应该在 y-z 平面上对称，而不是在 xy 和 xz 上对称。

因此，在以星体质心为原点的坐标系中，以 r0 和 v0 为参数的包络面方程和焦点坐标应该为：

包络面方程：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{b^2}=1$$ 其中，$$a=\frac{GM}{\sqrt{v_0^2+\frac{2GM}{r_0}}}, \quad b=a\sqrt{1-\frac{v_0^2}{v_0^2+\frac{2GM}{r_0}}}$$ 焦点坐标：$$(\pm c,0,0)$$ 其中，$$c=\sqrt{a^2-b^2}$$

形式上看起来似乎有点像，但我没验算，让他自己分析一下量纲：

根据包络面方程以及焦点坐标的定义，我们可以推导出 $a$，$b$ 和 $c$ 的量纲：

$$[a] = \frac{[GM]}{[\sqrt{v_0^2 + \frac{2GM}{r_0}}]} = \frac{[L]^3}{[T]^2 \cdot [\sqrt{\frac{L^3}{M} + \frac{L}{T^2}}]} = L$$

$$[b] = [a] \cdot \sqrt{1 - \frac{v_0^2}{v_0^2 + \frac{2GM}{r_0}}} = L \cdot \sqrt{1 - \frac{T^2}{\frac{L^3}{M} + \frac{L}{T^2}}} = L$$

$$[c] = \sqrt{a^2 - b^2} = L$$

其中，$[L]$ 代表长度的量纲，$[T]$ 代表时间的量纲，$[M]$ 代表质量的量纲。

因此，$a$、$b$ 和 $c$ 的量纲均为长度 $[L]$。

好像还是不对 ，a的量纲计算是错的。