我们继续拉格朗日-泊松情形的求解。由于推导到可以求解的方程的过程都在周衍柏先生的理论力学上了，所以我就简述思路再发图片，然后再求解。

思路其实不难，上文的欧拉-潘索情形，我们取了角动量方向为地面系z方向，因为此时无力矩，角动量守恒。然而，拉格朗日-泊松情形不然，由于重力的力矩，角动量在时时改变，所以我们不能这么取z方向。那么该怎么做呢？既然有重力，重力方向不变，不妨取重力的反方向为z轴正方向（emm……其实同向也行，就是看着难受）。注意到力矩和欧拉角有关，所以不能像上文一样，分开求解，必须联立6个方程……太恶心了……所以必须找点什么简化。易知这是保守系，所以能量守恒（啊啊啊啊要是我一开始就想到了拉格朗日方程求解后面就不用这么繁琐了），然后，由于重力作用在z轴方向，由于力矩是位矢和力的矢积，所以z方向力矩为零，所以z轴角动量守恒。利用这两个守恒量，我们可以大大简化求解过程。

我们不妨设\(I_1=I_2\)，这和上文对称欧拉陀螺不同，不是需要满足（4.19）的原因，仅仅是习惯。

具体求解过程见下方照片和下文。

以上便是可以求解的方程的推导过程，重点注意书中的（3.9.23），（3.9.25）。

个人觉得书中的一些参量的定义不好，于是定义：

能量：\(E\)

K方向：\(\vec{e_{z}}\)

\(\vec{e_{z}}\)方向角动量（K方向角动量）:\(L_z\)(即文中\(\alpha\))

仍沿用x作为章动角的余弦值（感觉字母不够了，不过这部分不会涉及到除z轴外地面系坐标，所以不会搞混，注意一下就好了）

仍沿用l作为重心到固定点距离

那么书中的（3.9.23），（3.9.25）可以被写为：

\((\dot{x})^2=\frac{2mgl}{I_1}[x^3+\frac{I_3(I_1-I_3)\omega_{30}^2-2I_1E}{2mglI_1}x^2+\frac{I_3\omega_{30}L_z-mglI_1}{mglI_1}x+\frac{I_1(2E-I_3\omega_{30}^2)-L_z^2}{2mglI_1}]\)(5.1)

\(\dot{\varphi}=\frac{L_z-I_3\omega_{30}x}{I_1(1-x^2)},\dot{\psi} = \omega_{30}-\frac{L_z-I_3\omega_{30}x}{I_1(1-x^2)}x\)(5.2)

乍看下来，都很恶心，但是好消息是我们可以通过（5.1）独立求解章动角，再代入（5.2）进行积分。

（5.1）看上去困难……实际上也困难……不过它是个常系数的三次方程，所以我们若知道确切的数据，代入得出数值解是很容易的，解析解嘛，无脑代入三次方程求根公式也是可以做到的，不过很繁琐，也和物理无关，所以下文就把解直接设出来了。所以，真正对物理重要的，是知道有几个解，它们的范围是什么。