接下来我们看看有章动的情况下的定性分析。

就像欧拉-潘索情况下有潘索描绘，可以让我们直观地想象刚体的运动，拉格朗日-泊松情形也需要一种图像表示方式。

我们重点关注进动角速度的方向。

由（5.28）或（5.2），我们可以发现，当章动角逐渐变小到某个锐角，即章动角的余弦值逐渐变大到某一个正值时，我们可以发现进动角速度逐渐变小，变为零，然后反向，变大，直到章动角到达最小值后章动角速度反向，进动角速度也变减小，变为零，然后反向到与原先同向。

如果上述情况可以达成，那么进动角速度为零的临界章动角\(\theta_c\)，由（5.2）有：

\(\theta_c = arccos(\frac{L_z}{I_3\omega_{30}})\)(5.44)

那么记x₂、x₃对应的角度为\(\theta_2\)、\(\theta_3\)

那么我们可以分类：

\(\theta_c>\theta_3>\theta_2\)(a)

\(\theta_3=\theta_c>\theta_2\)(b)

\(\theta_3>\theta_c>\theta_2\)(c)

\(\theta_3>\theta_c=\theta_2\)(d)

\(\theta_3>\theta_2>\theta_c\)(e)

我们现在关注自转轴在以固定点为球心的球面上划出的轨迹。

这个也不好用电脑画，只能再次用手了

抱歉各位，只能再看我的渣画了。

不妨设\(\theta>\theta_c\)时，进动逆时针，反之，顺时针。

那么有图像：

（实线表示\(\theta_2\)、\(\theta_3\)所对应的等章动角线，虚线表示\(\theta_c\)所对应的等章动角线，带箭头的实线即表示自转轴再以固定点为球心的球面上划出的轨迹）

欸等等，这里b，d情况是不是有点不对劲？为啥会出现突变，不是说不能突变吗？实际上这里并没有什么问题，此时进动角速度为零，那么轨迹的斜率，章动加速度比进动角速度当然不存在。

实际上，d反而是最常见的情况，接近直立的陀螺倒下来便是如此。这也解释了为什么陀螺不会倾倒。很多科普视频上说，重力给了个力矩，所以角动量沿着重力的力矩方向改变，而重力的力矩无z轴的分量，所以角动量的方向旋转改变，大小不变陀螺便不会倾倒。然而这是错的，如果陀螺倾倒，角动量某个分量大小增加，也满足。所以，这种解释仅适用于规则进动的情况。有章动的情况，定量计算就是拉格朗日-泊松情形的一般规律（5.22）。而定性解释，可以用上图理解。舒幼生先生的力学中给出了一个非常好的定性说明。如果进动角速度太小，那么由角动量的旋转所带来的角动量变化，将小于重力的力矩导致的变化，于是陀螺将会向下章动，形成重力力矩方向的角动量。而此时，由上文的讨论，进动角速度也同时增加，角动量矢量旋转导致的变化逐渐变得等于、大于重力的力矩导致的变化，于是陀螺开始减小向下章动的角速度，逐渐转而向上章动。这不仅解释了陀螺为何会倾倒，也解释了章动的产生。