接下来，我们用类似上面的一般方法来推导波动方程。

我们知道\(\vec{F}=-\nabla V\)（1.6）

在一维空间中：

\(\nabla =\frac{\partial}{\partial \Delta_1}\vec{e_{\Delta_1}}\)（1.7）

注意是对\(\Delta\)的偏导数！这是因为两个邻近质元的位移差才是这个维度，势能和力肯定只依赖于它，而不是单个质点偏离平衡位置的位移。

那么我们可以求出力：

\(\vec{F}=-\frac{\partial}{\partial \Delta_1}(dV)\vec{e_{\Delta_1}} = -\frac{\varepsilon_1}{dx}\Delta_1\vec{e_{\Delta_1}} = -\varepsilon_1\frac{\partial u}{\partial x}\vec{e_{\Delta_1}}\)（1.8）

注意，势能是该质元的势能，所以这个力也是该质元施加给邻近且坐标比它大的质元的力。

而我们要列牛顿第二定律的方程，就要找该质元受的力。

由牛顿第三定律，\([x,x+dx]\)内的质元受到的合力（以u正方向为正，写为标量式）可算出：

\(F = \varepsilon_1\frac{\partial u}{\partial x}|_{x+dx}-\varepsilon_1\frac{\partial u}{\partial x}_{x}=\varepsilon_1\frac{\partial^2u}{\partial x^2}dx\)（1.9）

那么，我们便可以导出一维形式的波动方程

\(F=\varepsilon_1\frac{\partial^2u}{\partial x^2}dx=\rho_1\frac{\partial^2u}{\partial t^2}dx\)（1.10）

即：

\(\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-\frac{\varepsilon_1}{\rho_1}\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=0\)(1.11)

这是一个偏微分方程的定解问题，为了方便我们选取无限长一维介质，即无边界条件。

对于初始条件，我们设：

\(u|_{t =0} = \varphi(x),\frac{\partial u}{\partial t}|_{t =0} = \psi(x)\)（1.12）

即给定每一质元初始时相对平衡位置的位移和速度

梁昆淼先生的数理方法上，介绍了用达朗贝尔公式去解，下个回复我会把它放上来。然而，这个方法确实较简单，但是于我们今天的证明和高维的推广不利，我后面会使用别的方法求解的。