将（1.18）代入（1.1）可得：

\(dT = \frac{1}{2}\rho_1[\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\rho_1}}\frac{i}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}k[A(k)e^{ik\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\rho_1}}t}-B(k)e^{-ik\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\rho_1}}t}]e^{ikx}dk]^2dx = \frac{1}{8\pi^2}\varepsilon_1[\int^{\infty}_{-\infty}ik[A(k)e^{ik\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\rho_1}}t}-B(k)e^{-ik\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\rho_1}}t}]e^{ikx}dk]^2dx\)（1.19）

将（1.18）代入（1.5）可得：

\(dV = \frac{1}{2}\varepsilon_1[\frac{i}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}k[A(k)e^{ik\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\rho_1}}t}+B(k)e^{-ik\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\rho_1}}t}]e^{ikx}dk]^2dx = \frac{1}{8\pi^2}\varepsilon_1[\int^{\infty}_{-\infty}ik[A(k)e^{ik\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\rho_1}}t}+B(k)e^{-ik\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\rho_1}}t}]e^{ikx}dk]^2dx\)（1.20）

对比发现，（1.19）和（1.20）之间只差了一个积分里的正负号，也就是说，要势能和动能相等，条件是：

\(\int^{\infty}_{-\infty}ik[A(k)e^{ik\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\rho_1}}t}+B(k)e^{-ik\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\rho_1}}t}]e^{ikx}dk = \pm\int^{\infty}_{-\infty}ik[A(k)e^{ik\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\rho_1}}t}-B(k)e^{-ik\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\rho_1}}t}]e^{ikx}dk\)（1.21）

我们先看取正号的情况，将积分里两项拆开，移项，有：

\(\int^{\infty}_{-\infty}ik[B(k)e^{-ik\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\rho_1}}t}]e^{ikx}dk = 0\)（1.22）

使用傅里叶变换的导数性质，有：

\(2\pi b'(x-\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\rho_1}}t) = 0\)（1.23）

其中B(k)是b(x)的像函数。

那么取t=0，有：

\(b'(x) = 0\)（1.24）

即\(b(x) = C\)（1.25）

而，数学上，由傅里叶变换的条件，即函数必须绝对可积，则C只能取0，物理上，一般认为无穷远处无波动，或者说波动需要无穷长的时间传播，C取0。所以，我们有：

\(b(x) = 0，B(k) = 0\)(1.26)

同理，取负号时：

\(a(x) = 0，A(k) = 0\)(1.27)

我们在继续结合初始条件之前，先讨论下（1.26）和（1.27）的物理意义。A和B至少有一个为零，意味着波动仅向一个方向传播，这便是波动中任意一点动能和势能相等的条件。当然，我们还要和初始条件\(\varphi ,\psi\)结合，接下来会讲。