接下来我们要把这个问题拓展到旋转椭球上。下面给下启发LYJ巨佬的原题

emm……本题用了一段不严谨，不符合人类正常思维的自然语言论述电荷分布，然后积分了一个比科隆尊火焰剑咏唱还臭还长的函数才做出来。幸亏给了积分公式，如果没给，那更麻烦。

不过嘛，本文的方法也并不符合人类正常思维，如果是要符合人类正常思维，合理地做，那可能是像上文的方法二一样硬搞，然后借助计算机求解，这样甚至对一般的椭球，或者乱七八糟的导体的电容都能搞出数值解。

但是，本文的方法至少可以省去复杂的积分。

对椭球：

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2} = 0$（13）

先讨论细长的椭球：

$a<b$（14）

这种方法可能很多人都知道，但我还是写下吧。

我们依旧是上文的思路，找一个电荷分布，使其等势面为旋转椭球。

我们关注电荷线密度为$\lambda$的线电荷。

如图：

我们作一个电荷线密度与线电荷相同，且与其相切的圆弧电荷，讨论圆心处电场。取一小块，显然方向是从这一块指向或指离圆心的，我们不管方向，只看大小。

对线电荷：

$dE = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\lambda(\frac{rd\theta}{\cos(\theta)}\frac{1}{\cos(\theta)})(\frac{r}{\cos(\theta)})^{-2} = \frac{\lambda d\theta}{4\pi\varepsilon r}$（15）

对圆弧电荷：

$dE = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{\lambda rd\theta}{r^2} = \frac{\lambda d\theta}{4\pi\varepsilon r}$（16）

我们发现，它们是一样的！也就是说，对线电荷上任意一个微小的电荷元，都能找到唯一一个在圆弧上的微小的电荷元，使得它们在圆弧圆心处产生电场相同。也就是说，对任意一个场点，线电荷产生的电场与一个满足圆心在场点，和线电荷相切，且电荷线密度相同的圆弧电荷产生的电场相同，可以等效替代。

对圆弧，由对称性，显然有：场点电场方向平行于场点和线电荷两端连线的角平分线。

又由于等势面垂直于电场线，故线电荷产生电场中，任意一点处，等势面垂直于场点和线电荷两端连线的角平分线。

我们知道，由费马定理，椭圆中焦点发出光线反射后汇聚于另一焦点（光程取极值），所以椭圆上任意一点，切线垂直于该点与两个焦点的连线的角平分线，反之也能证明是椭圆。数学上证明就是高中圆锥曲线的题了，网上随便搜都能搜到。

所以，我们可以发现，线电荷的等势面是椭圆，且焦点在线电荷的两端。

这时，由题目，b是半长轴，a是半短轴，我们取短轴端点这个特殊点就可以计算电势。

·

$dU = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{dx}{\sqrt{a^2+x^2}}$（17）

积分，这个积分用正切三角换元就很简单了

$U= \int^U_0 dU =\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon} \int^{\sqrt{b^2-a^2}}_{-\sqrt{b^2-a^2}}\frac{dx}{\sqrt{a^2+x^2}} = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon}\ln(\frac{b+\sqrt{b^2-a^2}}{b-\sqrt{b^2-a^2}})$（18）

然后，由高斯定理，前文讨论了足够大高斯面内部电量应该相等，也就是电荷集中在假想的线电荷上，有：

$Q = 2\sqrt{b^2-a^2}\lambda$（19）

则：

$C = \frac{Q}{U} = \frac{8\pi\varepsilon\sqrt{b^2-a^2}}{\ln(\frac{b+\sqrt{b^2-a^2}}{b-\sqrt{b^2-a^2}})}$（20）

这个方法好像也不算罕见，但是问题是只能求较细长的旋转椭球，那对另一种呢？

（对了这几天有事要咕，不过好在这篇文章短，现在已经更完2/3了）