好的继续。

上一种情况，我们使用了长度为：

$l = \sqrt{b^2-a^2}$（21）

的带电直线。

接下来要处理扁平椭球：

$a>b$（22）

现在，如果我们让这个直线长度变为复数呢？

$l = \sqrt{a^2-b^2}i$（23）

这样看似没有物理意义，那么这样做为什么可行呢？

我说下我的思考，这些我无法用数学语言描述，只能用自然语言说，如果有大佬能帮忙严谨化这段的话非常感谢。

首先物理上电势分布由电荷密度分布确定（泊松方程）。泊松方程中，处于电荷密度处的东西，数学上就是一个函数，按三维形式的话，就是有三个自变量的三元函数。只是物理上把这个取这个函数为电荷密度分布函数，三个自变量取为空间的三个坐标，函数值取为电荷密度在此处的值。而处于电势处的东西，数学上是另一个函数，物理上取它为空间上某点的电势，发现自然界的电荷密度分布于电势分布恰好满足这个关系。在数学上，完全可以这么看：

$\nabla^2f(x,y,z) = g(x,y,z)$（24）

我们用函数g定义了函数f。

那么我们把电荷密度分布搞成复变函数，对应生成的“电势”也便是复变函数。

那为什么算出的电容是对的呢？

我们当然可以在已经“猜出”电势的情况下通过泊松方程轻易地算出符合的电荷分布，可知满足与带电导体存在时的实电荷分布，只是太复杂我们不能猜出来罢了。也就是说，这种存在的实虚拟电荷的分布产生了实际的导体带实电荷的电势分布，那么我们搞出的复虚拟电荷的分布产生了实际导体带复电荷的电势分布。问题转化为，这两个比值为什么相等？先说结论，这件事归根到底是电势叠加原理能否对“复电势”生效？（注意这里的复电势就是电势的值为复数，不要把它和那个描述平面电场的复势搞混了）因为，从此开始证明的过程中，数学上并不要求实数。证明过程难题集萃有，483-485页。我记忆中它应该有个名字，但我找了好久都没找到，如果有大佬知道能帮忙补充的话非常感谢。下面发图。

那么关键点转为，“复电势”是否满足电势叠加原理？数学上是符合的，而且它并不违背麦克斯韦方程组。不继续深入的话讨论就到此为止了，如果进一步深入考虑可能要涉及麦克斯韦方程组“唯象”的部分，我也不了解，所以也不能严谨证下去。

那就回归主题。

我们可以求电势(积分的时候简单换一下元)：

$U= \int^U_0 dU =\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon} \int^{\sqrt{a^2-b^2}i}_{-\sqrt{a^2-b^2}i}\frac{dx}{\sqrt{a^2+x^2}} = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon}i\int^{\sqrt{a^2-b^2}}_{-\sqrt{a^2-b^2}}\frac{dy}{\sqrt{a^2-y^2}} = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon}\arcsin(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a})i$ （25）

然后由定义有：

$Q = 2\sqrt{a^2-b^2}\lambda i$（26）

则：

$C = \frac{4\pi\varepsilon\sqrt{a^2-b^2}}{\arcsin(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a})}$（27）

好了，那么本文的主要部分就结束了。接下来就是一些有意思的讨论。球是旋转椭球的特殊情况，所以（20）、（21）在复数域上解析延拓后应该是等价的，而（12）应该是特殊情况，是a->b的极限。接下来最后一个回复我会证明这些。不知道又要咕咕几天。