本文章会简要介绍用于描述球对称黑洞、球对称时空的史瓦西度规、R-N度规。及关于黑洞的一些常识。

事先说明：

①为了使公式简洁清晰直观，本文章使用几何单位制（一种基于真空基本常数的自然单位制）：XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

即G=1，c=1，$\displaystyle k_Q=\frac{1}{4\pi \varepsilon _0}=1$，将质量、电荷、时间等均统一为空间长度的量纲。

因此：

史瓦西半径${r_s} = \dfrac{2GM}{c^2}=2M$；${r_M} = \dfrac{GM}{c^2}=M$；${r_Q} = \sqrt {\dfrac{G}{4\pi {\varepsilon _0}}} \dfrac{|Q|}{c^2}=|Q|$

请牢记这个关系，这个关系将会贯穿文章始终。

②本系列大多数推导和描述基于经典广义相对论（Classical GR），忽略可能存在的量子效应，即假设$\hbar \to 0$，至于会描述出什么荒谬的结果（白洞、类时奇点、平行宇宙等），本人概不负责。

③本文使用东海岸度规，即 时空间隔类空 ：XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

④本文不涉及爱因斯坦场方程的求解，只负责认识和理解其中的一些精确解。以帮助大家快速构建对黑洞初步的认知。

⑤本文的创作目的是普及常识，既是科普读物，又可以看作快速入门经典黑洞理论的教程。

一、简要认识GR中常见的可用来描述黑洞的精确解

爱因斯坦场方程有很多精确解（Exact Solution）。这些精确解各自有自己的度规（matric）方程。利用这些度规可以描述对应时空的时空结构。

接下来讨论的内容以3+1维时空（3个宏观空间维+1个宏观时间维）为例，因为我们的宇宙是3+1维时空。当然2+1维时空或者4+1维时空等其它时空维度的情况，也可以精确求解相应的爱因斯坦场方程，只不过我这里没有介绍罢了。

对于永恒存在的孤立黑洞，仅需要3个参数就可以精确描述，即：

M：表观质量（Apparent Mass）

Q：电荷（Electric Charge）

J：内禀角动量（Intrinsic Angular Momentum），有时也叫自旋角动量（Spin Angular Momentum）

这里需要解释永恒存在和孤立（Isolated）这两个概念：

孤立的意思是整个系统，确切地说是整个宇宙，除了这个中心天体以外，再也没有其它物体。

孤立黑洞的意思是这个宇宙中除了这个黑洞以外，没有其它物体（或者只有一些可以忽略不计的观察者、探测粒子）。

永恒存在的意思是，在外部观察者(例如无穷远处静止观察者)看来，它的存在时间t∈(-∞,+∞)，从无穷远的过去到无限远的未来。而且因为是孤立黑洞，在它存在时间内，时空结构都毫无变化。即时空呈稳态或者说定态：XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

这显然不同于现实中的黑洞，不同于天文观测中实际观察到的黑洞（比如通过有限时间前的恒星塌缩形成的黑洞）；而是一种理想的，数学上的黑洞模型，不过对于现实中的黑洞来说，仍然是一个很好的近似。

为什么说现实的（休眠）黑洞可以用这种理想模型很好地近似呢？一个（孤立）黑洞如果“休眠”足够长时间，不经历大的事件（黑洞形成、黑洞合并、大量吞噬物质等），那经历的这足够长时间就可以近似看成永恒了。

这个足够长怎么定义呢？

黑洞的大小，量纲为长度；经历时间量纲为时间，那么统一一下量纲就可以对比了。长度量纲除以光速c就是时间量纲，光速c是一个很大的数字，所以即使是很大的黑洞，换算成时间单位后都不算长；所以经历的这相对长时间，就很轻易远大于这个值了。因此永恒存在的孤立黑洞这个近似通常是合理的。

这些黑洞解通常都是真空解（Vacuum Solution），这意味着在解成立的区域，没有任何（可能导致时空弯曲的）物质和能量，即能动张量（基本上）处处为零$T_{\mu\nu}=0$，这个真空是经典力学意义上的真空，连量子涨落都不予考虑的那种。

当然也有很多是电真空解（Electrovacuum Solution），在解成立的区域，（除了引力场外）只有电磁场，（除了中心天体以外）没有场源和旋度，也没有其它物质分布。除了场本身以外，就是真空。

下面我们将简要介绍黑洞的分类学：

1、在不考虑宇宙学常数的情况下，即宇宙学常数$\Lambda=0$时：

永恒存在的孤立黑洞只具有M、Q、J三个参数，那么根据这三个参数，可以对黑洞进行分类：

黑洞一般都有表观质量M＞0；那么区别就在于是否带电以及是否旋转了，因此可以分为四类：

不带电不旋转黑洞：史瓦西黑洞（Schwarzschild Black Hole）

带电不旋转黑洞，简称带电黑洞：莱斯纳-诺德斯特诺姆黑洞（Reissner–Nordström Black Hole），以下全部简称R-N黑洞

旋转不带电黑洞，简称旋转黑洞：克尔黑洞（Kerr Black Hole）

旋转带电黑洞：克尔-纽曼黑洞（Kerr-Newman Black Hole），以下简称K-N黑洞

其对应的场方程的精确解、度规如下：

他们之间的关系是：

K-N度规是最普适的情况，令J=0，自动退化为R-N度规；R-N度规中，再令Q=0，自动退化为史瓦西度规

同理，K-N度规中，令Q=0，自动退化为Kerr度规；Kerr度规中，再令J=0，自动退化为史瓦西度规。

史瓦西度规中，再令M=0，自动退化为闵可夫斯基（Minkowski）度规，此时狭义相对论（Special Relativity，SR）严格成立。

2、考虑宇宙学常数$\Lambda$

Λ可以分三种情况，Λ>0，Λ<0，Λ=0；Λ>0的宇宙称为德西特（de Sitter, dS）宇宙，Λ<0的宇宙称为反德西特（anti-de Sitter, AdS）宇宙。

那么我们继续分类：每种度规又存在对应的dS度规和AdS度规，综上是4×3=12种基础的黑洞解

当然鉴于Λ>0时和Λ<0时，这些度规有同样的数学形式，因此Λ>0和Λ<0可以归为同样的Λ≠0情况，此时你可以认为有4×2=8种黑洞解。

综上，在3+1维时空中，K-N (A)dS度规是描述永恒存在的孤立黑洞的最普适的度规，令某些参数=0时，可以退化为更简单的形式。

例如K-N (A)dS度规令Λ=0就是K-N度规等等……道理都一样的，这里不再重复。

当然为了降低大家的认知负担，这部分我们暂且按下不表，下面先把Λ=0（不考虑宇宙学常数）的情况讨论明白，然后再把方法推广到更普适的情况。

3、这些度规的发现史简介

所有这些度规的发现方式都是精确求解爱因斯坦场方程。

1905年，爱因斯坦总结出狭义相对论

1915年，爱因斯坦正式发表广义相对论

1916年，正式发表不到2个月，广义相对论的第一个精确解，史瓦西度规被卡尔·史瓦西（Karl Schwarzschild）求解，这是一个球对称的真空解。很快，他提出了内部史瓦西度规（见下文）

1917年，德西特发现了德西特宇宙（Λ取负值就是反德西特度规），这是第一个发现的宇宙学解（比1922年的FLRW度规还早）。

1918年，Reissner和Nordström分别独立求解爱因斯坦-麦克斯韦方程组，解出球对称、带电的真空解R-N度规。

1963年，罗伊·克尔（Roy Kerr）求解出了轴对称，旋转的Kerr解。

1965年，纽曼（Newman）根据Kerr的思路，求解出了带电且旋转的克尔-纽曼度规。

1967年，约翰·惠勒在演讲中提出用“黑洞”这个词描述“引力完全塌缩的星球”这一概念，1968年，黑洞这个词正式进入学术论文。

可见这一部分内容并不难理解和记忆。

二、史瓦西度规和R-N度规的概念

史瓦西度规，R-N度规，R-N (A)dS度规等……都是非旋转（Non-Rotating）、球对称（spherical symmetric）解。相比之下，所有名称中带Kerr的度规，都是旋转的（Rotating）、轴对称（axial symmetric）解。（球对称的时空一定不旋转，旋转一定破坏时空的球对称。但是不旋转的物体也可能不是球对称）

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史瓦西坐标系下，R-N (A)dS度规及其全部退化形态都满足形式：

$ds^2=-{c^2}d{\tau ^2} =g_{tt}dt^2+g_{rr}dr^2+g_{\theta\theta}d\theta^2+g_{\varphi\varphi}d\varphi^2$

这是个正交(orthogonal)曲线坐标系，其度规张量(metric tensor)是对角(diagonal)的：

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其中还必然有：$g_{\theta \theta }=r^2$，$g_{\varphi \varphi }=r^2\sin^2\theta=g_{\theta \theta }\sin^2\theta$，（这是因为r的定义选的比较好，看后文）

且必然有$g_{tt}g_{rr}=-c^2$（在几何单位制下可以写成$g_{tt}g_{rr}=-1$）（(电)真空解是这样的，内部史瓦西度规就不这样了）

因此史瓦西形式的任意球对称静态真空解/电真空解为：

$\displaystyle ds^2=-f(r)c^2dt^2+\frac{dr^2}{f(r)}+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2)$，其中$-g_{tt}=\dfrac{1}{g_{rr}}=f(r)$

爱因斯坦场方程的真空解、电真空解能得出关于f(r)的线性方程（注意是精确严格的，不是弱场近似下的）

其中：

$f(r)=1$表示一个纯纯的闵可夫斯基几何（平直时空，flat Spacetime）

$f(r)=1-\dfrac{2M}{r}$表示真空中的一个表观质量为M的史瓦西度规；

$f(r)=1-\dfrac{\Lambda}{3}r^2$表示宇宙学常数为Λ的一个(anti-)de Sitter宇宙，其中$\dfrac{\Lambda}{3}=H_0^2$，H0为哈勃参数

$f(r)=1-\dfrac{2M}{r}-\dfrac{\Lambda}{3}r^2$即为de Sitter–Schwarzschild解（3+1维时空下），当然相应地，其它空间维数的时空， $-\dfrac{2M}{r}$也要根据高斯定理相应修改

同样道理；$f(r)=1 - \dfrac{2M}{r} + \dfrac{Q^2}{r^2}$表示表观质量为M，电荷为Q的R-N度规

$f(r)=1 - \dfrac{2M}{r} + \dfrac{Q^2}{r^2}-\dfrac{\Lambda}{3}r^2$ 表示表观质量为M，电荷为Q，宇宙学常数为Λ的R-N (anti-)de Sitter度规

请看：XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

而且本系列文章提到的绝大多数公式中，电荷Q总是以平方Q^2的形式出现在公式中，这体现了电荷的正负号不影响时空几何本身。任何情况下，给电荷乘个负号，不影响时空结构。

可见想要背诵、记忆这些度规的表达式，根本不复杂。

再次提醒，为使表达式简洁清晰，本文采用了几何单位制，即G=1，c=1，$\displaystyle k_Q=\frac{1}{4\pi \varepsilon _0}=1$，因此：

史瓦西半径${r_s} = \dfrac{2GM}{c^2}=2M$；${r_M} = \dfrac{GM}{c^2}=M$；${r_Q} = \sqrt {\dfrac{G}{4\pi {\varepsilon _0}}} \dfrac{|Q|}{c^2}=|Q|$

请牢记这个关系，这个关系将会贯穿文章始终。

0、史瓦西度规和R-N度规的适用范围

R-N (A)dS度规适用于非旋转、球对称物体的外部时空，且要求外部为真空，或电真空（Electrovacuum），即除了电磁场（与引力场）以外不含任何物质和能量。

注意这个关键词，外部时空：

这些度规适用范围并不仅限于黑洞、白洞、裸奇点之类的极端物体。也可以适用于（真空中的）普通球体。只要是非旋转、球对称孤立物体的外部时空，都适用于这些度规。甚至都不要求时空是全局静态（Static）的，对于正在塌缩或膨胀的球对称天体，只要是位于外部的真空，这些度规就仍然正常适用。

但是内部怎么办？我们只知道内部也是球对称的，并不能自动求出其它信息。

所以内部的时空结构完全取决于物质、能量、压力、电荷等的径向分布。

考虑一种极端的情况，例如物质和电荷全分布在球壳，那么根据球壳定理（Shell Theorem），那么内部完全是平直时空，即闵氏几何。当然这种情况可能很不稳定，其半径可能还在随时间演化：例如在引力作用下继续塌缩，或者在静电斥力的作用下膨胀，并且这个球壳的初速度我们也是未知的，所以即使是知道系统的势函数，也不构成确定半径随时间演化的完整信息。

然后考虑另一种极端情况，内部仍然是真空解或者电真空解，除了中心奇点以外。那么在星体（通常是黑洞、白洞）内部，依然可以用上述同样的公式进行解析延拓来描述（至少在某些范围内还是可以解析延拓的）。

还有一种理想情况，叫内部史瓦西度规，全称interior Schwarzschild solution或者interior Schwarzschild metric，用于描述永恒存在的、孤立的、不带电不旋转的球对称的不可压缩流体（incompressible fluid），且该球体的表面压力为0，不可压缩流体意味着它内部的物质密度处处相等，这个度规也叫Schwarzschild fluid solution。这个度规仍然是Karl Schwarzschild求解出来的，仅仅在他解出外部史瓦西度规（exterior Schwarzschild metric，就是我们常说的Schwarzschild metric）后不久。

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1、史瓦西坐标系下各坐标的定义

史瓦西坐标系适用于球对称时空。

史瓦西坐标系有4个坐标t,r,θ,φ，称作准球坐标系(quasi-spherical coordinate)，类似球坐标系（但是多个时间t），当然在时间方向上是连续平移对称的（时空结构不随时间演化，$\dfrac{\rm d g_{\mu\nu}}{\rm dt}=0$，度规的所有分量都和t毫无关系，正所谓永恒存在、定态）

但是坐标系的坐标定义必须说清楚：

t表示的是无限远处静止观察者记录的时间；相比之下，proper time本征时τ是探测粒子(test particle)本身记录的时间。

r是史瓦西径向坐标，是圆周半径；t和r为定值的曲面是一个球面，球面上每一个点，时空的弯曲程度都是一样的，这个球面的“赤道”周长是2πr，面积是4πr²，测量周长，把这个周长除以2π即可得到径向坐标r

注意：不是拿一个刚性直尺戳到r=0测量到球壳的距离长度，由于时空弯曲（空间弯曲），这个长度一般比r大（本征半径大于坐标半径）；这还只是没有形成黑洞的一般情况，如果是黑洞那种极端情况，视界以下根本不存在r为定值的尺子。拿到r=0的时空距离定义r是完全不靠谱的，本征半径根本就是不良定义的。哪怕本征半径可以定义，用它来表达度规也有巨大的繁琐和不便之处，且用本征半径表达的度规也不可能有很好很简洁的渐近行为。

时空曲率等性质往往是r的函数，r不同的地方，时空弯曲程度也不同。由于空间上的球对称性、时间上的连续平移对称性，因此这个时空的很多性质一般都是仅有r为自变量的一元函数。

θ，φ类似球坐标系下的θ和φ，采用弧度制，θ是余纬度(colatitude)，北极为0，南极为π，赤道为π/2；余纬度的意思是与纬度存在π/2的相位差。φ是经度（Longitude），无所谓0点定义

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对于球对称静态时空的度规（例如R-N (A)dS度规，内部史瓦西度规等），可以写成如下形式：

$ds^2=-{c^2}d{\tau ^2} =g_{tt}dt^2+g_{rr}dr^2+g_{\theta\theta}d\theta^2+g_{\varphi\varphi}d\varphi^2$

其中$g_{\theta \theta }=r^2$，$g_{\varphi \varphi }=r^2\sin^2\theta=g_{\theta \theta }\sin^2\theta$

因此$ds^2=-{c^2}d{\tau ^2} =g_{tt}dt^2+g_{rr}dr^2+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2)$

由于球对称性，赤道平面可以任意人为定义（只要是通过坐标原点的平面），我们定义$g_\Omega =g(\Omega)=do ^2=d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2$，相当于球面上两点到原点连线的夹角的微分的平方(或者球面上连接两点的测地线对应的圆心角的弧度的微分的平方)：

也可以写作为$d\Omega_{n-2}^2$，因为n维时空的t,r为常数的(超)球面有n-2个空间自由度。

之所以我们能这样定义，是因为：对于球对称时空，t、r均为常数的曲面（正球面）上的度规为：$dl^2=r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2)$

因此：$ds^2=-{c^2}d{\tau ^2} =g_{tt}dt^2+g_{rr}dr^2+r^2do^2$

史瓦西时空、R-N时空等球对称时空，还可以通过坐标变换变成其它形式（但是本文中不再放上，等哪一天用到了再放吧）：

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2、史瓦西、R-N度规中，各常数参数的定义

这些度规没有角动量，不需要考虑自转有关参数。

宇宙项涉及的宇宙学常数Λ，我们也不过多讨论。

Q是电荷量（Electric Charge）。电荷守恒，高斯定理在极端弯曲时空中仍然严格成立。

其实也可以是其它荷，但是色荷（Color Charge）不涉及长程力；磁荷（磁单极子）不存在，不然公式中的所有Q^2直接可以改成Q^2+磁荷^2了。所以现实中只考虑电荷就够了。

关键是这个表观质量M，为什么叫表观质量（Apparent Mass）呢？它相对应的概念本征质量（Proper Mass）又是什么？

（这一部分内容可能有点长，如果觉得难以理解，可以暂时跳过，不影响后面的阅读；后续的科普作品中可能只用一句话或者一小段话概括）

关于“表观质量”（Apparent Mass）

这里的表观质量（Apparent Mass）仍然不是广义相对论的严谨用词，广义相对论中有很多种质量的定义方式：

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其中比较典型的有3种，Komar质量、Bondi质量和ADM质量：

Komar质量的定义范围是任意稳态/定态（Stationary）时空，且只能定义在定态时空。定态的定义是时空结构（度规）不随时间演化（与时间无关，不是时间的函数），即$\dfrac{\rm d g_{\mu\nu}}{\rm dt}=0$，这样的时空有时间连续平移对称性，严格的说法是存在类时的Killing矢量。因为它有时间上的连续平移对称性，所以根据诺特定理（Noether's theorem），系统能量守恒；然后找一个与之相对静止的参考系，就可以良好地定义它的能量和质量。

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它的局限性也非常明显，仅适用于严格稳态时空，只要不是严格的定态时空（比如两颗中子星相互绕转、黑洞并合），Komar质量就是不良定义的。它无法处理任何动态演化和引力波辐射。

ADM质量，全称是Arnowitt-Deser-Misner质量，以Richard Arnowitt、Stanley Deser和Charles W.Misner的名字命名。ADM质量的意义是给一个孤立的（Isolated）、时空在空间无穷远处趋于平坦（渐近平直，asymptotically flat）的自引力系统（Self-Gravitating System/Body）定义一个总质能值。

我们考虑一个场源被无限大的真空包围的系统，长程来看，系统的时空几何趋向于平直的闵氏时空，这种时空我们称之为渐近平直时空（Asymptotically Flat Spacetime）。此时我们定义一个全局的质量、能量、动量还是有可能的。在远离场源的地方，可以根据时空的渐近行为研究系统的守恒量。根据诺特定理的渐近形式，空间无穷远处的时间平移对称性能得出守恒的ADM能量，空间平移对称性能得出守恒的ADM动量。

ADM质量关心的是系统在无穷远处的渐近行为，关心的是无穷远处观测者受到的影响，你可以理解为空间无穷远处度规偏离平直背景的"通量"。

类似的方法还可以定义Bondi质量，这两个质量都很常用。区别包括ADM质量定义在类空无穷远$i^0$范围内，Bondi质量定义在零无穷远（Null Infinity），即未来类光无穷远$\mathscr{I}^+$范围内。Bondi质量是一个随时间（推迟时间 u，retarded time，也叫零坐标，适用于Bondi-Sachs坐标系等类光坐标系）变化的量。它测量的是：截止到推迟时间 u（$u=t-\dfrac{r}{c}$），系统中还剩余的总质量-能量。

ADM质量常常是守恒的，而Bondi质量可能会随着时间的推移而减少，因为能量可能被引力波、电磁波等带走（Bondi质量显式地考虑了辐射带走能量这一动态过程）。因此常有ADM质量大于等于Bondi质量。

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ADM质量、Bondi质量的局限也是仅适用于孤立的、渐近平直的时空。

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对于这些度规描述的体系：永恒存在的孤立黑洞来说，Komar质量、Bondi质量和ADM质量都等于M。因为对于真空解来说，Komar质量就等于ADM质量。而且永恒存在的孤立黑洞也不存在通过电磁辐射或者引力波辐射损失质能和角动量的情况，因此Bondi质量和ADM质量相等。

但是对于现实中的黑洞来说，根本不存在什么永恒不变的时空结构，都是后天形成的，不是从无穷远过去就存在的。Komar质量是不良定义的。

你给黑洞以及环绕黑洞运行的天体构成的整个孤立系统定义一个ADM质量还是可能的，但是现实中也并不存在这样的孤立系统。

关于本征质量（Proper Mass）

在狭义相对论中，"本征质量"通常指 invariant mass / intrinsic mass / proper mass（不变质量/内禀质量/固有质量）。是指一个物体在其瞬时静止参考系中所测得的质量，这是一个标量，不随参考系变化。

特殊地，当系统整体静止（质心系）时，它就等于总能量除以 c²。特殊地，当系统只有一个物体/质点时，本征质量指的就是该物体的静止质量（rest mass）。不变质量已经把系统内部所有粒子的动能、相互作用势能都算进去了，但它不含引力场自身的能量贡献。即使系统内部粒子高速运动、相互作用复杂，只要总四动量确定，系统的本征质量就唯一确定（比如核子、原子核、原子等体系）。它是能量-动量四维矢量的模长，是狭义相对论中的一个洛伦兹不变量——所有参考系下测得的值都相同。

系统的本征质量可以大于组成该系统的粒子的本征质量和（动能、热能、电场排斥能、弹性势能等贡献），也可能小于组成该系统的粒子的本征质量和（电场吸引能等）

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然而在广义相对论中，由于引力势能的存在，以及压力对于引力的影响，本征质量不是一个良好的可观测量。对于被引力束缚的天体（例如白矮星、中子星等）的本征质量，可以定义成本征质能密度，对本征体积进行的积分。你可以理解为组成这个星体的物质原本的质能。由于引力结合能通常是负的，表观质量≤本征质量。

显然对于轨道力学、天体动力学而言，本征质量的意义不大。这些领域关心的开普勒质量、动力学质量、惯性质量、引力质量显然都不是本征质量，更接近于表观质量。

而且对于永恒存在的孤立黑洞来说，本征质量根本就是不良定义的，我们也根本不关心这个，我们只关心它的表观质量M。

以下给出几个能说明表观质量和本征质量不同的经典案例：

对于球对称、不旋转、稳态、孤立的白矮星或中子星：

• ADM 质量 = Komar 质量（数值相等）

• 两者都 < 本征静质量之和 M0​

• 差额就是负的引力结合能，已经完全包含在 ADM/Komar 质量的测量值中

这里有个理想案例，就是内部史瓦西度规（适用于球对称不可压缩流体这种很理想的模型，尤其是不可压缩这一点就不现实），它的本征密度、本征半径、本征体积、本征质量、内部压力、引力结合能存在精确表达式。它的本征密度表达式惊人地简洁：$\rho=\dfrac{M}{\dfrac{4\pi}{3}r_g^3}$，给人的感觉就像是表观质量除以了“欧几里得体积”。

这个我们以后深入讨论。XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

对于动态坍缩或双星并合过程：

• ADM 质量保持恒定（总资产不变，所谓质能守恒）

• Bondi 质量随时间递减，减少量 = 辐射出的引力波、电磁波等能量

• Komar 质量在此场景下失去定义（时空不具备类时 Killing 矢量）

对于一个从动态演化最终归于稳态的孤立系统（比如双黑洞并合），三者满足如下层级关系：

$\underbrace{M_{\text{ADM}}}_{\text{总资产}} = \underbrace{M_B(-\infty)}_{\text{辐射前}} \ge \underbrace{M_B(+\infty)}_{\text{辐射后}} = \underbrace{M_{\text{Komar}}}_{\text{最终稳态黑洞质量}}$

• ADM 质量：守恒的总资产，包括了所有已经和未来将以引力波形式辐射出去的能量

• Bondi 质量：随时间递减，减少的部分就是辐射出去的能量

• Komar 质量：仅适用于最终的不辐射稳态，与最终 Bondi 质量相等

下面终于到本文的重点部分了：正式开始揭秘黑洞、白洞最重要的结构：单向膜区；揭秘视界、白洞、裸奇点是什么：

三次提醒，为使表达式简洁清晰，本文采用了几何单位制，即G=1，c=1，$\displaystyle k_Q=\frac{1}{4\pi \varepsilon _0}=1$，因此：

史瓦西半径${r_s} = \dfrac{2GM}{c^2}=2M$；${r_M} = \dfrac{GM}{c^2}=M$；${r_Q} = \sqrt {\dfrac{G}{4\pi \varepsilon _0}} \dfrac{|Q|}{c^2}=|Q|$

请牢记这个关系，这个关系将会贯穿文章始终。

三、视界、单向膜区、白洞与裸奇点

0、世界线一定受度规方程约束

质点的运动方程、世界线方程、测地线方程等一定要受到度规方程约束的，这是我们进行推导和讨论的大前提。

现实中任何质点都需要严格满足：$ds^2=-{c^2}d{\tau} ^2\le0$，其中τ为固有时（本征时，Proper Time），是个标量。

对于亚光速（subluminal）粒子（‌慢子，tardyon），它的世界线满足固有时单向流逝$d{\tau }^2 \gt0$，它的时空间隔（Spacetime Interval）满足$ds^2=-{c^2}d{\tau ^2}\lt0$，拥有类时（Timelike）世界线（worldline）。

对于光速粒子，例如光子、短波引力波等，它的固有时停止流逝，$d\tau=0$，它的时空间隔严格满足$ds^2=-{c^2}d{\tau ^2}=0$，拥有类光（Lightlike）世界线。

对于超光速（superluminal）粒子（快子，tachyon），它的时空间隔满足$ds^2=-{c^2}d{\tau ^2}>0$，拥有类空（Spacelike）世界线。

我们着重讨论前两种情况，暂不考超光速的情况。

1、以平直时空为例，说明为什么时间坐标t类时，空间坐标类空

对于M=0，Q=0的闵氏时空，$1 - \dfrac{2M}{r} + \dfrac{Q^2}{r^2}=1>0$，(伪)球坐标系下度规方程可以简化为：

$\displaystyle ds^2=-c^2d\tau^2=-c^2dt^2+dr^2+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2)=-c^2dt^2+dr^2+r^2do^2$

针对类时世界线讨论

对于类时世界线来说：$-1=-\left(\dfrac{ds}{d\tau}\right)^2=\left(\dfrac{dt}{d\tau}\right)^2-\left(\dfrac{dr}{d\tau}\right)^2-r^2\left(\dfrac{do}{d\tau}\right)^2$

几何单位制下，光速c=1，省略了，可以不写；因此$\left(\dfrac{ds}{d\tau}\right)^2=1$

因此一定有$\left(\dfrac{dt}{d\tau}\right)^2-\left(\dfrac{dr}{d\tau}\right)^2-r^2\left(\dfrac{do}{d\tau}\right)^2=1\gt0$，注意这里是严格大于号，不是大于等于号，因为$ds^2=-{c^2}d{\tau ^2}\lt0$本来就是严格小于号。

又因为：$\left(\dfrac{dr}{d\tau}\right)^2\ge0$，$r^2\left(\dfrac{do}{d\tau}\right)^2\ge0$严格成立，因此解这个不等式，得出的结论是：一定满足$\left(\dfrac{dt}{d\tau}\right)^2 \ge1 \gt0$

$\left(\dfrac{dt}{d\tau}\right)^2 \gt0$严格大于0，意味着什么呢？$\dfrac{dt}{d\tau}$要么一直＞0（一直正向流逝），要么一直＜0（一直倒向流逝），在质点本身的参考系看来，无论哪种情况，时间都是单向流动（unidirectional，one-directional）的，即，根本不可能突然掉头，不存在从>0，经过=0，再掉头转向到<0的情况。

(关于这个时间一直倒向流逝，这里说明一下，物理定律普遍具有时间反演对称性，尤其是狭义相对论或者广义相对论这种经典力学定律。对于基本粒子或者简单粒子来说，无所谓时间的方向，有一种说法，反物质就是时间倒流的正物质，反之亦然，根据量子场论。)

请注意，类时观者无论本征时是正流还是倒流，其世界线都是类时的，不存在由类时转为类空然后掉头的情况。

而$\left(\dfrac{dr}{d\tau}\right)^2 \ge0$，意味着，从质点自身视角来看，允许你掉头，允许你从>0，经过=0，再掉头转向到<0的情况；就像你在路上调转方向一样正常。

所以称时间坐标t是类时的。空间坐标r，θ，φ是类空的。类时的意思是必须像时间一样单向流动。类空的意思是你可以自由地切换方向，向上切换到向下，向左切换到向右，向前切换到向后，反之亦然。而时间流动方向你不能在向过去和向未来随意切换。

针对类光世界线讨论

由于类光世界线不经历固有时，$ds^2=-c^2d\tau^2=0$，$d\tau=0$，因此上述关于类时世界线的讨论并不好直接应用于类光世界线。

你当然可以直接对$0=-c^2dt^2+dr^2+r^2do^2$进行讨论，舍弃$dt^2=0,dr^2=0,do^2=0$的无意义的平凡解，类似上述讨论过程，得出结论$dt^2>0$，即时间坐标t类时。

但是更严谨的证明方法，会引入一个新的概念，叫：仿射参数（Affine Parameter），通常写为λ。（这一段看不懂可以跳过，直接进入下一段）

引入它的目的是什么呢？用来衡量类光世界线“经历了什么”、“经历了多少”，对于类时世界线（有质量粒子），直接用固有时τ就好了，对于无静止质量粒子，固有时不能用，但是必须要有个东西衡量经历了什么。

仿射参数有个性质，你可以定义$\lambda'=C_1\lambda+C_2$，其中C为常数，此时λ'仍然是一个合理的仿射参数。因为这样做，dλ'与dλ完全是成正比的。因此下面的公式会仍然严格成立。

最常用的仿射参数选取方法是：根据光子的轨道能量守恒$E=f(r)\dfrac{dt}{d\lambda}$定义λ（细节我们下一篇讲），此时，λ你可以理解为正比于光子或者某种波动的“振动次数”，这样理解有助于你理解各种红移蓝移现象。

对于闵氏时空的类光世界线来说，由度规可知，$\left(\dfrac{dt}{d\lambda}\right)^2-\left(\dfrac{dr}{d\lambda}\right)^2-r^2\left(\dfrac{do}{d\lambda}\right)^2=0$，这个公式和$\left(\dfrac{dt}{d\tau}\right)^2-\left(\dfrac{dr}{d\tau}\right)^2-r^2\left(\dfrac{do}{d\tau}\right)^2\gt0$形式非常类似，因此可以采用类似的处理方法：

因为$\left(\dfrac{dr}{d\lambda}\right)^2+r^2\left(\dfrac{do}{d\lambda}\right)^2\ge0$恒成立，因此$\left(\dfrac{dt}{d\lambda}\right)^2\ge0$恒成立

我们需要舍弃$\left(\dfrac{dt}{d\lambda}\right)^2=0,\left(\dfrac{dr}{d\lambda}\right)^2=0,r^2\left(\dfrac{do}{d\lambda}\right)^2=0$这种平凡解（trivial solution），这种解不符合现实也没有任何意义。光子不会无缘无故在时空图上静止。

因此现实中是$\left(\dfrac{dr}{d\lambda}\right)^2+r^2\left(\dfrac{do}{d\lambda}\right)^2\gt0$，$\left(\dfrac{dt}{d\lambda}\right)^2\gt0$，进而可以推导出：$\left(\dfrac{dr}{d\lambda}\right)^2\ge0$，$\left(\dfrac{do}{d\lambda}\right)^2\ge0$

$\left(\dfrac{dt}{d\lambda}\right)^2$必须严格＞0，不能=0，说明t是类时的，$\dfrac{dt}{d\lambda}$不能从＞0,转到=0再掉头成＜0，从仿射参数视角，时间单向流动。

而剩下的r，θ，φ坐标类空，意思是允许$\dfrac{dr}{d\lambda}$之类的从＞0,转到=0再掉头成＜0，选择哪个方向，切换成哪个方向，上下左右前后都是自由的。

同理，上述讨论对于直角坐标系（笛卡尔坐标系），即txyz坐标系，也同样适用；或者你也可以用柱坐标系trθz证明一遍，方法是一样的。下文我们将对弯曲时空做同样的讨论。

（补充一点：

对于类时世界线粒子（有质量粒子），仿射参数λ与固有时τ线性相关，固有时τ本身就是一个合理的仿射参数；更极端的说法是，固有时τ就是仿射参数。

对于任何粒子，无论有质量粒子还是光子，仿射参数λ你都可以理解为正比于某种“内部振动次数”，或者量子相位变化次数。比如电磁波、引力波等在某指定参考系下观察到的振动次数，比如铯原子的某种振动次数。）

2、事件视界、单向膜区与“时空互换”现象

观察R-N度规方程：

$ds^2=-{c^2}d{\tau ^2} =g_{tt}dt^2+g_{rr}dr^2+g_{\theta\theta}d\theta^2+g_{\varphi\varphi}d\varphi^2$

$\displaystyle ds^2=-f(r)dt^2+\frac{dr^2}{f(r)}+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2)$，其中$f(r)=1 - \dfrac{2M}{r} + \dfrac{Q^2}{r^2}$

R-N度规方程具体形式为：

$\displaystyle ds^2=-\left(1 - \dfrac{2M}{r} + \dfrac{Q^2}{r^2}\right)dt^2+\dfrac{dr^2}{1 - \dfrac{2M}{r} + \dfrac{Q^2}{r^2}}+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2)$

类时和类光世界线都要求$ds^2=-{c^2}d{\tau} ^2\le0$处处成立。

首先θ坐标和φ坐标一定是类空的，这毫无疑问：$g_{\theta \theta }=r^2\ge0$，$g_{\varphi \varphi }=r^2\sin^2\theta=g_{\theta \theta }\sin^2\theta\ge0$

$r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2)\ge0$，很显然，球面也是个有两个空间自由度的空间

所以唯一能讨论的就是$-\left(1 - \dfrac{2M}{r} + \dfrac{Q^2}{r^2}\right)dt^2+\dfrac{dr^2}{1 - \dfrac{2M}{r} + \dfrac{Q^2}{r^2}}$这一块了，为了$ds^2=-{c^2}d{\tau} ^2\le0$，以下表达式必须严格成立：

$-\left(1 - \dfrac{2M}{r} + \dfrac{Q^2}{r^2}\right)dt^2+\dfrac{dr^2}{1 - \dfrac{2M}{r} + \dfrac{Q^2}{r^2}}\le0$

即$f(r)\left(\dfrac{dt}{d\tau}\right)^2-\dfrac{1}{f(r)}\left(\dfrac{dr}{d\tau}\right)^2>0$，或$f(r)\left(\dfrac{dt}{d\lambda}\right)^2-\dfrac{1}{f(r)}\left(\dfrac{dr}{d\lambda}\right)^2\ge0$，其中$-g_{tt}=\dfrac{1}{g_{rr}}=f(r)$

①当r→+∞时，f(r)→1>0，符合我们的直觉，远处的性质类似平直时空（正常时空）。根据前面的讨论：时间坐标t是类时的，径向坐标r是类空的。即$\left(\dfrac{dt}{d\lambda}\right)^2>0$，$\left(\dfrac{dt}{d\tau}\right)^2>0$；$\left(\dfrac{dr}{d\lambda}\right)^2\ge0$，$\left(\dfrac{dr}{d\tau}\right)^2\ge0$，这毫无疑问。

②当f(r)<0时，有意思的事情来了：

$f(r)\left(\dfrac{dt}{d\tau}\right)^2-\dfrac{1}{f(r)}\left(\dfrac{dr}{d\tau}\right)^2>0$，或$f(r)\left(\dfrac{dt}{d\lambda}\right)^2-\dfrac{1}{f(r)}\left(\dfrac{dr}{d\lambda}\right)^2\ge0$的条件，变成了：

$\left(\dfrac{dt}{d\lambda}\right)^2\ge0$，$\left(\dfrac{dt}{d\tau}\right)^2\ge0$；$\left(\dfrac{dr}{d\lambda}\right)^2\gt0$，$\left(\dfrac{dr}{d\tau}\right)^2\gt0$，无穷远处观察者看来的坐标时间t变成类空的了，像闵氏时空中的空间坐标那样，可以自由选择和切换方向。史瓦西径向坐标r变成类时的了，像（闵氏时空中的）时间一样具有单向性（unidirectional）。这就是各种科普作品里常常提到的“时空互换”（Space-Time Switching Roles），不过显然这种说法不够专业。

这一片区域的特点是一定没有静止参考系。（等讲到旋转黑洞的时候，会详细介绍：单向膜区一定没有静止参考系，但是没有静止参考系的区域不一定是单向膜区）

而f(r)<0的时空区域就被称为单向膜区（one-way membrane region），这是黑洞和白洞最重要的结构。$\dfrac{dr}{d\lambda}<0$表示单向向内，为黑洞；$\dfrac{dr}{d\lambda}>0$表示单向向外，为白洞。（为什么这里只强调类光世界线就够逻辑完整了？从时空图一点出发的光锥，边界的类光世界线就是光锥的包络线（或者反过来说），被包络的就是类时世界线（或者反过来说）。这一点甚至可以用于证明奇点定理）（或者换种说法，光子都抵抗不了这种效应，亚光速粒子更抵抗不了这种效应）

既然$f(r)=1 - \dfrac{2M}{r} + \dfrac{Q^2}{r^2}$中，f(r)是有精确表达式的、关于r的一元(实变)函数。那么f(r)<0对应的r的取值就是可以精确求解的。

我们这里令判别式（discriminant）$\Delta=r^2 - 2Mr+Q^2=r^2\cdot f(r)$，注意它不是二次多项式是否＞0的判据，它是二次多项式本身，是一个事件（时空坐标）是否位于单向膜区的判据。

我们先求解f(r)=0这个方程：

当r≠0时，$f(r)=1 - \dfrac{2M}{r} + \dfrac{Q^2}{r^2}=0$就对应了$\Delta=r^2f(r)=r^2 - 2Mr+Q^2=0$

设它的两根为$r_+,r_-$，其中$r_+\ge r_-$

则有：$r_\pm=M\pm\sqrt{M^2-Q^2}$，其中$M^2\ge Q^2$，且有$r_+r_-=Q^2$，$r_++r_-=2M$

因此，当r≠0时，$f(r)=1 - \dfrac{2M}{r} + \dfrac{Q^2}{r^2}<0$就对应了$\Delta=r^2f(r)=r^2 - 2Mr+Q^2<0$，即$r_-<r<r_+$

$M-\sqrt{M^2-Q^2}<r<M+\sqrt{M^2-Q^2}$，其中$M^2\gt Q^2$

$\Delta=0$的两个实根，$r_\pm=M\pm\sqrt{M^2-Q^2}$对应了这片区域的两个边界，是r为定值，t∈(-∞,+∞)，θ,φ取满整个定义域的类光超曲面。称为视界（Horizon）

$r_+=M+\sqrt{M^2-Q^2}$对应外视界（Outer Horizon），又叫黑洞的事件视界（Event Horizon）

$r_-=M-\sqrt{M^2-Q^2}$对应内视界（Inner Horizon），又叫黑洞的柯西视界（Cauchy Horizon）

当Q=0时，退化为史瓦西度规：$f(r)=1 - \dfrac{2M}{r}$

此时没有内视界，因为r=0时，$f(r)=1 - \dfrac{2M}{r}$趋向于-∞

外视界$r_+=M+\sqrt{M^2-Q^2}=M+\sqrt{M^2}=2M$，因此$r_s=2M$称为史瓦西半径(Schwarzschild radius/radii)

恢复到国际单位制，史瓦西半径为$\displaystyle r_s=\dfrac{2GM}{c^2}$

3、极端黑洞与裸奇点

我们来讨论一下$M^2=Q^2$甚至$M^2<Q^2$会发生什么：

$M^2=Q^2$时，$\sqrt{M^2-Q^2}=0$，$r_+=r_-=M=|Q|$

内外两个视界简并（degenerate）或者叫重合（Coincide），称为极端R-N黑洞（extremal Black Hole），只剩1个视界，同时是事件视界和柯西视界。

$-g_{tt}=\dfrac{1}{g_{rr}}=f(r)=1 - \dfrac{2M}{r} + \dfrac{Q^2}{r^2}<0$这个不等式无解，没有单向膜区，只有视界这一个单向膜。

当然极端黑洞现实中根本不存在；它是个温度为0，表面重力为0（$\displaystyle\dfrac{{\rm d} f(r)}{{\rm d}r}\Bigg|_{r_+}=0$）的黑洞，以后我们在黑洞热力学部分会详细解释。

$M^2<Q^2$时，$-g_{tt}=\dfrac{1}{g_{rr}}=f(r)=1 - \dfrac{2M}{r} + \dfrac{Q^2}{r^2}\le0$这个不等式在$r\in \mathbb{R}$没有实数根，没有视界，没有单向膜区。$\Delta=r^2 - 2Mr+Q^2>0$在r为实数时恒成立。类时奇点直接裸露在外，没有视界或单向膜区包覆。称为裸奇点（Naked Singularity）,Singularity这个词的正确翻译是“奇异性”（不一定是点状的，也可以是环状的等，比如KN度规），所以应该翻译成裸奇异比较好

当然裸奇异也是现实中不存在，黑洞热力学部分会讲，但是下文也会讲，不用黑洞热力学，你也能看出类时奇点的不靠谱性。

可见一个物体完全是一个黑洞的必要不充分条件是$M^2\ge Q^2$，之所以强调是必要不充分条件，是因为达成了这个条件，也可能只是一个正常球体，比如内部史瓦西度规。但达不成这个条件，这个物体必然不可能完全由黑洞构成。

史瓦西度规一定不存在极端黑洞和裸奇点。这是史瓦西度规与R-N、Kerr、KN度规的根本性区别之一。史瓦西度规是描述黑洞的度规中，最缺乏一般性和代表性的度规，最有一般性的度规显然是KN(A)dS度规，其次是KN度规，最接近现实中黑洞的度规是Kerr度规。

$-g_{tt}=\dfrac{1}{g_{rr}}=f(r)=1 - \dfrac{2M}{r} <0$，在$r\in(0,2M)$恒成立，只有r=2M这一个外视界。

唯一的例外是M＜0的情况，当然这显然不符合物理现实，M＜0的裸奇点有无限强的排斥力，自身就不能稳定存在，必定瓦解。况且ADM质量＜0的物体目前根本没被发现，恐怕永远也发现不了。

根据简单的牛顿力学你就能明白，M＞0的物体对任何物体都给出正的引力加速度，无论被吸引的物体质量是正还是负；M＜0的物体对任何物体都给出负的引力加速度，无论被排斥的物体质量是正还是负（力的负负得正不妨碍加速度还是负的）

换成广义相对论，结论不变（你可以用测地线等概念理解）。M＜0的物体，如果没有其它相互作用，会因为负的万有引力，自身瓦解，无法形成稳定束缚态结构，更何况形成无限强斥力的裸奇点。

M一正一负两个物体会形成曲速引擎，即所谓阿库别瑞度规（Alcubierre metric），负物体推着正物体往前走，然后超光速；当然实际上对应度规会导致很多悖论和崩溃，需要现实中根本不存在的负质量物体只能算最小的问题了。这不是本篇的重点，各位可以查阅维基百科或者看PBS Spacetime的科普视频自行了解。

4、当0<Q²<M²时，情况最为复杂，时空大致分为3类区域：

（默认M＞0）

r>r+的I区；r-<r<r+的II区；r<r-的III区

I区，是正常时空，此处是个静态时空，且允许静止参考系存在。

此处$r\in (r_+, +\infty)$，与无限远处的平直时空（或者叫闵氏时空）是直接相连的。它的特点是，允许静止参考系存在：

这里的静止指的是经典意义上的静止，翻译一下就是，该探测粒子（test particle）在空间坐标中毫无运动，无论是在它自己视角下，还是在外部观察者视角下：

静止参考系要求：$\dfrac{\rm dr}{\rm d\tau}=0;\dfrac{\rm d\theta}{\rm d\tau}=0;\dfrac{\rm d\varphi}{\rm d\tau}=0$

$-d{\tau ^2} =g_{tt}dt^2+g_{rr}dr^2+g_{\theta\theta}d\theta^2+g_{\varphi\varphi}d\varphi^2$可以变形为：

$-1=g_{tt}\left(\dfrac{dt}{d\tau}\right)^2+g_{rr}\left(\dfrac{dr}{d\tau}\right)^2+r^2\left(\dfrac{do}{d\tau}\right)^2$，将$\dfrac{\rm dr}{\rm d\tau}=0;\dfrac{\rm do}{\rm d\tau}=0$代入得：

$-1=g_{tt}\left(\dfrac{dt}{d\tau}\right)^2$，因为这个区域中，$-g_{tt}=\dfrac{1}{g_{rr}}=f(r)=1 - \dfrac{2M}{r} + \dfrac{Q^2}{r^2}>0$，

所以上述等式左右两边都＜0，能成立，不会产生毛病和bug。

（同时我们也证明了$g_{tt}\left(\dfrac{dt}{d\tau}\right)^2 \le-1<0$，因为$g_{tt} <0$，所以$\left(\dfrac{dt}{d\tau}\right)^2>0$，坐标时t类时。）

同理，如果你基于：$\dfrac{\rm dr}{\rm dt}=0;\dfrac{\rm d\theta}{\rm dt}=0;\dfrac{\rm d\varphi}{\rm dt}=0$进行推导：

$-d{\tau ^2} =g_{tt}dt^2+g_{rr}dr^2+g_{\theta\theta}d\theta^2+g_{\varphi\varphi}d\varphi^2$可以变形为：

$-\left(\dfrac{d\tau}{dt}\right)^2=g_{tt}+g_{rr}\left(\dfrac{dr}{dt}\right)^2+r^2\left(\dfrac{do}{dt}\right)^2$，将$\dfrac{\rm dr}{\rm dt}=0;\dfrac{\rm do}{\rm dt}=0$代入得：

$-\left(\dfrac{d\tau}{dt}\right)^2=g_{tt}$，从结果上毫无区别，同理。

综上，我们证明了在r＞r+的正常时空，允许静止参考系存在（这是时间坐标类时，空间坐标类空在逻辑上的必然结果）

关于什么是静态时空，后面简单介绍。

我们生活的地方就是这类正常时空。对于没有视界、不是黑洞的这类度规（比如内部史瓦西度规拼接外部史瓦西度规），整个时空都是正常时空。现实中的行星、恒星、白矮星、中子星也都处于这种正常时空。

II区，是单向膜区，黑洞和白洞最重要的结构，这里不存在任何静止参考系

极端黑洞和裸奇点没有单向膜区。极端黑洞就一个（单向的）视界膜，裸奇点连这个都没有。

把上面的证明过程类比一遍，注意$r_- \lt r\lt r_+$时，$-g_{tt}=\dfrac{1}{g_{rr}}=f(r)=1 - \dfrac{2M}{r} + \dfrac{Q^2}{r^2}=\dfrac{\Delta}{r^2}<0$

对于类时参考系：

$-1=g_{tt}\left(\dfrac{dt}{d\tau}\right)^2+g_{rr}\left(\dfrac{dr}{d\tau}\right)^2+r^2\left(\dfrac{do}{d\tau}\right)^2$，时间方向和切向类空，因此一定有$g_{tt}\left(\dfrac{dt}{d\tau}\right)^2 \ge0\ ;\ r^2\left(\dfrac{do}{d\tau}\right)^2\ge0$，所以必有$g_{rr}\left(\dfrac{dr}{d\tau}\right)^2 \le-1<0$，因为$g_{rr} <0$，所以$\left(\dfrac{dr}{d\tau}\right)^2>0$，径向坐标r类时。

对于类光参考系：

$0=g_{tt}\left(\dfrac{dt}{d\lambda}\right)^2+g_{rr}\left(\dfrac{dr}{d\lambda}\right)^2+r^2\left(\dfrac{do}{d\lambda}\right)^2$，同理，必有$\left(\dfrac{dr}{d\lambda}\right)^2 \gt0$（舍弃了平凡解）

那单向膜区的内外两个边界，也就是两个视界（Horizon）呢？

$\left(\dfrac{d\tau}{dt}\right)^2=-g_{tt}-g_{rr}\left(\dfrac{dr}{dt}\right)^2-r^2\left(\dfrac{do}{dt}\right)^2 =-g_{tt}=0$时（因为$\left(\dfrac{d\tau}{dt}\right)^2$本身≥0，又因为静止要求$\left(\dfrac{d\tau}{dt}\right)^2=-g_{tt}$，在视界上$-g_{tt}=0$），才能满足静止在视界上，此时显然满足了$d\tau^2=0$，只有光子能满足这个条件。所以视界$r_\pm$是一种类光超曲面（Light-like Hypersurface）。相比之下，$r_- \lt r\lt r_+$时，r的等值面是类空超曲面（Space-like Hypersurface），其它位置比如r>r+的正常时空，r的等值面是类时超曲面（Time-like Hypersurface）。

还不是所有的光子都能停留在视界上，显然根据上面的表达式，（非旋转、球对称的黑洞）要求静止在视界上的物体满足$\left(\dfrac{do}{dt}\right)^2=0$；或者你根据：

$0=g_{tt}\left(\dfrac{dt}{d\lambda}\right)^2+g_{rr}\left(\dfrac{dr}{d\lambda}\right)^2+r^2\left(\dfrac{do}{d\lambda}\right)^2$，又要维持r为定值（$\left(\dfrac{dr}{d\lambda}\right)^2=0$），又要在视界上（$g_{tt}=0$），那必然有$r^2\left(\dfrac{do}{d\lambda}\right)^2=0$

这个光子必须作“纯径向运动”，不能有角动量，不能“公转”，不能有切向/周向运动。（对于非旋转时空）

即使这样仍然不够，还不是所有不公转的光子都能留在视界上。想象你是一个坠入黑洞的粒子，在跨过外视界或内视界的瞬间，你向上向下分别发射两束激光，显然只有向上发射的激光能长期停留在视界上，向下的会先于你坠入黑洞。当然如果你是从白洞逃出的粒子，则反过来，只有向下发射的激光能长期停留在视界上，向上的会先于你逃出白洞。

也就是说，静止在球对称黑洞视界上的光子，实际上满足的是：$\dfrac{dr}{d\lambda}=0,\dfrac{do}{d\lambda}=0$，然后t和$\dfrac{dt}{d\lambda}$发散到无穷大，但是没问题，因为$g_{tt}=0$

我们再做一个思想实验：一个点光源，径直向上发射激光，上方有一个固定的激光检测器；当点光源位置趋向于视界时，任意只要是在视界上方固定的激光检测器需要经历无限长时间（无论是检测器的固有时还是度规的坐标时t）才能观察到激光，这和趋向于停在视界上没什么区别。

证明：对于该光子，$0=g_{tt}dt^2+g_{rr}dr^2$，$\dfrac{dr}{dt}=\sqrt{-\dfrac{g_{tt}}{g_{rr}}}=f(r)=1 - \dfrac{2M}{r} + \dfrac{Q^2}{r^2}$，即$\dfrac{dt}{dr}=\dfrac{r^2}{r^2-2Mr+Q^2}=1+\dfrac{2Mr-Q^2}{r^2-2Mr+Q^2}$

积分得：（详见本文附件积分表29~30页）（略去了积分常数C）$t=r+M\cdot\ln|r^2-2Mr+Q^2|-\dfrac{2M^2-Q^2}{\sqrt{M^2-Q^2}}{\rm arccoth}\dfrac{r-M}{\sqrt{M^2-Q^2}}=r+M\cdot\ln|(r-r_-)(r-r_+)|+\dfrac{2M^2-Q^2}{2\sqrt{M^2-Q^2}}\ln\left| \dfrac{r-r_+}{r-r_-}\right|$

$r\to \overset{+} {r_+}$时，$t\to -\infty$，可见激光检测器假如检测到了视界发出的激光，那一定是来自于无穷远的过去，所以光子逃离事件视界所需时间就是无穷大。同时我们还能看出，内视界以内的光子，径直向上运动，需要无限长坐标时t才能到达内视界，即$r\to \overset{-} {r_-}$时，$t\to +\infty$。（如果不是径直的，或者是亚光速物体，毫无疑问只会更惨）

如果是径直下坠的光子呢？$\dfrac{dr}{dt}=-\sqrt{-\dfrac{g_{tt}}{g_{rr}}}=-f(r)$，从外部观察者视角来看，光子永远没有到达视界（到达视界所需的坐标时t是+∞）。而内视界以内的区域，看到的来自内视界的光子也都来自于无穷远的过去。

这充分体现了事件视界是类光超曲面的本性。

倒不如说，事件视界的最原始的定义就是：未来类光无穷远的因果过去的边界。怎么理解这个原始定义呢？你不停地追溯逃往无穷远的光子的过去经历，追溯到t为-∞，追溯出的r，最小也只能追溯到r+的位置，再也追溯不到r+以下了，r+以下的位置，不可能对未来类光无穷远施加任何(因果)影响。

对于径直或带角动量坠入黑洞的亚光速粒子，在外部观察者视角来看，也是永远到不了视界；到视界时对应的坐标时t仍然是正无穷大。但这不代表你有无限长时间把粒子从视界外捞回来，等价地，也不代表粒子坠入黑洞瞬间能看到宇宙的全部未来，因为你发射飞船或光子追赶它，同样需要无限长的坐标时。当然外部观察者看不到追上坠入的粒子，不代表真的一定追不上坠入的粒子，是完全可能在有限固有时内追上的，只是追上的时候，飞船和粒子早就在视界下方了，该事件对黑洞外时空不造成任何因果影响。

你想在视界外看到宇宙的全部未来的话，你只能长期悬停在视界上方一点点的位置，这需要极大的“加速度”且极为危险。

坠入外视界的瞬间，看不到宇宙的全部未来，其实是一件好事，假如在一瞬间，宇宙中未来全部信息和辐射都“无限快进”发射给你，你会被无限蓝移的辐射烧死在外视界上；但是实际上这种事情不会发生，你能安全通过外视界。（但如果你在视界外试图转向逃脱外视界，倒是在短时间内可能承受严重蓝移的、速度向下的辐射）详细细节请看下文的钟慢尺缩、引力频移章节。

下面我们讲一下如何区分黑洞和白洞：

$\left(\dfrac{dr}{d\lambda}\right)^2 \gt0$只是告诉你单向膜区的单向性，并未限制你是单向向外还是单向向内，$\dfrac{dr}{d\lambda}<0$表示向下，即为黑洞单向膜区，$\dfrac{dr}{d\lambda}>0$表示向上，即为白洞单向膜区。

根据单向膜区的性质，这个洞是黑洞还是白洞，完全取决于你当下所处的时空位置：

如果你在外视界外面的I区，r>r+，你进单向膜区只能是往里进，$\dfrac{dr}{d\lambda}<0$，那就是黑洞；如果你在内视界以内的III区，r<r-，你进单向膜区只能是往外出，$\dfrac{dr}{d\lambda}>0$，那就是白洞。就这么简单，没有什么神秘的。

“进入白洞”或“从黑洞出来”是不正确的说法；“进入黑洞”和“从白洞出来”才是正确的表述。

由此我们进一步推出，对于永恒存在的黑洞：

外视界外面，r>r+，黑洞只位于你的(因果)未来，精确表述是：只位于你的未来光锥范围内，不位于你的过去光锥范围内。白洞只位于你的(因果)过去，不位于你的(因果)未来。你已经在洞外面了，经过你的类时或者类光世界线，未来只能进洞，怎么可能出洞？同样道理，你已经在洞外面了，经过你的类时或者类光世界线，过去只能是从洞中出来的，不能是从洞中进去的。

如果你在内视界里面的III区，r<r-，反之亦然，黑洞只位于你的(因果)过去（你是之前通过黑洞进来的），白洞只位于你的(因果)未来。

你追溯经过你的世界线的过去，发现追溯到t为-∞的过去，可以追溯到的边界是白洞的事件视界，白洞的事件视界有类光过去无穷远的性质。但是这里有个大前提：你需要保证t为-∞时，这个洞就已经存在。这就是为什么前面要求：必须是永恒存在的黑洞才有过去白洞。

然而现实中的黑洞根本不是永恒存在的黑洞，而是恒星坍缩等方式形成的黑洞，在严格定义的无穷远的过去并不存在，只是存在的时间足够长罢了。所以现实中的黑洞的过去没有白洞，这种白洞只是对永恒存在的黑洞的时空进行解析延拓（Analytical Extension）的数学产物罢了，不具备现实意义。这是现实中不存在白洞的原因之一。

对于永恒存在的孤立黑洞，黑洞和白洞互为时间反演；黑洞和白洞具有相同的时空结构，用完全相同的度规描述：

在r>r+以外，黑洞和白洞都是强引力源（倾向于让你向r减小的方向运动）。r<r-以内，黑洞和白洞都是强斥力源，（倾向于让你向r增大的方向运动）。不要说什么白洞因为强斥力所以进不去这种说法了，白洞也是强引力的，但是你进去的肯定是黑洞。

在单向膜区的$r=\dfrac{Q^2}{M}$处，是-gtt，即f(r)的最小值点，也是吸引和排斥的分界位置。推导过程放文末了。详细原因我们另写一篇轨道力学的文章讲。

当然对于史瓦西黑洞/白洞、内部史瓦西度规，r＞0都是强引力源。

III区，是奇异时空，因为有r=0的奇点

史瓦西度规没有III区，$-g_{tt}=1 - \dfrac{2M}{r}$，单向膜区（II区）从2M直到r=0的奇点。想要有这个区域，应至少满足带电或旋转其中一条。这又是史瓦西度规与R-N、Kerr、K-N度规的根本性区别之一。

M²＞Q²的R-N度规有这个区域，在r＜r-的区间：

这个区域看上去和I区一样，都是$g_{tt}<0,g_{rr}>0$，都允许静止参考系存在。

但是I区和III区有个重大区别：R-N度规、Kerr度规、K-N度规的III区，都存在类时奇点，奇点可以直接对r＞0施加(因果)影响。而I区都没有奇点（除了裸奇点时空）

这和史瓦西度规也不同，史瓦西奇点是类空奇点；在史瓦西度规中，奇点在落入者参考系的因果未来，只有落入者对奇点施加影响，没有奇点对落入者施加因果作用。

史瓦西奇点和R-N奇点是性质截然不同的两种奇点。前者是类空奇点，后者是类时奇点，同理Kerr奇点，Kerr-Newman奇点也是典型的类时奇点。从各种角度来看，R-N黑洞，Kerr黑洞，K-N黑洞结构非常相似，只有史瓦西黑洞结构最为异类。

这里需要详细介绍什么是类空奇点（类空奇异性，Space-like Singularity）和类时奇点（类时奇异性，Time-like Singularity）：

要详细讲清楚这些，这里需要引入几个概念：类时超曲面（Time-like Hypersurface）、类光超曲面（Light-like Hypersurface）、类空超曲面（Space-like Hypersurface）

超曲面是指 n 维流形中的 (n−1) 维子流形，内部有n-1个维度自由度。

类时超曲面是法向量处处为类空方向的超曲面，也就是说曲面本身沿类时方向延展，（在3+1维时空中）它的切向量可以是类时、类光或者类空的。

类光超曲面是法向量处处为类光方向的超曲面，即曲面本身沿类时方向延展，（在3+1维时空中）它的切向量可以是类光或者类空的。

类空超曲面是法向量处处为类时方向的超曲面，即曲面本身沿类空方向延展，（在3+1维时空中）它的切向量必须是类空的。

这样讲可能还有点抽象，我们举几个具体案例：

在闵氏度规的t-x时空图中，倾斜角大于45°的直线，可看成一个类时超曲面；=45°的，类光超曲面，＜45°的，类空超曲面。

再举几个案例：

在I区的正常时空中，t的等值面显然是一种类空超曲面，它对应一个时刻的全部空间；类似于一种时间切片（Time Slice）。r的等值面显然是一种类时超曲面；θ、φ的同理，类时超曲面。

而在II区的单向膜区时空中，t的等值面是一种类时超曲面，r的等值面是一种类空超曲面（它更像落入物体的一种必经的时刻）；θ、φ的等值面是一种类时超曲面。

在视界上，$r=r_\pm$是一种类光超曲面，t发散，θ、φ的等值面仍然是一种类时超曲面。

所以史瓦西度规中，奇点在II区，r<2M（即r+）以下时，r的等值面都是类空超曲面，因此当r→0时，得到的当然是类空奇点。

而在R-N度规，Kerr度规，Kerr-Newman度规中，r＜r-以下时，r的等值面都是类时超曲面，因此当r→0时，得到的当然是类时奇点。同理，裸奇点全都是类时奇点，史瓦西度规没有裸奇点。

所有类时奇点现实中无法稳定存在，理由会在未来细说。

类空过去奇点的典型案例，有史瓦西白洞奇点和宇宙大爆炸奇点。类空未来奇点的典型案例是，史瓦西黑洞奇点。类空奇点非常适用于霍金-彭罗斯奇点定理的论证过程（细节请查看维基百科相应词条或者科普读物）。

你可能会问了，为什么类空奇点就是不可避免的终点(或者起始时刻,例如大爆炸奇点)？而类时奇点就可以避免、绕过？

在这里需要向大家介绍一个概念，叫柯西面（Cauchy Surface）：

一个柯西面S是时空流形M中的一个闭合的、无边的类空超曲面，满足：时空中的每一个事件​ p∈M都位于 S的因果过去或因果未来中。换句话说，S的因果域（domain of dependence）​ 就是整个时空，

因果域 D(S)包含所有 每一个非类空曲线（类时或类光）只要延伸到无穷远，就必定会与 S相交的事件。如果 D(S)=M，那么 S就是一个柯西面。

想象你给整个宇宙拍了一张“瞬间”的三维快照（一个类空超曲面）。如果这张快照是一个柯西面，那就意味着：

只要你知道这张快照上每一个点的物质分布、引力场、电磁场等所有物理量，你就可以唯一地向前演化出未来的宇宙，也唯一地向后反演出过去的宇宙。这其实就是物理学中经典的决定论思想在弯曲时空中的严格表述。爱因斯坦的场方程在给定初始数据后，演化是唯一的——前提是时空存在柯西面。

举个例子：在I区正常时空，t的等值面就是一个柯西面。在II区单向膜区时空，r的等值面就是一个柯西面，所有落入II区的粒子，都无法逃避穿过r的等值面。而假如你构造一个r=常数，θ＜π/2的超曲面，显然就不是柯西面，因为不包括“南半球”。

对史瓦西黑洞，r<2M的每一个r的等值面都是柯西面，对于坠入黑洞的物体，都无法逃避r从2M下降到0的全过程（因为r坐标类时）；就像外面I区的物体无法逃过$t\in(-\infty,+\infty)$每一个t的等值面一样。同理到r→0或r=0时也一样，因此类空奇点根本无法避免，这是每一个坠入黑洞的类时或类光世界线命运的终点。每一个坠入史瓦西黑洞的观测者，它的未来光锥所有方向都一定指向奇点；就像I区所有观察者未来光锥都指向t=+∞一样（包括最终会掉进黑洞那些观察者）。

对R-N、Kerr、Kerr-Newman黑洞，r＜r-时没有柯西面，因此r-就是存在柯西面的边界，所以才叫柯西视界（Cauchy Horizon）。

至于为什么III区没有柯西面：

①一方面是因为奇点的暴露；奇异性会导致物理定律失效，破坏因果律和可预测性。

而史瓦西黑洞就不存在这种问题，史瓦西黑洞的因果结构是r大的事件只对r小的事件施加影响，不存在r小的对r大的事件施加影响；奇点位于落入粒子的因果未来（未来光锥范围内），落入粒子的因果过去不存在这个奇点。因此不影响粒子的初值问题和可预测性。

但是III区就不一样了，进入以后，相当于奇点同时位于你的因果过去和因果未来。奇点可以对你施加因果影响，你在奇点的未来光锥范围内，在奇点的因果未来（但也在奇点的过去，不矛盾）。我们无法描述奇点的物理性质，经典广义相对论那套决定论崩溃了。

②另一方面，是闭合类时曲线（Closed Timelike Curves，CTCs，俗称时间机器）的出现（仅针对旋转黑洞，例如Kerr度规、K-N度规等，以后专门写文章介绍），旋转黑洞内部的CTCs区域也叫Carter Time Machine。探测粒子一进入III区，等于时间机器同时位于你的因果过去和因果未来。

此外，如果诞生了一个裸奇点，则柯西视界会以光速从裸奇点向外传播。如果是求场方程解析解解出来的，永恒存在的孤立裸奇点，显然柯西视界在类空无穷远处，等于整个时空都是奇异的III区。

类时奇点完全可以避开（指避免探测粒子自己撞上奇点），就像类时超曲面完全可以想方设法避开一样。倒不如说想撞上类时奇点的条件反而是极为苛刻的：

想撞上R-N奇点，需要轨道角动量严格为0，否则会被压倒性的离心排斥力排斥走。还需要携带极为大量的异种电荷（比如几何单位制下Q/M＞1），利用静电引力克服排斥性的“万有引力”。还需要一些能量条件。以后专门写文章详细推导。光子想撞上奇点，会经历无限强的引力红移。

想撞上Kerr奇点，需要轨道完全在赤道平面内，即轨道角动量完全是平行于z轴方向的。还需要其它一些苛刻条件……

r=0的奇异性是本征奇异性，也叫内禀奇异性（Intrinsic singularity），无法通过任何坐标系变换消除，也无法通过其它物理手段消除。

它也是曲率奇点（Curvature Singularity），因为曲率标量（这里指的是Kretschmann标量K）为（详细计算过程我另写一篇文章介绍）：

$\displaystyle K=\dfrac{48M^2}{r^6}-\dfrac{96MQ^2}{r^7}+\dfrac{56Q^4}{r^8} =\dfrac{8}{r^6}\left(6M^2-\dfrac{12MQ^2}{r}+\dfrac{7Q^2}{r^2}\right)=\dfrac{8}{r^6}\left[6\left( M-\dfrac{Q^2}{r}\right)^2+\dfrac{Q^2}{r^2}\right]>0$，对史瓦西黑洞来说是$\displaystyle K=\dfrac{48M^2}{r^6}$。大体上呈现r越大，曲率越趋向于0（渐近平直），r越小，曲率越大的趋势，在r=0时，曲率发散到正无穷大。

不仅如此，r=0的奇点还真的具有测地线不完备性（Geodesic incompleteness），测地线在奇点处直接断裂了；坠入奇点的粒子，世界线（worldline）直接终结了，没有未来了。详见霍金-彭罗斯奇点定理的证明。

相比之下，视界只能算坐标奇异性（coordinate singularity），或者叫表观奇异性（apparent singularity），曲率有限，测地完备，只是grr发散。这是不恰当的坐标选取导致的。我们不一定非要用史瓦西坐标系，完全可以根据自己需求，选用其它坐标系，通过坐标变换（Coordinate Transformation）来消除这种问题。以后有时间专门写文章介绍这一点。

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所有这些坐标系中，最好用的莫过于Kruskal-Szekeres metric以及Penrose diagram，你可以极为清晰地看出视界面的类光属性、史瓦西奇点的类空属性以及R-N奇点的类时属性。这个以后另写文章展开讲。

III区也叫虫洞区（wormhole region），因为从这可以进入白洞单向膜区，然后进入下一个外部宇宙。为什么是下一个呢？因为你坠入黑洞事件视界时，你在原来那个宇宙的坐标时t已经达到+∞了，你回不到本来的宇宙的，能回去才叫违反因果律了。

但是你在现实中无法这样做，内视界对微扰极度不稳定（这一点我们以后写文章细说），任何微扰到了内视界都会被蓝移到宇宙大爆炸那种量级，我们已知的经典广义相对论和量子场论本身就会崩溃。不要跳入任何黑洞，你会死在内视界上，进不到虫洞区和白洞单向膜区。

这就是R-N、Kerr、K-N的未来白洞在现实中不存在的原因。这也是你无法使用旋转黑洞内III区的所谓时间机器的原因。这还是类时奇点在现实中不存在的原因之一。宇宙审查假说（Cosmic Censorship Hypothesis）和时序保护猜想（Chronology Protection Conjecture），在现实中又赢了。你无法观测/使用任何奇点、时间机器和可穿越虫洞。

关于III区的r<0区域，即反宇宙（Antiverse）

我们的目的是对度规作r＜0的“解析延拓”（Analytical Extension），以研究度规在r＜0的行为。

我们来看R-N度规的解析表达式：

$\displaystyle ds^2=-\left(1 - \dfrac{2M}{r} + \dfrac{Q^2}{r^2}\right)dt^2+\dfrac{dr^2}{1 - \dfrac{2M}{r} + \dfrac{Q^2}{r^2}}+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2)$

其中$-g_{tt}=1 - \dfrac{2M}{r} + \dfrac{Q^2}{r^2}$

可以看出，作r→-r变换，或M→-M变换后，R-N度规的形式就变成了：

$\displaystyle ds^2=-\left(1 + \dfrac{2M}{r} + \dfrac{Q^2}{r^2}\right)dt^2+\dfrac{dr^2}{1 + \dfrac{2M}{r} + \dfrac{Q^2}{r^2}}+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2)$

并且还可以发现，作两次r→-r变换，或两次M→-M变换，或一次r→-r和一次M→-M变换（无论先后顺序）后，度规变回原来的样子。

可见M＞0的度规，在r＜0时的行为；就等价于M < 0的度规，在r＞0时的行为。

你可能会说很难理解和想象r＜0的度规是什么样的，其实无所谓，你按照度规本身的定义理解不会有bug，因为度规中很多因子都是以r的偶数次方形式存在的。例如典型的$g_{\theta \theta }=r^2\ge0$，$g_{\varphi \varphi }=r^2\sin^2\theta=g_{\theta \theta }\sin^2\theta\ge0$

而当M=0时，比如闵氏度规，r＞0和r＜0的行为无法区分，表达式根本就是一模一样。（但是r=0并没有真正的奇点，只有类似普通球体的南北两极那种，因为坐标系选取选出的假奇点）

M＞0，r＜0；或者M＜0，r＞0，都会导致$-g_{tt}=1 - \dfrac{2M}{r} + \dfrac{Q^2}{r^2}>0$，注意这里每一项都严格＞0了，这会导致r=0的奇点完全裸露在外，没有单向膜区的包裹。必然导致观察到裸奇点。

M＞0，r＜0；或者M＜0，r＞0，带来的效果是强排斥，奇点的强大排斥力倾向于把你排斥到无穷远，前者是r→-∞，后者是r→+∞，观察效果上没什么区别。

r＜0的区间仅代表一种数学上的解析延拓，不代表任何物理现实。

对于史瓦西和R-N度规来说，r>0和r＜0的两个时空，被r=0的点状奇点（Point-like Singularity）隔开了，不可穿越。M＞0，r<0观察到的现象，等同于M<0,r>0观察到的现象，但是负的ADM质量本身就很脱离物理现实。

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对于闵氏几何来说，连奇点都没有。也不存在从r＞0到r＜0互相穿越的情况，纯属你坐标系选取时，带来的幻觉。你当然可以定义全空间的r≥0，也可以定义全空间的r≤0，这两种情况其实是等价的，并不矛盾。

【胡闹广相之负质量的黑洞是什么样】 XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

所有公式中，电荷的平方都可以改成电荷平方+磁荷的平方：

【胡闹广相之磁单极黑洞】 XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

我们这里默认了电荷是实数，如果电荷是虚数，黑洞会更大，电磁能为负数，请看：

【胡闹广相之虚电荷黑洞】 XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

以上几乎全部内容、道理适用于Kerr度规、K-N度规。

不同的是，旋转度规的奇点是环状奇点（Ring Singularity），也被称为奇环（Ringularity），点状奇点不允许从r＞0穿越到r＜0的区域，但是环状奇点可以，中间有个被它包围的圆盘面，没有奇异性，可穿越。

对于Kerr和K-N度规，在反宇宙甚至r＞0（对K-N度规）的奇环附近区域，存在一个叫Carter Time Machine的区域，其$g_{\varphi\varphi}<0$，经度坐标类时，允许存在闭合类时曲线（Closed Time-like Curves ，简称CTCs）。

以上内容在Kerr度规和K-N度规部分会详细解释，不是本文章的重点。

四、史瓦西和R-N度规的其它基础性质

0、静态时空

这里需要区分两个概念，静态时空（Static Spacetime）和定态时空（Stationary Spacetime）：

定态时空（Stationary Spacetime）的定义是时空结构（度规）不随时间演化（与时间无关，不是时间的函数），即$\dfrac{\rm d g_{\mu\nu}}{\rm dt}=0$（每一个分量都严格如此），这样的时空有连续的时间平移对称性，严格的说法是存在类时的Killing矢量。

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静态时空（Static Spacetime）的定义是：

在定态（Stationary）的基础上，还不旋转（irrotational）。是定态时空的一种特例（special case）。更专业的表达是：拥有一个全局、非零、还非旋转的类时基灵矢量场的时空（相比上面多了一个非旋转的条件）。

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典型案例是史瓦西度规、R-N度规的外部时空（事件视界外）

静态时空一定是定态的，定态时空不一定是静态的，反例就是典型的Kerr度规、K-N度规，K-N dS度规等旋转时空。旋转的时空一定不是静态的。静态是定态的充分不必要条件；定态是静态的必要不充分条件。

球对称时空不一定是静态的，典型案例是正在塌缩的球对称星体的内部。（外部是静态的，可以用史瓦西度规等球对称度规描述）

维基百科说了：现实中，绝大多数时空甚至定态都算不上，就更不可能是静态时空了，比如存在引力波的时空。

1、史瓦西度规和R-N度规的渐近行为

球对称静态时空度规为：

$\displaystyle ds^2=-f(r)dt^2+\frac{dr^2}{f(r)}+r^2do^2$，其中$f(r)=1 - \dfrac{2M}{r} + \dfrac{Q^2}{r^2}-\dfrac{\Lambda}{3}r^2$

暂时先不考虑宇宙学常数Λ，此时$f(r)=1 - \dfrac{2M}{r} + \dfrac{Q^2}{r^2}$

电荷Q对度规的影响与r²成反比，而M对度规的影响与r成反比，因此电荷Q对r更敏感。因此r→无穷大（无论是正无穷还是负无穷）时，R-N度规会趋向于史瓦西度规，然后再趋向于闵可夫斯基度规。这是很显然的极限思想：

$\displaystyle \lim _{r \to \infty}\frac{Q^2}{r^2}=0; \displaystyle \lim _{r \to \infty}\frac{2M}{r}=0; \displaystyle \lim _{r \to \infty} \frac{Q^2r^{-2}}{2Mr^{-1}}=0; \displaystyle \lim _{r \to \infty} (1 - \dfrac{2M}{r} + \dfrac{Q^2}{r^2})=1; \displaystyle \lim _{r \to \infty} (1 - \dfrac{2M}{r} )=1; \displaystyle \lim _{r \to \infty} \frac{1 - \dfrac{2M}{r} + \dfrac{Q^2}{r^2}}{1 - \dfrac{2M}{r} }=1;$

这就是史瓦西和R-N度规的渐近平直（asymptotic flat）性质。

如果是德西特宇宙/反德西特宇宙中的黑洞：$\displaystyle \lim _{r \to \infty}-\frac{\Lambda}{3}r^2=-\infty$，可见r趋向于无穷大时，宇宙项占压倒性优势。度规将趋向于没有黑洞时的德西特/反德西特度规。

2、坠入黑洞的粒子，一定在有限的固有时内到达内视界或奇点

下面我来给大家证明一下，任意进入R-N黑洞的粒子，都将会在有限时间内撞向内视界；

以及，任意进入史瓦西黑洞的粒子，都将会在有限时间内撞向奇点。

这个结论对Kerr黑洞、克尔-纽曼黑洞仍然是成立的；只是因为对应的积分的解析解太难算了，我们只以R-N黑洞作为案例进行计算。

关于这个命题，先明确我们的概念：时间指的是什么时间？哪个参考系下的时间？

当然是坠入黑洞的粒子的本征时；也就是坠入黑洞的粒子手里的钟表记录的时间$\tau$，即坠入黑洞的观察者看来的时间。

然后我们就可以根据度规，很容易地计算出坠入粒子从外视界到内视界（或史瓦西黑洞的奇点）最迟需要多长的时间。

在几何单位制下，R-N度规的方程可以写作：

$\displaystyle d\tau ^2 = \left( 1 - \frac{2M}{r} + \frac{Q^2}{r^2} \right)dt^2 - \left( 1 - \frac{2M}{r} + \frac{Q^2}{r^2} \right)^{ - 1}dr^2 - r^2d\theta ^2 - r^2\sin ^2\theta d\varphi ^2$

任意区域，都有：$- r^2 \le 0; - r^2\sin ^2\theta \le 0$，而在单向膜区，$\displaystyle\left( 1 - \frac{2M}{r} + \frac{Q^2}{r^2} \right) < 0$，$\displaystyle-\left( 1 - \frac{2M}{r} + \frac{Q^2}{r^2} \right)^{-1} > 0$

在单向膜区，$\displaystyle d\tau ^2 \le - g_{rr}dr^2$，$\displaystyle\left| \frac{d\tau}{dr} \right|\le\sqrt{-g_{rr}}$

因此根据上述关系式，有：$\displaystyle d\tau ^2 \le - \left( 1 - \frac{2M}{r} + \frac{Q^2}{r^2} \right)^{ - 1}dr^2$，进而$\displaystyle\left| \frac{d\tau}{dr} \right|\le \left( -1 + \frac{2M}{r} - \frac{Q^2}{r^2} \right)^{ - \frac{1}{2}}$

在单向膜区内，r是单调变化的；因此可以以r为自变量作积分；

只要证明定积分是收敛的，那就能证明肯定在有限时间内从外视界到内视界。

不定积分的过程：$\displaystyle\int - \left( 1 - \frac{2M}{r} + \frac{Q^2}{r^2} \right)^{ - \frac{1}{2}}dr = \int r\left( - r^2 + 2Mr - Q^2 \right)^{ - \frac{1}{2}}dr$

根据积分表上的公式：$\displaystyle = - \left( - r^2 + 2Mr - Q^2 \right)^\frac{1}{2} + M \cdot \arcsin \frac{r - M}{\sqrt {M^2 + Q^2} }$

代入上下限求定积分：

$\displaystyle \int_{r_ - }^{r_ + } r\left( - r^2 + 2Mr - Q^2 \right)^{ - \frac{1}{2}}dr = \left[ { - \left( - r^2 + 2Mr - Q^2 \right)^{\frac{1}{2}} + M \cdot \arcsin \frac{r - M}{\sqrt {M^2 + Q^2} }} \right]_{r_ - }^{r_ + }$

其中，$r_\pm=M\pm\sqrt{M^2-Q^2}$，其实是方程$- r^2 + 2Mr - Q^2 = 0$的解

所以上述积分等于：

$\displaystyle 2M \cdot \arcsin \frac{\sqrt {M^2 - Q^2} }{\sqrt {M^2 + Q^2} } \le 2M \cdot \frac{\pi }{2} = \pi M$

综上，穿过单向膜区时：$\displaystyle \Delta \tau \le 2M \cdot \arcsin \frac{\sqrt {M^2 - Q^2} }{\sqrt {M^2 + Q^2} } \le \pi M$

荷质比的绝对值$\left| \dfrac{Q}{M}\right|$越大，这个$\displaystyle \arcsin \frac{\sqrt {M^2 - Q^2} }{\sqrt {M^2 + Q^2} }$越小，这是易证的。前面有个因子2M，这个因子说明越大的黑洞，穿过单向膜区所需的时间越长，所需时间大概与黑洞半径大小成正比，这是合乎物理直觉的。

Q=0的史瓦西黑洞，$2M \cdot \arcsin \dfrac{\sqrt {M^2 - Q^2} }{\sqrt {M^2 + Q^2} }=2M \cdot \dfrac{\pi}{2} = \pi M$，这已经是上限的上限了，换算成国际单位制是$\dfrac{\pi GM}{c^3}$

$Q^2=M^2$的极端R-N黑洞，两个视界简并，$\displaystyle \arcsin \frac{\sqrt {M^2 - Q^2} }{\sqrt {M^2 + Q^2} }=\displaystyle \arcsin \frac{0 }{\sqrt {2} M}=0$

$Q^2>M^2$的体系，$\sqrt {M^2 - Q^2}$非实数，视界不存在。

请注意，$\Delta \tau \le 2M \cdot \arcsin \dfrac{\sqrt {M^2 - Q^2} }{\sqrt {M^2 + Q^2} }$，不等号右边本身就是$\Delta \tau$的上限了，也就是说现实中经历的本征时只会比它短，不会比它长；

取等条件是$\dfrac{dt}{d\tau}=0,\dfrac{d\theta}{d\tau}=0,\dfrac{d\varphi}{d\tau}=0$，条件略显苛刻，要求你在t、θ、φ的方向上完全不运动。你试图向切向运动，只会加速你坠入奇点或内视界。（这一点我们在以后的文章中会细说）你试图在t方向上运动，在单向膜区相当于你“向上”或“向下”运动，或者“向内”或“向外”运动，同样也只会导致你更快地坠入奇点或内视界。

所以进入黑洞后千万别挣扎，越挣扎你死的越快。也不要有侥幸心理，有限时间内难逃一死的。

而且上面提到了，上限的上限也是有限值πM。现实中坠入黑洞没有生还的可能。

同样的规律，适用于Kerr黑洞，K-N黑洞，所有KN(A)dS黑洞，没有例外，上限的上限同样是有限值。K-N黑洞，积分推导视界间“固有距离”的解析表达式涉及椭圆积分，不易计算；有一种情况例外，那就是赤道平面上，只需要复刻上面的推导过程即可：

不定积分结果为：$\displaystyle = - \left( - r^2 + 2Mr - Q^2-a^2 \right)^\frac{1}{2} + M \cdot \arcsin \frac{r - M}{\sqrt {M^2 + Q^2+a^2} }$

定积分结果为：$\displaystyle \Delta \tau \le 2M \cdot \arcsin \frac{\sqrt {M^2 - Q^2-a^2} }{\sqrt {M^2 + Q^2 +a^2} } \le \pi M$

本文使用的积分表及其证明过程，是网上广泛流传的版本；但是你可以看出，积分表的作者不熟悉双曲函数和反双曲函数（在这方面的观察和判断不够敏锐），因此在这方面可能有不简洁甚至错误的地方，因此你可以下载对应的word版，然后自己修改其中的错误。

当然本文涉及到的第49~50页不存在此类问题：

积分表公式推导(修改版2).pdf1.02MBPDF2次下载预览

3、钟慢尺缩效应

都说这些时空是弯曲的，那么时空的弯曲体现在哪里呢？

这是平直时空：$\displaystyle ds^2=-dt^2+dr^2+r^2do^2$

这是球对称静态时空：$\displaystyle ds^2=g_{tt}dt^2+g_{rr}dr^2+r^2do^2$

首先是钟慢效应（时间弯曲）（Gravitational Time Dilation，引力时间膨胀）：

我们首先考虑最简单的静止物体的情况，在事件视界外的正常时空，存在静止参考系：

根据前面的推导，静止物体满足：$\left(\dfrac{d\tau}{dt}\right)^2=-g_{tt}=f(r)=1 - \dfrac{2M}{r} + \dfrac{Q^2}{r^2}>0$

因此有$\dfrac{d\tau}{dt}=\sqrt{-g_{tt}}$，因此在$-g_{tt}\gt0$的所有区域（也就是除了单向膜区和视界的所有区域），静止参考系时间流逝的相对速度都是可以计算的。

且在任意$r\ge \dfrac{Q^2}{2M}$的区域，都有$f(r)=1 - \dfrac{2M}{r} + \dfrac{Q^2}{r^2}\le1$，（这其中包括外视界以外全部区域，和内视界的部分区域）

而任意$r\lt \dfrac{Q^2}{2M}$的区域则完全反过来，$f(r)=1 - \dfrac{2M}{r} + \dfrac{Q^2}{r^2}\gt1$，这其中包括III区（含反宇宙）。

因为τ是固有时，t是坐标时，也是无穷远处静止观察者的时钟，$\dfrac{d\tau}{dt}=\sqrt{-g_{tt}}$说明：$\sqrt{-g_{tt}}$就是探测粒子的时钟相对无穷远处静止观察者时钟的流速。$\sqrt{-g_{tt}}\lt1$意味着探测粒子的时钟流速比无穷远处静止观察者慢，反之则是快。

在内外两个视界上，$\sqrt{-g_{tt}}=0$，意味着静止在视界的粒子，时钟的流速严格为0。这不违反相对论，这说明只有（还必须限制是 朝特定方向发射的）光速粒子才能“静止在视界”上。这一点我们在上文已经提到了。

更严谨的证明方法是：

$g_{tt}\left(\dfrac{dt}{d\tau}\right)^2+g_{rr}\left(\dfrac{dr}{d\tau}\right)^2+r^2\left(\dfrac{do}{d\tau}\right)^2$，第一项在视界上本来就是0，因为视界上本来就是$g_{tt}=0$；我们要求静止，必然要求$\dfrac{dr}{d\tau}=0$，第二项也是0，然后又要求三项整体必须≤0，那只能在严格限制$\dfrac{do}{d\tau}=0$，的情况下，发现表达式整体为0，只符合光速粒子的情况。

在单向膜区，$-g_{tt}\lt0$，$\sqrt{-g_{tt}}$为纯虚数，说明这个区域根本没有静止参考系，基于静止参考系的推导当然不适用于这个时空。所有亚光速粒子、光子，在r维度上都不可能保持$\dfrac{dr}{d\tau}=0$

我们考虑更复杂的情况，如果不是静止物体：

在单向膜区以外的区域，因为$g_{rr}>0$，$\left(\dfrac{d\tau}{dt}\right)^2=-g_{tt}-g_{rr}\left(\dfrac{dr}{dt}\right)^2-r^2\left(\dfrac{do}{dt}\right)^2 \le-g_{tt}$，可见运动只会让钟慢变得更严重，且运动的探测粒子，手上的钟一定比本地（Local）静止参考系的时钟慢，这是合乎相对论的。

单向膜区时空，没有局域（Local）静止参考系，全都是运动物体，不讨论这个问题。

钟慢效应是广义相对论唯一在日常生活中被直接大规模商业化应用的领域；GPS卫星在天上，其引力势阱深度比地表要浅，对应于时钟比地面走得快，具体时间流速相对关系计算，可以用史瓦西度规估算。

有人说，地球的自旋参数早超标了，不适用于史瓦西度规，应该近似类比克尔度规。但是就像质量的影响与r成反比，电荷的影响与r²成反比一样，自转的影响也近似与r²成反比，因此，在r远大于史瓦西半径时，电荷或自旋对时空度规的影响可以忽略不计。因此R-N、Kerr、K-N度规在远距离下可以近似看成史瓦西度规，这就是所谓的弱场近似（weak field approximation），这在前面的渐近行为部分已经讲过了，剩下的留到Kerr度规的篇章讲。

注释：地球的史瓦西半径（2M）约为9mm，但是地球本身半径为6371km，是史瓦西半径的7.08亿倍。足够你忽略电荷和角动量对度规的影响了。

GPS时钟校正的其它细节请看其它科普作品。

其次是尺缩效应（空间弯曲）（Gravitational Length Contraction，引力长度收缩）：

我们选取t为常数，t=const这个时间切片（Time Slice），看看径向的尺缩效应。当t、θ、φ为定值时，有：

$ds^2=g_{rr}dr^2$，$\dfrac{\rm d s}{\rm d r}=\sqrt{g_{rr}}$，对球对称时空，很容易处理：$\dfrac{\rm d s}{\rm d r}=\sqrt{g_{rr}}=\dfrac{1}{\sqrt{f(r)}}$

具体到R-N时空，$\dfrac{\rm d s}{\rm d r}=\sqrt{g_{rr}}=\dfrac{1}{\sqrt{f(r)}}=\dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{2M}{r} + \dfrac{Q^2}{r^2}}}$，当$r\gt \dfrac{Q^2}{2M}$，且不在单向膜区时，很容易得出$\dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{2M}{r} + \dfrac{Q^2}{r^2}}}\gt1$

假如径向两点的坐标半径差别是$\delta r$，那么你需要一个更长的刚性直尺才能连接这两个点位，$\delta s =\sqrt{g_{rr}}\delta r >\delta r$，也就是同样一个刚性直尺，你在引力势阱深处触及的δr，远远比不上你在无限远处能触及的δr。

PS:如果你看着我的文字这样想，觉得抽象至极的话，建议随便找一个黑洞引力势阱图（或者物质把时空压弯的图）去理解，然后你就明白为什么坐标半径的差值和你实际量出来的空间距离为什么不一样了。你甚至无需特别在意竖坐标的物理意义，意会即可。

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如果你在没有视界、黑洞和奇点的，一般性的球对称静态弯曲时空：由于$\sqrt{g_{rr}}>1$处处成立，所以本征半径始终大于坐标半径（原点除外），这就是空间弯曲的体现。（当然此时本征半径和坐标半径还都是物理可观测量）

例如内部史瓦西度规拼接外部史瓦西度规，例如没有解析表达式的球对称静态度规，例如球对称行星、球对称白矮星、球对称中子星等。就属于这种情况。

如果你在视界附近，那么$\sqrt{g_{rr}}$可以发散到正无穷大。

当然它的积分仍然是有限的，请看：

$\displaystyle\int \sqrt{g_{rr}}dr=\int \left( 1 - \frac{2M}{r} + \frac{Q^2}{r^2} \right)^{ - \frac{1}{2}}dr = \int r\left( r^2 - 2Mr + Q^2 \right)^{ - \frac{1}{2}}dr$

根据上文提到的积分表，上述表达式就等于(+C就不写了，其实这个M·ln2也是个可以直接删掉的积分常数)(ln里面本应该是无量纲常数，这里建议统一除以M进行无量纲化)：

$=\sqrt{r^2 - 2Mr + Q^2}+M\cdot\ln\left| r-M+\sqrt{r^2 - 2Mr + Q^2}\right|+M\cdot\ln2$

除了宇宙中并不存在的极端黑洞，例如极端R-N黑洞以外，本征半径的积分，即使积分到了视界面上，一般都是有限值。

4、引力红移与无限红移面，红移对黑体谱的影响。

引力红移（Gravitational RedShift）

我们考虑最简单的情况，一个静止在引力势阱深处的波源（可能在辐射电磁波、引力波等波动，或者传递某种可能是周期性也可能不是周期性的信号），和一个无限远处静止观察者。

假设波源振动频率是ν，显然振动次数（振荡的周期个数）正比于波源经历的固有时，因此任意参考系下观察到的振动次数是相同的，是洛伦兹不变量（Lorentz invariant‌）。

以无限远处静止观测者为例：$\nu{\rm d} \tau=\nu' {\rm d} t$，其中ν'是无限远处静止观察者接收到的频率。

假如波源静止，显然$d\tau=\sqrt{-g_{tt}} dt$，因此$\dfrac{\nu'}{\nu}=\sqrt{-g_{tt}}$，上面反复讨论过，外视界以外，$\sqrt{-g_{tt}} <1$，而且$-g_{tt}=1 - \dfrac{2M}{r} + \dfrac{Q^2}{r^2}$，在$r>\dfrac{Q^2}{M}$时单调递增（注意对黑洞来说，$r_-\le \dfrac{Q^2}{M} \le M \le r_+$，证明过程看文末）。

所以引力势阱深处的波源发出的辐射，在逃离引力势阱时，会红移；反之引力势阱浅处坠入引力势阱深处时会蓝移。

如果是运动物体，还需要再考虑多普勒频移，这里不再深入探讨。

定态时空怎么理解引力频移的能量守恒？很显然，波动或者辐射在逃离引力势阱时，它的动能被转化为了引力势能，动能减少，导致红移；同理在坠入引力势阱时，引力势能被转化成了动能，动能增加，导致蓝移。具体计算细节和轨道力学，我们下一篇文章中详细讲解。

静止物体的无限红移面

$-g_{tt}=0$时，$\dfrac{\nu'}{\nu}$为0，对应波长被拉到无限长，称为无限红移。

对于球对称静态真空，$-g_{tt}=\dfrac{1}{g_{rr}}=f(r)$，因此$-g_{tt}=0$的位置，刚好就是$r_\pm$，它是类光超曲面，叫（静止物体的）无限红移面（Infinite Redshift Surface‌，IRS）。因此对球对称（也就是不旋转的）黑洞而言，（内外两个）无限红移面恰好就是（内外两个）两个视界。在两个无限红移面之间，不存在静止参考系。

对于旋转时空，上述要件需要补充修正：

度规不是对角矩阵。$-g_{tt}=0$仅代表静止物体的无限红移面，又叫静止界限，简称静界（Static Limit），在两个（静止物体的）无限红移面之间，不存在静止参考系；它不一定必须下坠，还可以选择必须旋转。$\dfrac{1}{g_{rr}}=0$的位置是实实在在的事件视界，两个事件视界之间是单向膜区（让黑洞是黑洞的最重要的结构）。无限红移面和事件视界之间，是内外两个能层（Ergosphere），在这里你必须和黑洞保持同向旋转。

当然这不是本文章的重点，以后介绍Kerr度规和Kerr-Newman度规时，再详细解释。本文只介绍球对称时空。

引力频移对黑体辐射的影响

下面证明一个常识：黑体辐射光谱经过引力频移之后，仍然是黑体辐射光谱。

先介绍几个概念，天文学上的红移量z，（强调波长增长了多少倍），$z=\dfrac{\lambda_{obs}-\lambda_{emit}}{\lambda_{emit}}$，z＞0表示红移，-1<z<0为蓝移。这个概念在本文中不好用。

在某些特定领域（尤其是相对论天体物理和黑洞吸积盘谱线研究）中，红移因子（redshift factor）​ 常用小写字母 g​ 表示（注意和度规张量的g相区分，这就是物理符号混乱的体现了）

g因子通常定义为观测频率与发射频率（或观测能量与发射能量）的比值：$g=\dfrac{\nu_{obs}}{\nu_{emit}}=\dfrac{E_{obs}}{E_{emit}}=\dfrac{1}{1+z}$

当 g<1时，表示光子能量降低，即发生红移（z>0）；当 g>1时，表示光子能量升高，即发生蓝移（z<0）。

对于引力场中静止光源和无限远处静止观察者：$g=\sqrt{-g_{tt}}$

设发射源处于局部热平衡，辐射为黑体，其谱辐射强度（比强度）为$I_\nu^{\text{em}} = B_\nu(T) = \dfrac{2h\nu^3}{c^2}\dfrac{1}{e^{h\nu/(kT)}-1}$：

在广义相对论中，对于无碰撞、无吸收的光子气体，沿测地线传播的守恒量为 $I_\nu/\nu^3$（由光子数守恒和相空间体积不变导出）。

因此，观测者测得的强度满足：$\dfrac{I_\nu^{\text{obs}}}{\nu_{\text{obs}}^3} = \dfrac{I_\nu^{\text{em}}}{\nu_{\text{em}}^3}$

引力红移使频率按因子 g<1 缩放：$\nu_{\text{obs}} = g\,\nu_{\text{em}}$。代入上式得：$I_\nu^{\text{obs}} = \left(\dfrac{\nu_{\text{obs}}}{\nu_{\text{em}}}\right)^3 I_\nu^{\text{em}} = g^3\, B_{\nu/g}(T)$

将 $B_{\nu/g}(T)$展开：

$B_{\nu/g}(T) = \dfrac{2h(\nu/g)^3}{c^2}\dfrac{1}{e^{h(\nu/g)/(kT)}-1} = \dfrac{2h\nu^3}{g^3 c^2}\dfrac{1}{e^{h\nu/(gkT)}-1}$

因此：$I_\nu^{\text{obs}} = g^3 \cdot \dfrac{2h\nu^3}{g^3 c^2}\dfrac{1}{e^{h\nu/(gkT)}-1} = \dfrac{2h\nu^3}{c^2}\dfrac{1}{e^{h\nu/(gkT)}-1} = B_\nu(gT)$

这表明观测到的光谱仍为黑体谱，温度变为 T' = gT（符合物理直觉，频率比=峰值频率比=温度比）

你可能要问了，这个守恒量 $I_\nu/\nu^3$是怎么得出来的，这是辐射转移理论结合广义相对论几何光学近似下的核心结果。它的得出可以从相空间体积不变性（刘维尔定理）和光子数守恒两个角度来理解。（上述讨论就不详细展开了，否则会导致偏题甚至跑题）

上述讨论不仅限于引力频移，事实上对多普勒频移、宇宙学频移也完全适用。

总的频移效应$g=g_gg_dg_u$，三者效应的乘积。

这也是为什么我们今天观测到的宇宙微波背景辐射（CMB）​ 在经过百亿年的宇宙学红移后，依然保持着完美的黑体谱形状。

有人可能会思考，可以利用钟慢效应，在黑洞附近修建住所，实现“天上一日地下万年”，可行吗？

这样做有很多明显的恶果：（且不考虑轨道稳定性，以及维持这个轨道所需的巨大的“本征加速度”）

你钟慢程度是$\sqrt{-g_{tt}}$，因此来自外部无限远处的辐射，到了你的所在的位置，频率将会蓝移为原来的$\dfrac{1}{\sqrt{-g_{tt}}}$倍，温度也变为原来的$\dfrac{1}{\sqrt{-g_{tt}}}$倍（包括你眼中的宇宙背景辐射温度）；热辐射会把你加热到“平衡温度”，假设你在无穷远处的平衡温度是$T_{b,+\infty}$，则引力场中为$T_b=\dfrac{1}{\sqrt{-g_{tt}}}T_{b,+\infty}$。

盲目追求钟慢效应，只会把你烤熟；或者被各种剧毒、致癌的光子（紫外线、X射线、γ射线）和亚光速粒子（电子、原子核等）等宇宙射线打烂（引力势能被大量转化为动能，不是开玩笑的）。

这还是静止的情况，如果你比轨道角动量不为0，或者说你转得比黑洞快/慢，那你“前进方向”感受到的蓝移只会更加恐怖。

这还只是考虑的外部辐射和经典广义相对论，没考虑量子效应，比如昂鲁辐射或者霍金辐射。

5、视界的面积

球对称度规下，视界的面积非常容易求：

视界实际上是个类光超曲面。这个事情我们掰成两部分讲：

r为定值时，有三个维度自由度，在满足$r=const$时，$t\in(-\infty,+\infty)$，$\theta\in[0,\pi]$，$\varphi\in[0,2\pi)$的任意点位都能取到，所以它是个有3个维度自由度的超曲面。

r在外视界外或者内视界以内时，r=定值的曲面，是类时超曲面。在两视界之间（单向膜区）时，r=定值的曲面，是类空超曲面。$r=r_\pm$时，对应视界，是类光超曲面。

不过无论它类时，类空还是类光，都不妨碍如下的推导：

当我们谈论它的二维面积时，我们实际上是取了一个坐标时t=定值的时间切片（Time Slice）。就像一个无限长的二维圆筒，我们选择一个适当的切片求截得的曲线边界周长。

球对称度规下，r=定值的球面面积表达式格外简洁：

$\displaystyle S=\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}\int_{\theta=0}^{\theta=\pi}\sqrt{g_{\theta\theta}g_{\varphi\varphi}}\rm d\varphi \rm d \theta=\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}\int_{\theta=0}^{\theta=\pi}\sqrt{r^4 \sin^2\theta}\rm d\varphi \rm d \theta \\\\\displaystyle =\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}\int_{\theta=0}^{\theta=\pi}r^2 \sin\theta\rm d\varphi \rm d \theta=r^2\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}d\varphi\int_{\theta=0}^{\theta=\pi} \sin\theta\rm \rm d \theta=r^2\cdot 2\pi \cdot2=4\pi r^2$

结论就是等于欧几里得几何的球面积公式：$S=4\pi r^2$

这种事情一点也不奇怪，因为我们定义的坐标半径r，意义就是圆周半径，圆周长除以2π。所以$g_{\theta\theta}=r^2;g_{\varphi\varphi}=r^2\sin^2\theta$，这一点上所有的球对称度规，与欧氏几何、闵氏几何毫无区别。

代入得：视界面积$\displaystyle S_{H\pm}=S_{\pm}=4\pi r_\pm^2$

特殊地，对史瓦西黑洞，$r_+=2M$，$S_H=16\pi M^2$；对极端R-N黑洞，$r_{\pm}=M$，$\displaystyle S_{H\pm}=S_{\pm}=4\pi M^2$

不过黑洞热力学主要关心外视界面积，即事件视界面积；这个以后再讲。

6、R-N黑洞的表面电势、电场能，以及普朗克电势的简介

根据爱因斯坦-麦克斯韦场方程，R-N度规中，任意点位处的电势为：$\dfrac{Q}{r}$

R-N黑洞的表面电势公式非常简洁，几何单位制下是：$V_+=\dfrac{Q}{r_+}$

国际单位制下是：$V_+=\sqrt{\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0}}\dfrac{Q}{r_+}$，其中r+是事件视界的史瓦西径向坐标（坐标半径），

在外部观察者看来，你的电荷均匀分布在视界面上。

因此电场能是$\dfrac{Q^2}{2r_+}$，又因为r+和r-是$\Delta=r^2-2Mr+Q^2=0$的两个实数根，因此根据韦达定理：$r_+ + r_-=2M$，$r_+r_-=Q^2$

所以电场能公式非常简洁，$\dfrac{r_-}{2}$，而表观质量$M=\dfrac{r_-+r_+}{2}$，而不可约质量为$\dfrac{r_+}{2}$，这一部分我们在黑洞热力学部分详细介绍。

极端R-N黑洞下，表面电势公式在几何单位制下就$={\rm sgn} (Q)$了，Q为正电荷时，表面电势为1，Q为负电荷时，表面电势为-1

在国际单位制下，表面电势公式为：$\sqrt{\dfrac{k_e}{G}}c^2\cdot{\rm sgn} (Q)=\sqrt{\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0 G}}c^2\cdot{\rm sgn} (Q)\approx{{\rm sgn} (Q) \cdot 1.043\times10^{27} V}$

可见一般黑洞的电势、极端黑洞的电势都正比于一个（几何单位制下）无量纲的常数，黑洞的几何形状（$\dfrac{Q}{M},\dfrac{a}{M}$）确定了，它的视界（两极）电势也唯一地确定了。

极端R-N黑洞的表面电势绝对值非常大，是普朗克电势$V_p=\sqrt{\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0 G}}c^2$，为什么这个数值是普朗克量？因为它的定义只依赖于普朗克单位制（一种自然单位制）涉及到的真空基本常数：约化普朗克常数hbar（普朗克角动量，一个角动量量子）、真空光速c（普朗克速度，速度上限）、万有引力常数G、库仑力常数$k_e=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}$、玻耳兹曼常数k_B，不涉及任何具体物质（包括电子质量、电子电量等等）

不同于其它普朗克单位制的基本单位，普朗克功率、普朗克电压、普朗克电流、普朗克阻抗是经典的，非量子化的，表达式中完全不含有约化普朗克常数hbar，甚至也不包括玻耳兹曼常量kB。它涉及到的都是经典过程，不涉及到任何量子效应。

比如普朗克电势，是由爱因斯坦-麦克斯韦场方程/方程组这种经典场论推导出的结论，不涉及任何量子理论，自然普朗克电势不含有普朗克常数。

普朗克功率(或等价地，亮度、光度)的公式是$L_0=\dfrac{c^5}{G}\approx{3.62831\times10^{52}\ W}$

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之所以是经典的，是因为它涉及到的过程完全可以是经典过程（而不是什么最小黑洞的辐射），例如两黑洞合并过程中，引力波的辐射的辐射功率就可以与之相比（但是达不到这么大功率，实际上只能达到普朗克功率的0.1%）：

请看卢昌海的个人博客：XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

由电压·电流=功率，普朗克电流的表达式为：$I_p=\sqrt{\dfrac{1}{k_eG}}c^3=\sqrt{\dfrac{4\pi \varepsilon_0}{G}}c^3\approx{3.48\times10^{25}\ A}$

由电压/电流=电阻，普朗克阻抗的公式是$\dfrac{k_e}{c}=\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0 c}$，就等于自由空间阻抗$\dfrac{1}{\varepsilon_0 c}$除以4π，其中自由空间阻抗（自由空间波阻抗，Wave Impedance of Free Space）为$\displaystyle Z_0=\dfrac{E}{H}=\sqrt{\dfrac{\mu_0}{\varepsilon_0}}\approx 376.73 \ \Omega\approx120\pi \ \Omega$，它是个实数，既非感抗也非容抗，对应真空中电磁波的电场和磁场同相位。普朗克阻抗为$\approx 29.98 \ \Omega \approx 30 \ \Omega$，可见这个阻抗既不是什么宇宙最大阻抗，也不是什么宇宙最小阻抗。

普朗克质量$\sqrt{\dfrac{\hbar c}{G}}\approx {2.176 \times 10^{-5} \ g}$是黑洞质量下限，并非任何物体的质量下限。

普朗克阻抗既不是宇宙最大阻抗，也不是宇宙最小阻抗。

但普朗克功率应该是宇宙的功率上限。普朗克质量的黑洞蒸发功率也就是普朗克功率的1/15360π，辐射压也就是普朗克压强的1/184320π²，其中184320也就是45*2^12，而15360也就是15*2^10。只说明宇宙最大压强或功率可能和普朗克量级还差一个巨大的常数因子。

普朗克电势是(宇宙学常数为0时)黑洞的电势上限，是不是任何物体的表面电势上限，还需要进一步论证。

类似地，内视界电势为$V_-=\dfrac{Q}{r_-}$，牢记根据韦达定理，$r_+r_-=Q^2$，因此$V_-=\dfrac{Q}{r_-}=\dfrac{r_+}{Q}$

请注意任意黑洞的存在条件是：$Q^2\le M^2$，所以必然有$r_+\ge M\ge |Q|\ge r_-$

因此必然有：$|V_-|=\dfrac{|Q|}{r_-}\ge1\ge\dfrac{|Q|}{r_+}=|V_+|$，R-N黑洞内视界的电势绝对值一定大于等于普朗克电势。

更要命的是，根据公式：$V_-=\dfrac{Q}{r_-}=\dfrac{r_+}{Q}$，|Q|越小，外视界电势绝对值越低，内视界电势绝对值反而越高，且内视界电势根本没有个上限，因为r+有上限2M，而Q可以→0，|Q|越小，r+越大，V-的绝对值越大，完全可以趋向于无穷大。

但是内视界和单向膜区本来就不属于外部宇宙了，外部宇宙能观察到的点位，电势都小于外视界的电势，进而无法超过普朗克电势。

关于在单向膜区应用高斯定理的其它推论，等我们讲彭罗斯图时再说。

7、电荷对引力的“负贡献”

考虑一个ADM质量为M，电荷为Q的质点或球体或者R-N黑洞

我们计算一下它的电场能密度分布。

电场能密度为$\displaystyle\dfrac{\varepsilon _0}{2}{\overrightarrow E ^2}$，几何单位制下为$\displaystyle\dfrac{1}{2}{\overrightarrow E ^2}$

场强为$\displaystyle \left| E \right| = \frac{Q}{4\pi {\varepsilon _0}r^2}$，几何单位制下为$\displaystyle \left| E \right| = \dfrac{Q}{r^2}$

电场能密度为$\displaystyle\rho \left( r \right) = \frac{1}{{2{\varepsilon _0}}}{\left( {\frac{Q}{{4\pi {r^2}}}} \right)^2}$，几何单位制下为$\dfrac{Q^2}{8\pi r^4}$

径向坐标为r处的电场能密度，乘以r处的面积4πr²，得到电场能的径向分布函数（Radial Distribution Function，RDF）为$\displaystyle RDF\left( r \right) = \frac{1}{2\varepsilon _0}\left( \frac{Q}{4\pi r^2} \right)^2 \cdot 4\pi r^2 = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{4\pi \varepsilon _0r^2} = \frac{Q^2}{8\pi \varepsilon _0r^2}$，几何单位制下为$\dfrac{Q^2}{2r^2}$

对半径进行积分得到：

$\displaystyle\int_r^{ + \infty } {RDF\left( r \right)} = \dfrac{Q^2}{8\pi {\varepsilon _0}r} = \dfrac{Q^2}{2r}$

$\displaystyle M\left( r \right) = M - \int_r^{ + \infty } {RDF\left( r \right)} = M - \dfrac{Q^2}{8\pi {\varepsilon _0}r} = M - \dfrac{Q^2}{2r}$

当$r_0=\dfrac{Q^2}{2M}$时（这个区域在内视界内部），$\displaystyle M\left( r \right) =0$，$-g_{tt}=f(r)=1$，此处的引力势，与无穷远处的引力势相等；是无穷远处静止开始自由下落粒子刚好减速到0的时候。且慢，这里一个地方不对，等效引力质量为0的地方应该是引力刚刚反转，加速变成减速的地方，也就是$r=\dfrac{Q^2}{M}$

所以上面的理论其实是不全面的，只考虑了物质密度对引力的贡献，忽略了压强对引力的贡献。

由爱因斯坦-麦克斯韦场方程，球状带电体外部由电场贡献的压强和能量密度为：$p_t=\rho=\dfrac{Q^2}{8\pi r^4}$，$p_\theta=p_\varphi=p_\perp=\dfrac{Q^2}{8\pi r^4}$，$p_r=-\dfrac{Q^2}{8\pi r^4}$，这是很显然的，电场线互相排斥且沿径向伸展的自然结果。在 TOV 方程中，有效引力质量为$M(r)+4\pi r^3 p_r=M-\dfrac{Q^2}{2r}+4\pi r^3 \left(-\dfrac{Q^2}{8\pi r^4}\right)=M-\dfrac{Q^2}{2r}-\dfrac{Q^2}{2r}=M-\dfrac{Q^2}{r}$，径向负压让有效引力质量更负，这正是压强对引力贡献的核心渠道。这就是为什么我们常说电磁负压起到了反引力的作用。这样我们的理论就逻辑自洽了。

这就很符合物理直觉了，设想某一探测粒子从无穷远处静止下落，到事件视界处达到光速（相对本地静止参考系），在单向膜区超光速（这不违反相对论，因为单向膜区本来就不存在亚光速的本地静止参考系），在单向膜区的$r=\dfrac{Q^2}{M}$处开始减速，到内视界减速到光速，到内视界内部$\dfrac{Q^2}{2M}$处减速到0，然后反弹，进入白洞内视界时加速到光速，在单向膜区的$r=\dfrac{Q^2}{M}$处开始减速，到外视界减速到光速，然后发射到无穷远减速到0。

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对表面重力为0的极端黑洞（M²=Q²）也同理，内外视界都是$M=\dfrac{Q^2}{M}$。

关于黑洞外任意点位的局域逃逸速度、逃逸锥角度甚至逃逸本身的问题，以后另外写一篇文章介绍。

多说一句，你会发现R-N奇点，K-N奇点具有无限强的排斥力，无限强的电场，无限强的引力蓝移，可见这种类时奇点，强排斥性奇点是极不稳定，不靠谱的存在。这是R-N奇点与史瓦西奇点的重大区别。这么强的场强一定会撕裂真空，电离真空，发生所谓施温格效应（Schwinger effect），从场吸取能量转化为实物粒子，最后把自身瓦解掉。况且无限强的斥力本身也会把自己瓦解掉。

这就是类时奇点本身的逻辑不自洽之处；类空奇点就没有这种问题，因为具有无限强吸引力，所以自身是稳定的。（注意，以牛顿理论为例，引力场的场能密度是恒负的$-\dfrac{|\overrightarrow{g} |^2}{8\pi G}$，电场的场能密度是恒正的$\dfrac{|\overrightarrow{E} |^2}{8\pi k_e}$）

不等式细节

你可能会对本文中的某些不等式细节有疑虑，现在我们来证明一下：

$-g_{tt}=\dfrac{1}{g_{rr}}=f(r)=1 - \dfrac{2M}{r} + \dfrac{Q^2}{r^2}$

它的导数为$\displaystyle \dfrac{df}{dr}=\dfrac{2M}{r^2}-\dfrac{2Q^2}{r^3}$，很显然导数零点为$r=\dfrac{Q^2}{M}$，这就是所谓“引力势最低点”。而$f(r)=1$的解为$r_0=\dfrac{Q^2}{2M}$，这个位置对应引力势为0（与无穷远处一致的点）

你可能还会问，我们怎么证明$\displaystyle \dfrac{Q^2}{2M} \le r_- \le\dfrac{Q^2}{M}\le r_+$(其中左边的两个等号在Q=0时取得，右边的两个等号在Q²=M²时取得,$r_{\pm}=M\pm\sqrt{M^2-Q^2}$)

因为M>0，所以不等式同乘以M可得：

$\displaystyle \dfrac{Q^2}{2} \le M^2-M\sqrt{M^2-Q^2} \le Q^2\le M^2+M\sqrt{M^2-Q^2}$，

最右边的不等式是最好证明的，因为$Q^2\le M^2$必然带来$\dfrac{Q^2}{M}\le M\le r_+$，等号当且仅当Q²=M²时取得。

现在证明$M^2-M\sqrt{M^2-Q^2} \le Q^2$，即$M^2-Q^2\le M\sqrt{M^2-Q^2}$，两边都是正数，平方可得$M^4-2M^2Q^2+Q^4\le M^4-M^2Q^2$，即为$Q^4\le M^2Q^2$，在$Q^2\le M^2$恒成立，Q=0或Q^2=M^2都能取到等号，没有毛病。

最后证明$\displaystyle \dfrac{Q^2}{2} \le M^2-M\sqrt{M^2-Q^2}$，即$2M^2-Q^2\ge 2M\sqrt{M^2-Q^2}$，两边都是正数，平方可得$4M^4-4M^2Q^2+Q^4\ge 4M^4-4M^2Q^2$，即$Q^4\ge0$，当且仅当Q=0时取到等号，没毛病。

结论是，假如黑洞存在（而不是裸奇异的情况）：$\displaystyle \dfrac{Q^2}{2M} \le r_- \le\dfrac{Q^2}{M}\le|Q|\le M\le r_+$

其中，Q=0时，前四项都为0。而Q²=M²时，后五项相等：$r_- =\dfrac{Q^2}{M}=|Q|= M= r_+$

电子自能问题

这一小节我们不谈论黑洞和纯真空，我们谈论宇宙中具体的基本粒子。

如果我们把单个自由电子看成经典裸奇点，它会因为过高的自旋（这个我们以后再讲），其次是过高的电荷，无法坍缩成为黑洞。如果暂时不管它自旋和旋转能。所以如果你站在距离r处往里看，位于r以内的"实体物质"贡献的（裸）质量是：

$M_{bare}=M-\dfrac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 c^2 r}$（几何单位制下，简化为$M-\dfrac{Q^2}{2r}$）

因为电子是点粒子，你积分半径越小，$\dfrac{Q^2}{2r}$越发散；巨大的电磁场自能和巨大的负的裸质量，刚好抵消掉，得到电子微小的观测质量M，过于巧合，不自然（natural）。这说明了经典的电磁场论（包括相对论电动力学、爱因斯坦-麦克斯韦场方程等）在量子尺度下失效了。量子电动力学（QED）是考虑了电子和正电子的贡献，应用费曼路径积分的方法，重整化解决了这个问题，虽然裸质量和电子自能仍然发散，但是是正比于$\ln\dfrac{1}{r}$的发散，因此即使是到了更高能标下，这两个大数也得不到什么很恐怖的数值，大数相消看上去也没那么巧合了。当然QED也只是个低能有效理论，不是宇宙的终极真理，到了电弱统一能标下和普朗克能标下会有新的物理学给出新的解释。

推导细节请找个量子场论网课：

【11.4 电子自能】 XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

质子没有自能问题。质子不是基本粒子，是夸克+胶子相互作用形成的复合强子。质子和电子无法混为一谈。

质子不是点粒子，它的电荷本来就分布在约0.84fm（8.4×10⁻¹⁶m）的半径上，$\dfrac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 c^2 r}$也就表观质量M的0.11%，半径是$\dfrac{Q^2}{2M}$的千倍以上。

质子938MeV的总质量里，99%左右都来自强相互作用的束缚能（胶子动能+夸克禁闭势能），大约不到1%来自3个夸克的静止质量，电磁自能的贡献只有大约千分之1（~MeV量级），不需要引入什么经典理论的负的裸质量。

正常黑洞（在事件视界外）也没有自能问题，但是R-N裸奇点有，但是裸奇点本身就不是现实中存在的物体，这个案例只是等价地证明了/确认了裸奇点等类时奇点在现实中无法存在。