对于级数

$\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{{n!}^{2}}{(2n)!}$

该级数的收敛性是毋庸置疑的，关键是求其具体值，我们一般采用超几何级数进行计算。

这里给出到一种只涉及两个欧拉积分，即Gamma函数以及Beta函数的方法进行计算。

注意到$\Gamma(n + 1) = n!$ 以及B函数定义 $B(a,b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a + b)}$

有

$\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{{n!}^{2}}{(2n)!}=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{{\Gamma(n + 1)}^{2}}{\Gamma(2n + 1)} =\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{{\Gamma(n + 1)}{\Gamma(n + 1)}}{\Gamma(2n + 2){/(2n+1)}} = \sum_{n = 0}^{\infty}{(2n + 1)B(n + 1,n + 1)}$

利用B函数的积分定义，并交换积分—求和符号

$\sum_{n = 0}^{\infty}{(2n + 1)\int_{0}^{1}{(x)^{n}(1 - x)^{n}dx}} = \int_{0}^{1}{\sum_{n = 0}^{\infty}(2n + 1)x^{n}(1 - x)^{n}dx}$

$=\int_{0}^{1}{(\sum_{n = 0}^{\infty}{2n}x^{n}(1 - x)^{n} + \sum_{n = 0}^{\infty}{x^{n}(1 - x)^{n}})dx}$

求和号内部为简单无穷等比数列，在积分区间0-1上是收敛的，令x(1-x)=t，有

$\sum_{n = 0}^{\infty}{2n}x^{n}(1 - x)^{n} = \frac{2t}{(1 - t)^{2}}, \quad \sum_{n = 0}^{\infty}{x^{n}(1 - x)^{n}} = \frac{1}{1 - t}$

原式=

$\int_{0}^{1}{\left[ \frac{1}{1 - t} + \frac{2t}{(1 - t)^{2}} \right] dx} = \int_{0}^{1}{\frac{1 + t}{(1 - t)^{2}} dx}=\frac{4}{3} + \frac{2\sqrt{3}\pi}{27}$

注：

$\int \left[ \frac{1 + x(1 - x)}{({1 - x + x^{2})}^{2}} \right] dx = \frac{2}{3}\left( \frac{2x - 1}{x^{2} - x + 1} + \frac{\arctan\left( \frac{2x - 1}{\sqrt{3}} \right)}{\sqrt{3}} \right) + C$

所以有

$\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{{n!}^{2}}{(2n)!} = \frac{{0!}^{2}}{0!} + \frac{{1!}^{2}}{2!} + \frac{{2!}^{2}}{4!} + \cdots=\frac{4}{3} + \frac{2\sqrt{3}\pi}{27}$

利用这个方法，可以计算其他有趣的级数，考虑系列级数：

$S(t) = \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{{t^{n}(n - 1)!}^{2}}{(2n - 1)!}$

有

$S(t) =\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{{t^{n}(n - 1)!}^{2}}{(2n - 1)!}= t\int_{0}^{1}{\frac{1}{1 - tx + tx^{2}}dx}$

$S(t) = \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{{t^{n}(n - 1)!}^{2}}{(2n - 1)!}=\frac{4t}{\sqrt{4t - t^{2}}}\arctan\left( \frac{t}{\sqrt{4t - t^{2}}} \right)(0<t<4)$

则得到如下有趣结果

$S(1) = \sum_{n = 1}^{\infty}{\frac{{(n - 1)!}^{2}}{(2n - 1)!}} = \frac{{0!}^{2}}{1!} + \frac{{1!}^{2}}{3!} + \frac{{2!}^{2}}{5!} + \frac{{3!}^{2}}{7!} + \cdots = \frac{2\sqrt{3}}{9}\pi$

$S(2) = \sum_{n = 1}^{\infty}{\frac{2^{n}{(n - 1)!}^{2}}{(2n - 1)!}} = \frac{2 \times {0!}^{2}}{1!} + \frac{4 \times {1!}^{2}}{3!} + \frac{8 \times {2!}^{2}}{5!} + \frac{16 \times {3!}^{2}}{7!} + \cdots = \pi$

$S(3) = \sum_{n = 1}^{\infty}{\frac{3^{n}{(n - 1)!}^{2}}{(2n - 1)!}} = \frac{3 \times {0!}^{2}}{1!} + \frac{9 \times {1!}^{2}}{3!} + \frac{27 \times {2!}^{2}}{5!} + \frac{81 \times {3!}^{2}}{7!} + \cdots = \frac{4\sqrt{3}}{3}\pi$

对于t为负值的情况，注意到根号下为负数，利用虚数单位i进行运算，并将arctan进行级数展开提出i后，注意到其结果与ln的级数展开的相关性，即可得到结果

$S(t) = \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{{t^{n}(n - 1)!}^{2}}{(2n - 1)!}=\frac{2t}{\sqrt{t^{2} - 4t}}\ln\left| \frac{t - \sqrt{t^{2} - 4t}}{t + \sqrt{t^{2} - 4t}} \right|(-4<t<0)$

有 $S(-1) = \sum_{n = 1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}{(n - 1)!}^{2}}{(2n - 1)!}} = -\frac{{0!}^{2}}{1!} + \frac{{1!}^{2}}{3!} - \frac{{2!}^{2}}{5!} + \frac{{3!}^{2}}{7!} - \cdots = -\frac{4\sqrt{5}}{5}\ln\varphi \quad (\varphi \text{为黄金分割})$

更有

$\sum_{n = 1}^{\infty}{\frac{{(2n - 1)!}^{2}}{(4n - 1)!}} = \frac{{1!}^{2}}{3!} + \frac{{3!}^{2}}{7!} + \frac{{5!}^{2}}{11!} + \cdots = \frac{\sqrt{3}}{9}\pi - \frac{2\sqrt{5}}{5}\ln\varphi \quad (\varphi \text{为黄金分割})$