四、举例

        打算发射一枚火箭入轨，轨道参数是这样的。在近地点到地面的高度为100km，远地点到地面的高度为200km，关机点和近地点的夹角是120度。已知地球平均半径R=6371km，问火箭主动段关机点的参数？

解：,远地点到地心距离

$$r_a=6371+200=6571km$$

近地点到地心距离

$$r_p=6371+100=6471km$$

偏心率

$$e=\frac{r_a-r_p}{r_a+r_p}=0.00767$$

半长轴

$$a=\frac{r_a+r_p}{2}=6531km$$

半通径

$$p=a\cdot (1-e^2)=6520.62km$$

关机点到地心的距离

$$r_k=\frac{p}{1+e\cdot cosf}=6545.72km$$

关机点的海拔高度为

$$h_k=r_k-R=174.72km$$

关机点的速度大小

$$V_k=\sqrt{\frac{\mu }{p}(1+2\cdot e \cdot cosf+e^2))}=7.79km/s$$

关机点弹道倾角为（弹道倾角：速度方向与当地水平面的夹角）

$$tan\Theta =\frac{e\cdot sinf}{1+e\cdot cosf}=6.67/time 10^{-3}，\Theta=0.38^{\circ}$$

所以想要获得所需轨道，只需在距地面174.72千米处，使得关机点的速度为7.79千米每秒，速度与当地水平面的夹角为0.38度即可。

可能有人会奇怪，为什么关机点速度小于7.9km/s？这是因为7.9km/s是第一宇宙速度，也是成为人造卫星的最大速度，即人造卫星贴地飞行时速度是7.9km/s。事实上卫星距离地面越远，则速度越慢。举个极端例子，近地轨道卫星一天能绕地球十几圈，而同步轨道上的卫星几乎相对地面静止。

五、小结

(1)火箭入轨后的轨道唯一取决于主动段关机点的参数。

(2)可以根据椭圆轨道的参数计算出关机点的参数。

(3)通过设计火箭主动段弹道，即可实现火箭进入预定轨道。

(4)控制的过程是，（a）首先火箭垂直起飞，以最快速度离开稠密的底层大气，减少能量消耗。（b）然后进行程序转弯，在跨声速段，保持攻角为零，避免火箭受气动力过大导致结构破坏，最后要转弯到指定的弹道倾角，并保持这个角度。（c）当火箭加速到关机速度时，执行关机指令，发动机关机。启动反推火箭，星箭分离，卫星进入轨道。

(5)注意设计的椭圆轨道不应与地面有交点，会变成弹道导弹的，会砸到人的。

END

2020/06/20 18:41 修改：补一个仿真结果

图1 另一个帖子里的程序的仿真结果，0刻度的水平线左右两侧分别是近地点和远地点。因为绘图原因，显示略有干扰。

图2 参数和图1一致，只是对绘图结果进行了调整，方便观察。近地点与关机点（图中发射点）的夹角为设计值120deg。

图3 右侧远地点的放大结果。到地面的距离刚好是100km卡门线的2倍，即200km远地点。

图4 左侧近地点的放大结果。与100km卡门线重合，对应于100km近地点。

通过数值仿真，说明了文中给出的计算公式的正确性。