转发:关于2019-nCoV(武汉肺炎)基本再生数R0的测算
周涛
电子科技大学,四川成都
虎哥 2020-1-26 数学医学

注:这是一篇探讨传播模型的关键参数R0的求算的文章,建议大家测算仿真,特别是模拟公布数据不准时的情况。

源于武汉野生动物市场的新型冠状病毒感染肺炎(病毒命名为nCoV-2019或2019-nCoV,传染病有学者称为SARI,本文简称为武汉肺炎)目前尚未得到有效阻断,处于传播上升期。前期有专家在进行实地考察后,认为武汉肺炎是可防可控的。因为看到目前传播的趋势,大家对这个结论并不买账。国外有些研究人员的预测非常悲观,甚至认为到了2020年2月4日如果没有有效控制,武汉肺炎会感染超过19万人。利用《柳叶刀》上面发表的流行病调查学结果[1]并参考SARS的一些传播机制,我们估计了武汉肺炎的基本再生数,发现即便按照海外研究团队报告的悲观结果[2][3][4],武汉肺炎的传播能力也只是和SARS差别不大。

事实上,如果以《人民日报》(和丁香园一起发布)疫情实时动态数据为基准,建模估计得到武汉肺炎早期无干预自由传播对应的基本再生数在2.8-3.3之间,与SARS早期情况接近,甚至略低于相当一部分研究报告对SARS早期传播能力的估计。若以东北大学报告[1]预测的感染人数为基准,武汉肺炎基本再生数在3.2-3.9之间,略高于SARS早期。

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图片来源:新浪新闻

目前汹涌的传播趋势,一是因为传染病流行早期就是具有这个特点,防控手段上来后自然会掉下去;二是因为武汉错过了早期防控最佳的黄金时间;三是武汉肺炎重症率较低,病人具有传染性后症状不明显,活动性较强,不易被提前发现隔离,有效传播时间可能强于SARS。但不管现在的情况如何,总体而言,武汉肺炎属于中等传播能力的传染病,完全具备防控条件——各位喷子不要喷我们,我们不是宣传部干事,我们只是根据计算结果说话。后面所有计算细节和方法文献都会给出来,大家自己可以复现计算结果。

本文接下来分成五个部分:(1)简单介绍一下什么是再生数,以及对为什么对于流行病控制而言,再生数最重要;(2)如何计算再生数;(3)具体用了哪些数据,算出来的结果是多少;(4)这个结果和其他疾病以及SARS比较是大是小;(5)为什么说这是可防可控的,我们老百姓自己要注意什么。

一、 什么是再生数?

基本再生数(Basic Reproduction Number)是指没有干预的情况下,在一个全部是易感人群的环境中,平均一个患者可以传染的人数[5],用大白话说就是自由传播的情况下一个病人平均能感染多少人。这个数目都会大于1,如果不大于1,这个疾病就不可能传播起来,是个弱鸡病,在进化中会被淘汰。因为加上了防控干预手段(例如中国政府对SARS),或者易感的人已经病了或者死了很多(例如古代欧洲的黑死病),在疾病传播发展的过程中,t时刻下一个病人平均能感染的人数Rt叫做有效再生数。

所谓防控传染病,就是要通过各种措施让有效再生数降到1以下。以香港SARS传播为例,如果看整体数据,香港2003年2月19号爆发之后基本再生数估计值是3.4,即便去掉超级传播者的影响(这是为了分析,实际防控不可能这样做),基本再生数的估计值也在2.7,但是有效防控之后,一个月后有效再生数就降到1以下了[6]。基本再生数是流行病动力学中最重要的参数,它既能够刻画一个传染病不加控制的内在传播能力,也能够用于我们公卫政策参考,看要防控到什么程度。

二、如何计算基本再生数?

我们的计算工作是1月26日凌晨完成的,因为我一直等到《人民日报》报数。1月25日在我看来,是最后一天可以用于自由爆发期的数据。我们之所以假设1月25日及以前报告的病例都来源于疾病爆发早期无干预的自由传播,是因为直到2020年1月21日,武汉肺炎爆发才开始通过主流媒体广泛报道。直到2020年1月22日凌晨2:40,湖北省人民政府才发布《湖北省人民政府关于加强新型冠状病毒感染的肺炎防控工作的通告》,启动了突发公共卫生事件二级应急响应。在此之前人群缺乏对疾病的充分认知,政府也未进行有效防控。

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湖北省人民政府启动突发公共卫生事件二级应急响应

根据Chan等人[1]对少量早期确诊案例(9位已知潜伏期病例)的分析,平均潜伏期为5.1天;与武汉肺炎类似的SARS病毒潜伏期中位数为6.4天(95%置信区间为5.2-7.7天)[7]。故可认为2020年1月25日及其以前确诊的病例都是在没有有效干预和防控手段的情况下被感染的。

假设武汉肺炎早期的自由传播可以用一个SLIR模型来描述。其中S代表易感人群,L代表被感染后处于潜伏期的人群,I代表潜伏期之后已具有感染性的人群,R表示已经因为治愈并获得免疫、被有效隔离、因病死亡等原因已经不对流行病传播产生影响的人群。记平均而言一个具有感染性的人(I类)与易感人群(S类)接触后易感者被感染并进入潜伏期的概率(传染率)为\(\beta \),一个处于潜伏期的L类个体单位时间内将以概率\({\gamma _1}\)转变为I类个体,一个I类个体单位时间内将以概率\({\gamma _2}\)转变为R类个体。上述时间单位均为天。

显然,新型肺炎传播过程可用下述四个微分方程进行刻画[8]:

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其中S(t)、L(t)、I(t)和R(t)分别表示t时刻网络中处于易感染态、潜伏态、感染态和恢复态个体数目,N表示网络中个体总数目,且N=S(t)+L(t)+I(t)+R(t)。当t趋近于0时,有S(t)趋近于N,基本再生数可表示为[9]:

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其中\(\lambda {\rm{ = ln}}\frac{{Y(t)}}{t}\)是早期指数增长时的增长率,\(Y(t)\)是截止到t时刻有症状的感染人数。潜伏期和感染期可分别表示为

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,生成时间(generation period或serial interval)的计算可近似于序列间隔,即为
1580020238718.jpg
。记
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为潜伏期占生成时间的比例,则基本再生数可进一步表示为:

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三、算出来的结果

下面我们依次分析上面这些参数的取值。

根据文献[7][10],SARS传播的p的取值在0.5-0.8之间,对应的p(1-p)的值为0.16-0.25;根据文献[1]对武汉肺炎少量病例的分析,p的均值为0.61,对应的p(1-p)的值为0.238;本文取p=0.65,对应的p(1-p)的值为0.2275。p值的选取对于基本再生数取值影响较小,因此我们不对p的取值做敏感性分析。

截止到2020年1月25日23:59,《人民日报》给出的新型冠状病毒感染肺炎疫情实时动态数据为确诊1408例,疑似2032例。根据当前防控实际情况,应该存在一定比例的出现症状的感染者还未被发现[2][3][4]。如果暂不考虑此情况,并假设疑似病例中有p的概率是感染者。初期报导提到59个疑似病例有41位最终确诊,因此p的一个参考值为41/59=0.695。如取p=0.695,则1月25日被感染人数为Y(t)=2032*0.695+1408=2820。注意,这是一个非常乐观的估计,实际的感染人数应当超过2820人。

若以第一个不明原因肺炎发现者的报道时间2019年12月8日为t=1(实际出现时间应该略早于12月8日,这会导致更小的R0值,对防控是好消息),那么这种乐观情况下Y(48)=2820。

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武汉华南海鲜批发市场

如果以东北大学的预估[2]为参考(该报告仅使用武汉出境后再境外被确诊的病患数目进行估计,样本较少,误差可能较大,但具有一定的参考价值,代表了国际学术界较普遍也较悲观的估计。文献[2][3][4]的估计结果是接近的),则可选择优代表性的数据点,如Y(43)=4050(2020年1月20日有4050名感染者),Y(47)=12700(2020年1月24日有12700名感染者)。

对于生成时间\({T_s}\),文献[6]基于SARS在新加坡爆发的分析,认为\({T_s}\)均值在8.4天,但传播爆发的早期(前两周)均值为10.0天。巧合的是,基于文献[1]对武汉肺炎少量病例的分析,\({T_s}\)均值恰为8.4天。因为基本再生数对\({T_s}\)的值比较敏感,我们取两个值,8.4和10。下面表格是分六种情况下计算得到的基本再生数。

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四、与SARS和其他传染病的对比

我们通过采信东北大学研究团队(国际其他研究团队的估计类似)的估计结果,得到的基本再生数和同期Read等人的结果[4]接近,他们估计的结果是3.6-4.0。武汉肺炎和SARS的基本再生数是比较接近的,例如Lipsitch等人[6]给出的SARS基本再生数是2.2-3.6,Riely等人[11]给出的SARS的基本再生数是2.7(95%置信区间为2.2-3.7),但若考虑超级传播者,则这个值可以上升到3.4。Wallinga等人[12]给出的SARS基本再生数是3.1-4.2,不低于我们较悲观的结果。

所以我们认为如果采信《人民日报》公布的实时数据,武汉肺炎的基本再生数不高于SARS(初期甚至略低于某些研究团队对SARS基本再生数爆发初期的估计),具有和SARS差不多的传播能力;即便采信国际上相关研究团队比较悲观的估计值,也只是略高于SARS,依然属于传染能力中等的传染病(下表给出了与其他传染病的对比)。根据我们对抗的SARS的经验,这种传播能力下,政府完全具备条件,通过有效干预,实现可防可控。

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五、要怎么办才能把生成数控制到1以下

如果从动力学的观点来看,\({R_0} = k\beta D\),其中k是一个有传染能力的感染者平均每天能够带来进一步传播可能的与易感人群的接触数,是\(\beta \)传染率,D是可以传播的时间。所谓干预甚至防控,就是降低这些值,最终使有效再生数Rt下降到1以下。根据我们的结果,如果\({R_0} = k\beta D\)能够降到原来的1/4,武汉肺炎就能控制住。只要大家齐心协力,这个不要太容易。

首先你想想,我们原来出去聚会玩每天要接触多少人,现在能不能接触的人不到1/4,当然可以,我接触的人应该比预期少了10倍,例如春节我取消了一切聚会。如果我们带口罩,勤洗手,就算和传染者接触了,被感染的概率也会小很多。因为一出现症状就要自己在家隔离或者在医院观察和隔离,如果被确诊了,所有患者的密切接触对象都会接收医学观察并被隔离(有的是在家隔离),这些人基本都没有传播能力了(病毒哭死了,因为感染到了D=0的人等于没有传播出去)。我们完全有能力在近期把武汉肺炎的有效再生术降到1以下。所以我觉得大家完全不必恐慌,我原来也慌得一屁,因为不知道R0的值。

最后给大家一些建议:

(1)如果来自疫区或者和来自疫区的人密切接触过,请首先自我隔离并且上报自己的情况;

(2)带口罩、勤洗手,尤其外出回来后要洗手,路途中和没有洗手条件的情况下尽量不要揉眼睛,持续挖鼻屎,到处乱抠;

(3)保持心情乐观,不要熬夜和吃大量垃圾食品,尽量保证吃好睡好,这样自身免疫力会高一些;

(4)全面减少交通,尽最大可能不出行、少出行,绝对不要参加任何多人聚会(学学新新人类,手机上就谈恋爱了,虚拟世界里面就结婚生子了);

(5)发现来自疫区的同志和明显不符合防控要求的大型聚会等等,要及时上报,必要的时候可以报警。

鼠年开门不易,希望大家众志成城,共克时艰!

参考文献:

[1] J. F.-W. Chan, et al., A familial cluster of pneumonia associated with the 2019 novel coronavirus indicating person-to-person transmission: a study of a family cluster, Lancet (2020).

[2] M. Chinazzi, et al., Series Reports Entitled “Preliminary assessment of the International Spreading Risk Associated with the 2019 novel Coronavirus (2019-nCoV) outbreak in Wuhan City”.

[3] N. Imai, et al., Series Reports Entitled “Estimating the potential total number of novel Coronavirus in Wuhan City, China”.

[4] J. M. Read, J. R. E. Bridgen, D. A. T. Cummings, A. Ho, C. P. Jewell, Novel coronavirus 2019-nCoV: early estimation of epidemiological parameters and epidemic predictions, Preprint in MedRXiv 2020.

[5] R. M. Adnerson, R. M. May, Infectious Diseases of Humans: Dynamics and Control (Oxford University Press, Oxford, 1991).

[6] M. Lipsitch, et al., Transmission Dynamics and Control of Severe Acute Respiratory Syndrome, Science 300 (2003) 1966.

[7] C. A. Donnelly, et al., Epidemiological determinants of spread of causal agent of severe acute respiratory syndrome in Hong Kong, Lancet 361 (2003) 1761.

[8] R. Pastor-Satorras, et al., Epidemic processes in complex networks, Rev. Mod. Phys. 87 (2015) 925.

[9] J. Wallinga, et al., How generation intervals shape the relationship between growth rates and reproductive numbers, Proc. R. Soc. B 274 (2007) 599.

[10] Y. S. Leo, et al., Severe acute respiratory syndrome-Singapore 2003, Morb. Mortal. Wkly. Rep. 52 (2003) 405.

[11] S. Riley, et al., Transmission Dynamics of the Etiological Agent of SARS in Hong Kong: Impact of Public Health Interventions, Science 300 (2003) 1961.

[12] J. Wallinga, P. Teunis, Different epidemic curves for severe acute respiratory syndrome reveal similar impacts of control measures, American Journal of Epidemiology 160 (2004) 509.

[13] J. Lessler, et al., Assessing the global threat from Zika virus, Science 353 (2016) aaf8160.

[14] M. G. Roberts, H. Nishiura, Early estimation of the reproduction number in the presence of imported cases: pandemic influenza H1N1-2009 in New Zealand, PLoS One 6 (2011) e17835.

[15] H. Nishiura, et al., Pros and cons of estimating the reproduction number from early epidemic growth rate of influenza A (H1N1) 2009, Theoretical Biology and Medical Modelling 7 (2010) 1.

[16] R. P. Sanches, E. Massad. A comparative analysis of three different methods for the estimation of the basic reproduction number of dengue, Infectious Disease Modelling 1 (2016) 88.

[17] M. D. Van Kerkhove, et al, A review of epidemiological parameters from Ebola outbreaks to inform early public health decision-making, Scientific Data 2 (2015) 150019.

[18] S. Towers, Sherry, et al., Temporal variations in the effective reproduction number of the 2014 West Africa Ebola outbreak, PLoS Currents Outbreaks 6 (2014).

[19] H. Nishiura, Correcting the actual reproduction number: a simple method to estimate R0 from early epidemic growth data, International Journal of Environmental Research & Public Health 7 (2010) 291.

[20] M. Biggerstaff, et al. Estimates of the reproduction number for seasonal, pandemic, and zoonotic influenza: a systematic review of the literature, BMC Infectious Diseases 14 (2014) 480.

[21] M. B. Barongo, et al., Estimating the basic reproductive number (R0) for African swine fever virus (ASFV) transmission between pig herds in Uganda, PLoS ONE 10 (2015).

[22] M. S. Majumder, et al., Estimation of MERS-coronavirus reproductive number and case fatality rate for the spring 2014 Saudi Arabia outbreak: insights from publicly available data, PLoS Currents Outbreaks 6 (2014) .

[23] M. Eichner, K. Dietz, Transmission potential of smallpox: estimates based on detailed data from an outbreak, American Journal of Epidemiology 158 (2003) 110.

致谢:本研究是在由四川大学牵头的四川省新型冠状病毒肺炎应急攻关研究项目支持下完成的。本文的一些研究结果来自于刘权辉合作的工作,并受到四川大学杨可心,电子科技大学白薇、清华大学廖敬仪、国防科技大学吕欣的支持和帮助。

(标题系转发时所加)

[修改于 1 个月前 - 2020-01-26 14:50:42]

来自:医疗卫生 / 医学数学物理 / 数学
5
2020-1-26 15:05:20
1楼

终于在科创看到客观理性的分析了,很多关键环节因为数学底子差没看懂,有心思再研究研究。是不是可以认为一个人平均下来传染不了一个人这个疫情就控制住了?

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2楼

今天莫名其妙开始低烧36. 7

轻微胸闷 厌食

郁闷死了。。

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2
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3楼

WH的前领导可以拉去打靶了,有人在说马书记是信教MSL,然后估计有恶意成分……扯远了,感觉目前最好的办法就是就地隔离,限制出入了

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1
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虎哥(作者)
4楼

现在主要是缺数据,连政府都没有相对准确的数据,所以各种测算结果的可靠性都不高,不过总体结论是可靠的。

本来春节人员流动大、聚会多,该状态下R0会大幅提高。而目前数据仍是在春节放假前感染的,那时候流动不算大,聚会不算多,算出来的R0偏小。因此,减少四倍的人员接触,要按照春节放假前的基数来减少,除非像武汉那样下狠招,其实还是比较难做到的。

幸好赶在了春节放假前采取断然措施,要是再晚三天,很可能就不止湖北一个省要封闭了。

隔离是非常有效的手段,以目前全民的动员程度,预期比较乐观。

[修改于 1 个月前 - 2020-01-26 17:40:26]

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5楼

我看到一篇学术文章里面说第一例患者出现于12月1号,出处忘记了。。

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