一个快速判断矩阵可不可逆的方法
CJDSD2023/01/21数学 IP:广东
关键词
线性代数

如果一个矩阵,其主轴上的所有数,都要大于同一行其他数字的和,那么这个矩阵一定可逆。

比如:

5 3 1

0 2 1

-1 -5 7

这个矩阵一定可逆,因为

5 > 3+1

2 >0+1

7>-1+(-5)



下面讲解一下原理

如果矩阵A符合主轴上的所有数都大于同一行其他数字之和这一条件,那么,矩阵A乘以一个和它相同行数的非零向量,结果一定不为零向量,即Ax=b,b不等于0因为:如果x是非零向量,那么这个向量中一定会有一个或者多个绝对值最大的非零值,设这个值为x(i)。在b的第i行时,这个数等于矩阵A的第i行的转置矩阵与向量x的点积,这个点积是一定不等于0的(结合主轴上的数比同行其它所有数和要大以及x(i)是x向量中绝对值最大的数这两点很容易就能得到,x(i)和对应的主轴上的数的乘积的绝对值一定要大过其他所有数的绝对值之和,所以所以一定不为0)。所以,对于任意非零向量x,b一定是非零向量,A矩阵可逆。

举个例子,还是用上面那个矩阵,乘以向量i+3j+5k,得到的向量的第三行等于:4*(-1)+(-5)*3+7*5一定不为0,因为7*5的绝对值比其他两项绝对值的和要大。

不难发现,其实不只是主轴,只要是在每一列中都存在一个数能大过这个数所在行的其他数的和,这个矩阵就可逆。


来自:数理化 / 数学
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