对教科书版微积分的总结
弃我行2023/04/11原创 数学 IP:四川

费马引理提出一个现象“连续函数极值点的导数(切线斜率)为0。”
罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理是对费马引理的应用。其中罗尔定理最简明,“连续函数上两函数值相等的点间,必存在一点的切线斜率(导数)为0。”,几何上看就是有AB区间上有一点切线平行于AB连线。
柯西中值定理是罗尔定理的推广,试想将罗尔定理中的坐标系变换后,原坐标系对应的坐标轴变为两个参数函数,即y=f(t),x=F(t),便能得到柯西中值定理。改写一下两个参数函数,使y=f(F-1(x)),便得到拉格朗日中值定理。所以这两个定理又讲的是同一个东西,“连续且可导区间上两点间,必存在一点的切线斜率等于那两点的连线斜率。”这性质实际上就是用来求微分的。
洛必达法则用极限来逼近这点使得两函数极限趋于0时(无穷的倒数也是0)的比值能在取极限时,被该点的切线斜率(导数)代替。
泰勒中值定理用x^n这个幂函数的特殊性质对函数f(x)在某点进行拟合,当这个拟合趋近无穷时当然趋近于f(x),但他巧妙利用那点克塞使得在不必趋于无穷时,用一个存在但未知的克塞,来准确描述后面未展开的余项。
泰勒中值定理的依葫芦画瓢加误差估计,是对一切初等函数牛鬼蛇神的降维打击。 泰勒展开.jpg

日后谈:4年前的笔记,好久没碰了,这式子应该还涉及到牛顿二项式之类一些杂七杂八的剩余。后面无穷级数也不太熟,有缘以后看了。


来自:数理化 / 数学
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~~空空如也
Nengca
7个月27天前 IP:四川
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赞一个。数学课上我总感觉全听明白了,可过了个把月,这玩意我学过吗?

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