费马引理提出一个现象“连续函数极值点的导数（切线斜率）为0。”
罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理是对费马引理的应用。其中罗尔定理最简明，“连续函数上两函数值相等的点间，必存在一点的切线斜率（导数）为0。”，几何上看就是有AB区间上有一点切线平行于AB连线。
柯西中值定理是罗尔定理的推广，试想将罗尔定理中的坐标系变换后，原坐标系对应的坐标轴变为两个参数函数，即y=f(t),x=F(t)，便能得到柯西中值定理。改写一下两个参数函数，使y=f(F-1(x))，便得到拉格朗日中值定理。所以这两个定理又讲的是同一个东西，“连续且可导区间上两点间，必存在一点的切线斜率等于那两点的连线斜率。”这性质实际上就是用来求微分的。
洛必达法则用极限来逼近这点使得两函数极限趋于0时（无穷的倒数也是0）的比值能在取极限时，被该点的切线斜率（导数）代替。
泰勒中值定理用x^n这个幂函数的特殊性质对函数f(x)在某点进行拟合，当这个拟合趋近无穷时当然趋近于f(x)，但他巧妙利用那点克塞使得在不必趋于无穷时，用一个存在但未知的克塞，来准确描述后面未展开的余项。
泰勒中值定理的依葫芦画瓢加误差估计，是对一切初等函数牛鬼蛇神的降维打击。

日后谈：4年前的笔记，好久没碰了，这式子应该还涉及到牛顿二项式之类一些杂七杂八的剩余。后面无穷级数也不太熟，有缘以后看了。