最近偶然发现了一个证明互感系数相等的很有意思的方法，以及从这个结果延申出去推导能量的表达式，顺便导出全耦合时互感的表达式$M=\sqrt{L_1L_2}$以及这个结果在多维下的推广。

以下内容纯属原创，网上似乎没搜到过类似的方法

根据电磁的线性性质，我们很容易得到在N个导体或者N个电感的情况下电感和电容的表达式

$\left( \begin{array}{} q_1 \\ q_2 \\ q_3 \\ ... \\ q_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{} C_{11} & C_{12} & C_{13} & ... & C_{1n} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} & ... & C_{2n} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} & ... & C_{3n} \\ ... & ... & ... & ... &... \\ C_{n1} & C_{n2} & C_{n3} & ... & C_{nn} \end{array} \right) \left( \begin{array}{} U_1 \\ U_2 \\ U_3 \\ ... \\ U_n \end{array} \right)$和
$\left( \begin{array}{} \Phi_1 \\ \Phi_2 \\ \Phi_3 \\ ... \\ \Phi_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{} L_{11} & L_{12} & L_{13} & ... & L_{1n} \\ L_{21} & L_{22} & L_{23} & ... & L_{2n} \\ L_{31} & L_{32} & L_{33} & ... & L_{3n} \\ ... & ... & ... & ... &... \\ L_{n1} & L_{n2} & L_{n3} & ... & L_{nn} \end{array} \right) \left( \begin{array}{} I_1 \\ I_2 \\ I_3 \\ ... \\ I_n \end{array} \right)$

这就是所谓互容与互感，互感大家都非常熟悉，例如

$\left( \begin{array}{1} \Phi_1 \\ \Phi_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{1} L_1 & M \\ M & L_2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{1} I_1 \\ I_2 \end{array} \right)$

对于互容，大家可能不太熟悉，举个例子

这里有两个真空中的球形导体，我们给一个导体带上电荷q，那么我们知道根据静电感应，导体A和导体B一定都会具有一定的电势，而这两个电势跟$q_1 \ q_2$是线性关系，因此可以写成矩阵形式，也就是$\left( \begin{array}{} U_1 \\ U_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{} \beta_{11} & \beta_{12} \\ \beta_{21} & \beta_{22} \end{array} \right) \left( \begin{array}{} q_1 \\ q_2 \end{array} \right)$对其求逆，得到$\left( \begin{array}{} q_1 \\ q_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{} \gamma_{11} & \gamma_{12} \\ \gamma_{21} & \gamma_{22} \end{array} \right) \left( \begin{array}{} U_1 \\ U_2 \end{array} \right)$这里的$\gamma$的量纲与电容相同，因此我们不妨将第二个矩阵称作电容矩阵。

电容矩阵只与空间位置有关，在如图的情况下，我们可以求解出来AB之间的电容矩阵，不过解析方法比较难算，我尝试做了一下数值求解，并得到如下的结果

进一步计算，得到$\left( \begin{array}{} \gamma_{11} & \gamma_{12} \\ \gamma_{21} & \gamma_{22} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{} 3.369 & -0.839 \\ -0.839 & 3.369 \end{array} \right)$

上面的矩阵对称性很强，使我们有理由猜测，或许所有的互容互感矩阵都应该是实对称矩阵，接下来我们将从能量的角度出发尝试证明这个结论，顺便得到能量表达式

在互容互感关系中，我们有张量关系式$q = CU$，既然从能量角度出发考虑，那么尝试考虑元过程做功，对于第$i$个电容，元过程所做的功$dW_i=U_idq_i$，因此总的做功$dW=\Sigma_{i=1}^{n}dq_iU_i=U^\top dq=U^\top CdU$，其中$dU$应该是任意的无限小电压增量，任意指的是其是可以（在高维空间中）任意方向的，$dU_i$ 之间彼此独立。

但最终的能量应该与$dU$无关，因此我们知道$dW$必须是一个关于$U$的函数的全微分。这个函数就是我们要找的能量，而它必须只与$U$和$C$有关。因此有如下式子成立

$dE=U^\top CdU$，还可以把它写成$dE=\Sigma_i\frac{\partial E}{\partial U_i}dU_i$，两个式子对比我们能能够发现： $\left(U^\top C\right)_i=\frac{\partial E}{\partial U_i}=\Sigma_{j=1}^nU_jC_{ji}$

考虑$\frac{\partial^2 E}{\partial U_j\partial U_i}=\frac{\partial^2 E}{\partial U_i\partial U_j}$，带入上面的公式，我们发现左边等于$C_{ji}$，右边等于$C_{ij}$，因此有

$C_{ij}=C_{ji} \ \ \ \ \ \ \forall i,j$，由此就证明了C的对称性，同时根据$\frac{\partial^2 E}{\partial U_j\partial U_i}=C_{ji}$我们发现，$E$应该等于$\frac{1}{2}U^\top C U$，这是一个二次型

上面的过程对电感显然同理。

引申一下，物理学中还有一个和这上面很像的东西：转动惯量张量$L=I\Omega$，通过和上面类似的方法我们也可以得出$I$为对称矩阵，并且转动动能$T = \frac{1}{2}\Omega^\top I \Omega$

既然知道了能量表达式，我们可以对这个矩阵进行进一步的约束，比如：全空间电场/磁场能一定大于0，因此由矩阵得出来的能量也一定大于0。

根据二次型的知识我们知道，对任意U，得出的能量都大于等于0意味着这个矩阵是一个正定/半正定的矩阵（意思就是它的所有特征根都大于或等于0）

在二维的情况下（比如电感），这意味着$\left| \begin{array}{} L_1 & M \\ M & L_2 \end{array} \right| \ge0$，因此全耦合时$M^2=L_1 L_2$。意思是当我在两个电容中通入相反的，比例系数为$\sqrt{\frac{L_2}{L_1}}$的电流时，全空间磁场精确抵消，总磁能为0，这也就是“全耦合”的来源