在这个视频下，看到一个级数。XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{n!}$

原视频探讨的是这个级数的敛散性。这个敛散性的判断是毋庸置疑的，它是收敛的。现在重要的是计算其具体的值。用手持计算器计算可以得到其值大致上是13.5914，注意到其结果是5e。

现在对这一类级数的值的具体计算进行一个探讨。

定义幂级数：

$f(x,t) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^t x^n}{n!}$

我们要求的是$f(1,3)$

很明显有

$f'(x,t) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^{t+1} x^{n-1}}{n!}$

则

$x f'(x,t) = f(x,t+1)$

递归则有

$\begin{align*} x f'(x,2) &= f(x,3) \\ x f'(x,1) &= f(x,2) \\ x f'(x,0) &= f(x,1) \end{align*}$

很明显

$f(x,0) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x - 1$

结算

$f(x,1) = x e^{x}$

$f(x,2) = x e^x + x^2 e^{x}$

$f(x,3) = x e^x + 3x^2 e^x + x^3 e^{x}$

带入x=1，即

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{n!} = f(1,3) = 5e$

问题到这里似乎就结束了，但是我们可以求出所有类似级数的值

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n!} = 1e \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n!} = 2e \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{n!} = 5e$

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^4}{n!} = 15e \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^5}{n!} = 52e \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^6}{n!} = 203e$

对于n的指数是正整数的情况，这类无穷级数都是收敛的，而且其结果都是解析的，都是自然常数e的整数倍。其e前面的系数（1,2,5,15,52,203…）称为贝尔数XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX,与集合分割有关。

例如B3=5，表明一个含有3个相异元素的集合，能够以5种方式被分割（不包含空集）：

{A,B,C}的分割有{A,B,C}、{{A,B},{C}}、{{A,C},{B}}、{{C,B},{A}}、{{A},{B},{C}}5种

贝尔数有如下的递推关系

$B_n = \sum\limits_{k=0}^{n-1} B_k \binom{n-1}{k}$

也可以用类似于杨辉三角类似的方式产生

产生方式有4个规则

1.第一行定义B1=1

2.第n行有n个数

3.上一行最后一个数是下一行的第一个数

4.对于一个未知数，其值等于其左侧和左上侧两数之和。

则有

1                                              B1

1     2                                          B2

2     3     5                                    B3

5     7     10     15                             B4

15    20    27     37     52                       B5

52    67    87     114   151    203                B6

203  255  322   409   523    674    877        B7

每一行的最后一个数即为贝尔数。没想到在这个无穷级数的尾巴里面，也会惊奇的出现这个数列呢~