目录

一、 前言

二、 积分与微分的思想

1. 瞬时量

2. 平均量与瞬时量的积分

三、 冲量定理

1. 发动机各项参数

2. 火箭发动机推力和功率公式

3. 齐奥尔科夫斯基公式

四、 鸣谢

前言

首先——感谢您阅读本文档。

本文全部内容经过大量简化，数学上存在大量不严谨之处，面向刚刚接触火箭的爱好者们，仅适用于业余情况，切勿作为专业参考。

这也是我第一篇成文作品，欢迎您的一切宝贵建议和批评，若想反馈不足之处，请在评论区提出，也可以联系QQ2331962658或邮箱gujunqi02@126.com。

最后，本文使用国际单位制。

积分与微分的思想

瞬时量

在中学，我们已经了解了牛顿第二定律：

$F=ma$

式2-1-1

这条公式适用于恒力作用在质量不变的物体上。但是，对于火箭而言，发动机的推力是在变化的，无法直接使用这条公式。

那么，如何在遵守牛顿定律的情况下，对火箭进行数学描述呢？

我们考虑一个极短的时间，称之为dt。这是一个十分短的时间，短到推力F不发生变化。

因此，在dt时间内，式2-1-1是成立的。

设这个在极短时间内不变化的推力为dF，我们就可以引出一个重要的概念：瞬时量。在本文中，任何带d的物理量，都可以认为是“瞬时量”。

继续考虑dt时间内的牛顿第二定律。

在式2-1-1的等号两边乘以dt， 再将加速度定义式代入

$dF·dt=m·dv$

我们认为，质量和速度的乘积为动量P

可得：

$dF=dP/dt$

式2-1-2

由此，我们推导出了牛顿第二定律的一般形式，也是它的微分表达式。它的含义是：力等于动量对时间的变化率。

所以，通过瞬时量，我们能够对任意情况进行数学描述。但是，火箭发动机的工作是一个过程，我们不可能只考虑一段极短时间内的情况。如何将各个极短时间内的情况变为实际上的情况呢？

平均量与瞬时量的积分

如果你在高中选科时选了物理，那你或许会知道冲量。在课本上，冲量I被定义为力F与作用时间t的乘积。

与上一节类似，冲量也可以被瞬时化，写为

$dI=dF·dt$

假设，推力与时间的关系图像如下图2-2-1所示（横坐标为时间，纵坐标为力）。

我们可以很明显地发现，每一个dt时间内的dI的加和，就是这个过程中的总冲量I。在几何上，dI可表示为长为dt，宽为dF的矩形的面积。请考虑：若dt趋近于0，这些矩形的面积之和，就会趋近于这条线下的面积。

因为这条线下是一个三角形，我们就能利用三角形面积公式得到总冲量的计算公式：

$I=0.5Fₙt$

其中，Fₙ是F的最大值，在图2-2-1中，可以发现Fₙ=25N。所以，这里的总冲量I=1/2*25*20=250N·s。

但在实际情况中，推力不可能是完美的直线，许多时候，发动机推力与时间的图像是一条不规则的曲线，如下图2-2-2所示：

此时，总冲量仍然是每个dI的和，但是，此时已经不能用简单的三角形面积公式去描述总冲量了，必须借助一个全新的数学工具——积分∫。

不要害怕，本文中的不会详细分析任何积分，和代表“瞬时”的微分符号d一样，积分只会作为一种代表了“加和”的符号。

由此，我们可以得出任意F-t曲线的总冲公式：

$I=∫Fdt$

式2-2-1

在实际工程中，用试车台得到的推力曲线、发动机工作时间和计算机程序进行计算，并得到发动机的总冲量。

很多时候，我们需要平均推力计算其他数据（如平均排气速度，这些内容将在后文讲解），最简单的方法是将积分得到的总冲量除以发动机工作时间。这里给出这种算法的数学证明（并不严谨）

首先，写出冲量的表达式：

$I=∫Fdt$

设平均推力为f，可以得到

$I=∫fdt$

由于f是一个定值，所以可以写为

$I=ft$

由于在同一枚火箭中，上式的t与冲量的积分形式中的t相等，两边除以t可得

$f=∫Fdt/t$

将等式右边的分子替换为总冲量

$f=I/t$

证毕。

冲量定理

发动机各项参数

上一章中，我们已经提出了一个关于发动机性能的参数：总冲量。

由式2-1-2的牛顿第二定律微分形式，两边关于t积分

$∫Fdt=∫dp/dt · dt$

将等式左边替换为I，等式右边可化为动能的变化量△P

$I=△P$

式3-1-1

可以发现，总冲量等于火箭的动能变化量，即冲量定理。

问题是，如何衡量一枚火箭的工作效率呢？请考虑，同样的火箭发动机，装入100克A燃料和1000gB燃料，产生了相同的总冲量，但是，任何人都能看出，B燃料的效率相比A燃料更低。

为了衡量一枚火箭产生冲量的效率，人们定义了比冲Isp。工程中，一般使用以下的定义式：

$Isp=I/mg$

式3-1-2

其中，I是总冲量，m是燃料总质量，g是重力加速度，由量纲分解可得，比冲的单位是秒s，其含义为：重为1N燃料产生1N推力时，能够燃烧的时间。

回到我们刚刚的例子。假设两种燃料均产生100Ns的冲量，g取10m/s²，代入式3-1-2，可以发现A燃料的比冲为100s，而B燃料的比冲仅为10s。可见，比冲的大小决定了火箭发动机的效率，是衡量火箭发动机性能的一项核心参数。一般地，比冲越大，性能越好。

火箭发动机推力和功率公式

火箭发动机的推力如何计算呢？对于喷出气体产生的推力，必须借助于动量守恒定理，即：火箭的动量与喷出气体的动量之和为零。设火箭动量为P，喷出气体的动量为p，喷气方向为正方向，可以得到：

$P=p$

将等号左边替换为火箭获得的冲量，右边替换为气体质量和速度的乘积

$∫F dt=mv$

令等式两边对t求导

$dF=dm/dt·dv$

我们将m/t定义为火箭的质量流量，本文中，使用ω表示。

因此，上式可以写为

$dF=dω·dv$

式3-2-1

由此，我们得到火箭瞬时推力和瞬时质量流量、瞬时排气速度的关系。

对于业余爱好者而言，瞬时推力的测量比较容易 但瞬时质量流量和瞬时排气速度的测量则较为困难。但是，平均质量流量，即燃料总质量与发动机工作时间的比值可以很方便地得到。因此，这里给出平均排气速度公式和其推导过程：

设平均质量流量为ω，平均排气速度为v，平均推力为f

$f=ωv$

由式2-2-2，将f替换为I/t

$I/t=ωv$

两边除以ω

$v=I/ωt$

将等式右边的分母替换为燃料总质量m，得到平均排气速度的公式

$v=I/m$

式3-2-2

注：实际上，火箭发动机的推力还要加上额外的一项：S(p0-p)，其中S是喷口截面积，p0是环境压强，p是喷口截面处的压强。但是对于业余小型发动机而言，以平方米计的S可以几乎忽略不计，故本文的推理公式不额外增加此项。

为了衡量一台发动机的做功速度，可以利用平均排气速度、平均质量流量计算发动机的平均功率。

$P=W/t$

在火箭中，W等于气体总动能E，将动能公式代入并整理，可以得到

$P=ωv²/2$

将式3-2-2代入并整理，得到发动机平均功率公式

$P=I²/2mt$

式3-2-3

其中，P为发动机平均功率，I为发动机总冲量，m为燃料总质量，t为发动机工作时间。

齐奥尔科夫斯基公式

先前，我们得到了冲量定理：

$I=△P$

在实际应用中，由于火箭的质量包括了燃料质量，而燃料质量本身也在变化，因此，式中的△P不能写为M△V形式，这就导致了上述定理成为了一个二元方程，暂时无法得到火箭速度增量△V的唯一解。

但是，质量的变化有其规律可循，我们不妨先设火箭的初质量为M₀，而末质量为M₁，某一时刻的质量记作M，燃料总质量为m。因此，m=M₀-M₁。

假设火箭每次燃烧质量为△m的燃料，且△m无限趋近于0，由此产生的速度增量记作△v。为避免混淆，将喷气速度记作u。

由动量守恒定理可知：

$u△m=-M△v$

两边除以-M和u

$-△m/M=△v/u$

两边积分，由于本文不对积分进行分析，故直接给出等式两边的积分结果

$lnM₀-lnM₁=△V/u$

由对数性质，将等式左边化简，并将等式两边乘以u

$△V=u·ln(M₀/M₁)$

式3-3-1

我们便得到了著名的齐奥尔科夫斯基公式，它将火箭的速度增量、喷气速度与燃料质量联系了起来。

鸣谢

感谢GSR交流群的群友、我的亲朋好友和这篇文章的所有读者们，为这篇文章贡献了自己的力量，在此不尽感激。

486工程院