三、“拉瓦尔喷管”的理想喷气速度公式

1、“拉瓦尔喷管”的理想喷气速度公式

$$u_{e}=\sqrt{\frac{2k}{k-1}\cdot R\cdot T^{*}\left [ 1-\left ( \frac{P_{e}}{P^{*}}\right ) ^{\frac{k-1}{k}}\right ]}$$

其中，

$u_{e}$——火箭发动机喷管的喷气速度，单位【m/s，米每秒】

$k$——喷管中的燃气的比热比，没有单位【或者说量纲为1】

$R$——喷管中燃气的气体常数，单位【J/(mol*K)，焦每摩尔每开】

$T^{*}$——燃气的总温，单位【K，开】

$P_{e}$——拉瓦尔喷管出口截面处的气体压强，单位【Pa，帕】

$P^{*}$——燃气的总压，单位【Pa，帕】

2、计算方法

这个公式用于精确计算从“拉瓦尔喷管”中出来的燃气的速度，不是什么简化公式。但要明白由于实际气体与理想气体有区别，所以会有些偏差需要靠实验测定，以后公式都不会再强调这点。计算喷气速度需要许多参数，或许会令爱好者迷茫，于是逐个解释：

1）比热比$k$，有些书写作$\gamma$，都一样。这是燃气的一个热力学参数。火箭燃气的成分是复杂的，确定这一参数是也困难而复杂的。因此对于业余爱好者而言，可以先使用这些数据：空气k=1.4，喷气发动机的燃气k=1.33，火箭发动机燃气k=1.25。这里讲火箭发动机，故k=1.25，当然也可以参考一些现有数据。

2）这里的气体常数$R$不太一样，区别与R0=8.314，它等于$R=\frac{R_{0}}{M}=\frac{8.314}{M}$，只是习惯区别。与燃气成分有关，和1）一样确定这一参数是也困难而复杂的，可以先用这些数据：空R=287.06，火箭燃气R=287.4。

3）燃气的总温$T^{*}$，总温就是气体速度为0时的温度，在发动机中，它就等于燃烧室的温度。这里计算都是用“开氏温标”的，数值上开氏温度=摄氏温度+273。

4）喷管出口截面处的气体压强$P_{e}$，喷管设计的目标就是使该值等于大气压，叫做“完全膨胀”，如果不等，就叫“过膨胀”或“欠膨胀”。因此设计时，就取它等于当地大气压。气压取决于海拔高度，爱好者的发动机打都工作于海平面附近，可以使用海平面标准值$P_{e}=P_{a}=1.013\times 10^{5}Pa$。

5）燃气的总压$P^{*}$，和3）一样表示速度为0时的燃气压强，火箭燃烧室中可认为速度为0，于是这里等于发动机燃烧室压强。

6）$\frac{P_{e}}{P^{*}}$又称为“膨胀压强比”

举例：这里用刚才看见的““500N硝酸—混胺50液体火箭发动机热试车”中的数据来举例。

原作者：@地震带上的人

原帖地址：https://www.kechuang.org/t/83162?&;;;page=0&highlight=850151#850151。

已知试车参数：某爱好者的发动机，燃烧室压强5MPa，工作地点为海平面，燃烧室温度为3185K，假设火箭工作于完全膨胀状态，试估算火箭的喷气速度？

解：燃烧室压强5MPa，工作地点为海平面，气压约为0.1MPa，于是膨胀压强比为

$$\frac{P_{e}}{P^{*}}=50$$

火箭发动机燃烧室温度为

$$T^{*}=3185K$$

比热比取k=1.25，气体常数去R=287.4，于是该发动机的喷气速度为

$$u_{e}=\sqrt{\frac{2k}{k-1}\cdot R\cdot T^{*}\left [ 1-\left ( \frac{P_{e}}{P^{*}}\right ) ^{\frac{k-1}{k}}\right ]}=\sqrt{\frac{2\times 1.25}{1.25-1}\times 287.4\times 3185\times\left [ 1-\left ( \frac{1}{50} \right )^{\frac{1.25-1}{1.25}} \right ]}=2228.83m/s$$

与爱好者“@地震带上的人”提供的仿真结果比对

图中发动机喷管出口截面处的速度约为2111m/s。与公式计算结果2228.83m/s基本一致，并且偏小了约117m/s。误差主要是来自比热比k=1.25值的估计不准确，此外是和实际过程中的能量损耗。

1）这个公式的重点在于比热比k值的确定，精确的我也不知道怎么算，等高人把，暂且先用k=1.25估算。

2）为了使用方便，简化计算。我绘制了关于喷气速度的曲线供爱好者进行参考。下图为比热比为1.2的燃气的喷气速度曲线，可以大致参照估算，各条曲线从下往上温度递增。

3）这个公式除了计算喷气速度还有什么用？

答：根据实验数据可以反过来推算比热比k。