在设计发动机时，我总是会为设计多长的工作时间而苦恼。因此我希望通过和大家的讨论和我自己的一些研究得出在特定条件下以及普适的最优解。

本讨论基于的假设是：在某个进行飞行的固体火箭发动机中，总冲相同，先不考虑工作时间变化导致的壁厚、装药量变化，推力和工作时间在怎样的关系中可以得到最佳的飞行性能

现在我先基于本人的知识进行一个初步的讨论，大家可以反驳或补充我的观点/论据

首先，总冲相同的时候我们很容易得到的关系式为推力与续航基本成反比关系

I_total = ∫Fdt                                                                           Eqn.1

首先忽略空气阻力。可以这么进行假设：一个100N·s总冲的火箭发动机驱动一个重量为1kg的火箭（为简便运算，g取10N/kg）

假设工作时长为t，那么推力即为 100/t   (N)

因此火箭所受合力为向上的 (100/t)-10   (N)

火箭所受的加速度为向上的 (100/t)-10   (m/s²)

火箭发动机停止工作时的高度为 50t-5t²   (m)

速度为   100-10t   (m/s)

火箭到最高点前还可滑行时间为   10-t   (s)

火箭还可滑行的距离为   500-100t+5t²   (m)

火箭飞行的总高度为   500-50t   (m)

结论似乎是发动机的工作时间越短，火箭的射高就越高。接下来我们将空气阻力纳入考虑，以向上为正方向，在对比中我们同时使用火箭推力恒定和燃料质量不变，那么在加速过程中火箭所受合力为

F = F_Thrust - mg - F_airdrag                                                             Eqn.2

其可以写为

ma = F_Thrust - mg - (1/2)×kρSv²                                                        Eqn.3

可以以我的CHX-3火箭数据为例，发动机理论总冲340N·s，火箭质量1.6kg，迎风面积3.03×10^-3m²，空气阻力系数取0.25

带入数据得：

1.6a = 340/t₀ - 15.68 - 4.885v²×10^-4                   （SI）                           Eqn.4

此处t₀为燃烧时间。我们再改写这个式子得

     dv/dt = 212.5/t₀ - 9.8 - 3.054v²×10^-4                      (SI)                            Eqn.5

现在我们只需要解出此一阶非线性微分方程即可,其结果如下

                                                                          Eqn.6

其中y为燃烧结束后的速度增量，x为工作时间对应t_0，a=(212.5/t₀-10)^(1/2)，b=3.054×10^-4

我们现在将此式子导入desmos取得其图像

可以注意到总速度增量零点时，发动机工作时间约为20.25s. 这很好理解，因为此时发动机产生的推力约为15.68N，正好为火箭自身所受重力，推重比为1，此时的速度增量自然就是0.

另外，不难看出火箭的速度增量与发动机工作时间是成负相关的。发动机工作时间越短，速度增量越大。需要注意的是，在超音速环境下和突破音障过程中，空气阻力方程会有变化，故此方程只适用于亚音速状态。

速度增量在此情况下近乎与工作时间呈线性负相关，接近y=-10(x-21.25)的函数图像。这是因为在此情况下的空气阻力影响较小。若将空气阻力调高一个数量级，图像会有明显的曲线变形

如视频所示，红线、蓝线和坐标x轴共同围成的面积即为燃烧时间内的高度增加量（即vt积分得到的位移）

火箭飞行可以分为有推力的加速飞行和惯性滑行两个阶段。我们接下来再看惯性滑行阶段。

此时通过微分方程解得的公式如下

                                                                    Eqn.7

此处a₁=sqrt(10)，y为速度，y_t为燃尽时的飞行速度，将t=t₀代入到之前的式子就可以得到。

我们画出图像（紫色）

蓝线（动力段）、紫线（滑行段）和x轴共同围成的面积即为火箭飞行的总高度。

我们对t₀=0.2s，t₀=1s，t₀=2s，t₀=3s，t₀=5s，t₀=10s，t₀=15s，t₀=20s分别进行考虑，现在我们只需要对两个式子分别进行积分。

首先，Eqn.6也可以写作a/b·tanh(abt)，该方程的积分是容易取得解析解的，如下

ln(cosh(abx))/b²                                                                       Eqn.8

将该方程进行绘图

上图中的黑色函数线即为高度，蓝色为速度。需要注意的是此处的速度的值已经缩小为原来的0.1倍，高度缩小为0.01倍，以方便查看

VID_20241110_190826.mp4  点击下载 ‎

我们可以得出以下数据：

t=t₀=0.2s时，飞行高度为21.0m，速度为209.6m/s

t=t₀=1s时，飞行高度为100.2m，速度为198.4m/s

t=t₀=2s时，飞行高度为188.8m，速度为185.3m/s

t=t₀=3s时，飞行高度为266.4m，速度为173.0m/s

t=t₀=5s时，飞行高度为390.5m，速度为150.3m/s

t=t₀=10s时，飞行高度为533.0m，速度为101.2m/s

t=t₀=15s时，飞行高度为448.0m，速度为57.1m/s

t=t₀=20s时，飞行高度为123.4m，速度为12.2m/s

接下来再进行滑行阶段的计算。由于此时的积分式（Eqn.7）较为复杂，所以在此我只作出数值解而非解析解。

b的值为0.0174757，a₁为3.162278

计算结果如下

从t=t₀到最高点，各组数据的计算值分别为：

t₀=0.2s时，惯性滑行的高度为1393.1m，到达最高点的时间为15.7s

t₀=1s时，惯性滑行的高度为1391.9m，到达最高点的时间为16.0s

t₀=2s时，惯性滑行的高度为1386.9m，到达最高点的时间为16.4s

t₀=3s时，惯性滑行的高度为1378.0m，到达最高点的时间为16.8s

t₀=5s时，惯性滑行的高度为1348.0m，到达最高点的时间为17.5s

t₀=10s时，惯性滑行的高度为1189.7m，到达最高点的时间为19.2s

t₀=15s时，惯性滑行的高度为865.1m，到达最高点的时间为20.5s

t₀=20s时，惯性滑行的高度为238.6m，到达最高点的时间为21.2s

最后我们再把这些数据和之前的动力飞行阶段高度相加，得到最终的射高

t₀=0.2s时，射高为1414.1m

t₀=1s时，射高为1492.1m

t₀=2s时，射高为1575.7m

t₀=3s时，射高为1644.5m

t₀=5s时，射高为1738.5m

t₀=10s时，射高为1722.6m

t₀=15s时，射高为1313.1m

t₀=20s时，射高为362.1m

最后我们制图并得出结论

横坐标：发动机工作时间（单位：秒）  纵坐标：最大射高（单位：米）

我们不难看出，在发动机工作时间约为7s时，可以达到最大的射高。将该数据普适到其他火箭，可以近似认为在亚音速情况下，火箭推重比3:1的情况下可以使火箭的射高达到最大。当然，实际的火箭还需要考虑不同的燃料质量占比、比冲等，所以该方案可能只适用于比冲约为100s，燃料质量占全箭约20%的情况。至于其他的发动机情况，我在后续会继续进行计算，最终目标是得到一个最佳推重比与燃料总冲和发动机质量比值的关系式。

在实际情况中，固机工作时间往往还会受以下三个因素的影响：

1、稳定性：如果发动机工作时间较短，则稳定性相关的考量因素可以减少，即通过减小动力时间减少了火箭姿态变化对偏航的影响。

2、材料：工作时间短的发动机需要更厚的发动机来进行承压，而工作时间长的发动机需要更好的隔热和耐高温的材料。

3、燃料燃速：如果制作普通的圆形内孔，那么燃烧的肉厚即为药柱半径减内孔半径，这可能会达不到过高的燃烧时长需求。端燃或锥形内孔则可能会导致工作时间过长。适当的调节催化剂/燃速抑制剂含量是有帮助的。

实际上的火箭发动机工作时间长短（如上面例子中的1~10s工作时长）对于最大射高的影响不超过20%。所以可以更多的根据发动机设计和现有材料等进行工作时间设计。对于发动机具有长时工作能力且有鸭翼仓等控制飞行稳定结构的火箭，我认为应当适当延长发动机工作时间，可以更加有助于提升火箭的射高。

2025/6/13声明更正：感谢虎哥对于高度等数据小数保留位数的建议，当时确实没有太注重这方面的格式，现以修正并统一对计算得到的速度、射高在国际标准单位制下保留一位小数（对应0.1m和0.1m/s）。