计算轨道炮效率
设轨道的电感梯度为dL/dx,回路总电阻为R,储能为Es,弹丸质量为m,初速v0,设t1时弹丸速度为v,电流为I,平均效率为η。
其中,电阻R为回路中各个部分电阻之和。包括电源内阻,轨道电阻,开关电阻,接触电阻等。若有产生压降的部分,如等离子体电枢,则将压降折算为电阻。
易知电阻损耗功率
$$ P_R=I^2R \hspace{1cm} (1)$$

$$ I^2=\frac{P_R}{R} \hspace{1cm} (2)$$
电磁力
$$ F=\frac{1}{2} I^2 \frac{dL}{dx} \hspace{1cm} (3)$$
若不考虑摩擦,则t1时弹丸速度满足
$$ v=v_0+\frac{1}{m} \int_0^{t_1} F \, dt \hspace{1cm} (4)$$

$$  v=v_0+\frac{1}{2m} \int_0^{t_1} I^2 \frac{dL}{dx} \, dt
= v_0+\frac{1}{2m} \int_0^{t_1} \frac{P_R}{R} \frac{dL}{dx} \, \,dt \hspace{1cm} (5)$$
如果认为电阻R,和电感梯度dL/dx,在整个加速过程中均保持不变。(对于使用电解电容的方案,回路电阻主要集中在电容ESR上,故此等效误差不大)
则有
$$ v= v_0+\frac{1}{2m} \int_0^{t_1} \frac{P_R}{R} \frac{dL}{dx} \, \,dt
=  v_0+\frac{E_R}{2mR} \, \frac{dL}{dx} \hspace{1cm} (6)$$
其中,\(E_R\)为消耗在回路电阻上的总能量。
弹丸动能
$$ E_k = \frac{1}{2}mv^2 =
\frac{ {E_R}^2 }{8mR^2}\,\left ( \frac{dL}{dx} \right)^2 + \frac{ {E_R} v_0}{2R}\,\frac{dL}{dx} + \frac{1}{2}m{v_0}^2 \hspace{1cm} (7)$$
弹丸动能的增量
$$ \Delta E_k = E_k - E_{k0} =\frac{ {E_R}^2 }{8mR^2}\,\left ( \frac{dL}{dx} \right)^2 + \frac{ {E_R} v_0}{2R}\,\frac{dL}{dx}\hspace{1cm} (8)$$
其中,\(E_{k0}\)为弹丸的初始动能。
当\(E_k \ll E_R\),即效率η趋近于0(比如η<10%)时,可以忽略弹丸动能\(E_k\),因此有
$$ \eta = \frac{\Delta E_k}{E_R+E_k} = \frac{\Delta E_k}{E_R} \hspace{1cm} (9)\\ \, \\E_R = E_S - E_k = E_s \hspace{1cm} (10)$$

$$ \eta = \frac{ {E_S}}{8mR^2}\,\left ( \frac{dL}{dx} \right)^2 + \frac{ v_0}{2R}\,\frac{dL}{dx} \hspace{1cm} (11)$$
补充:式中各符号含义,Es为总储能,dL/dx为电感梯度,m为弹丸重量,R为回路总电阻,v0为弹丸初速。
重复一下这个式子的适用条件:忽略摩擦力,忽略回路电阻变化(包括等离子体“等效电阻”的变化),认为电感梯度为恒定值,不计轨道中剩余的磁能,效率趋近于零。
    有趣的是,这里算出的效率与电流无关,无论是电流波形还是电流大小。当然,电流过大或过小时,摩擦,电阻变化等不可忽略,会导致这个式子不适用,这种情况下影响还是很大的。不过当电流在小范围内变化时,可以认为这个结论成立。

据此不难解释为何民间的轨道炮效率普遍不堪入目。
    我们代入一组参数。轨道电感梯度为0.5uH/m^2,使用330V,10000uF电容储能,即能量约为540J,内阻约为3~5mΩ,以5mΩ计(忽略其他部分的电阻),使用重1g的弹丸,从静止开始加速,则根据上式,算得效率为0.0675%,已经可以以ppm计了……
    但是如果把电容容量放大5倍,即50mF,那么此时电容储能约为2700J,内阻约为0.6~1mΩ,以1mΩ计(忽略其他部分电阻),其他条件相同的情况下,算得效率8.4%,相当可观。
    也就是说高储能下高效率将会更容易达到,但是高储能刚好是多数业余爱好者不会去搞的……这是民间轨道炮效率普遍不佳的一个很重要的原因。当然,除了提高储能还有好多办法去提高效率,从上面的式子来看,只要提高分子,减小分母就好了……即提高电感梯度,减小回路电阻,减小弹丸重量,和提供初速(这几项爱好者通常做得也不太好),这几项的具体实现方法与本帖主题无关,这里就不多言了。

[修改于 4 年前 - 2016-10-04 16:09:36]

来自:高压与强磁 / 电磁炮
 
2
虎哥
4年6个月前
1楼
储能增加的同时往往伴随着电源内阻减小,所以影响相当明显。
初速如果大到某个程度,效率似乎可以超过100%,这到底是哪个因素导致公式不适用?即为什么要效率接近于零时才适用,能不能推出效率较高时的计算公式。
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三水合番作者
4年6个月前
2楼
引用 虎哥:
储能增加的同时往往伴随着电源内阻减小,所以影响相当明显。
初速如果大到某个程度,效率似乎可以超过100%,这到底是哪个因素导致公式不适用?即为什么要效率接近于零时才适用,能不能推出效率较高时的计算公式……
的确有效率超100%的问题。因为顶楼的效率=动能/电阻损耗的能量。效率足够高的时候,动能可以超过电阻损耗,于是会效率超100%……
让效率=动能/(电阻损耗+动能),可以部分解决这个问题,但是会让公式显得很繁琐…而且效率高的时候,顶楼结论的部分前提条件(忽略电阻变化,忽略剩余磁能)无法满足,所以即使改成“效率=动能/(电阻损耗+动能)”,精度也会很差。所以干脆写成只适用于效率足够低时的简洁形式了。
如果能考虑到剩余磁能和电阻变化,就能推出效率较高时的计算公式,但是这两个东西用解析的方式不好算……数值分析倒是不错,不过那就不在这篇帖子的讨论范围了。
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三水合番作者
4年6个月前 修改于 4年5个月前
3楼
最近看到了一篇论文

attachment icon Efficiency and Scaling of Constant Inductance Gradient DC Electromagnetic Launchers.pdf 304.94KB PDF 96次下载 预览
挺经典的一篇,截至目前,被引用次数63,在轨道炮的圈子里相当高了。
里面就对轨道炮的效率进行了计算,和顶楼不同,他用出速,电阻和电感梯度表示的效率。不过和顶楼相同的是,他也假设了回路电阻不变,对于需要考虑电阻变化的情况,他是这样一笔带过的:“An average system resistance can be used in these cases.”感觉也不太严谨,不过解析方法也就能做到这里了……至少用来算效率极限还是可以的。
我也来把顶楼的式子改一下,来凑凑热闹吧 ( ’◡’)

从顶楼式(8)开始,沿另一条路推下去。

$$ E_k = \frac{1}{2}mv^2 $$
可以得到
$$ m = \frac{2E_k}{v^2} $$
设初速v0=0。将其代入顶楼式(7),同时把弹丸质量用上面的式子进行替换。可以得到
$$ \Delta E_k = E_k = \frac{v^2 {E_R}^2 L'^2}{16E_k R^2} $$
其中,L‘ = dL/dx,即电感梯度,表示还是这么写比较方便……
等式两边同时乘以Ek,然后同时开方,得到
$$ E_k = \frac{v {E_R} L'}{4 R} $$
然后就是求效率,和顶楼不同,这里我们不再认为Ek可忽略,但是我们依旧忽略剩余磁能,以及摩擦力的影响。因此,可以得到效率
$$\eta = \frac{E_k}{E_k+E_R} = \frac{1}{1+\frac{E_R}{E_k}} $$

$$\eta = \frac{1}{1+\frac{4R}{vL'}} $$
式中,R为回路电阻,v为弹丸出速,L‘为轨道电感梯度。
适用条件为,回路电阻保持恒定,不考虑除回路电阻损耗以外的其他损耗。
和上面那篇论文里得到的结论相同。
那篇论文里,还定义
$$ \sigma = \frac{4R}{L'} $$
\(\sigma\)称为特征速度,即达到50%效率所需要的最小速度。一个挺不错的定义 : )
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chubbyAgile
4年5个月前
4楼
bbcode 卡不懂
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zgchen
4年5个月前
5楼
make    !!!
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