磁阻式电磁炮的最优加速度分配

这篇帖子要解决的问题通俗的讲就是,我是把更多电容放在前面效率高,还是放在后面效率高。

首先把问题变成这个形式:对于一个磁阻式电磁炮,已知弹丸初速为v0,出速为v1(v1>v0)。总加速距离为x1(x1>0)。求如何分配各级的加速度,能使效率最高。

引入一个前提条件:整个系统的电阻损耗功率Pr和加速度a的平方成正比,且与其它变量(比如弹丸正在哪一级的哪个位置)无关,即$P_{r}=k\ a^{2}$

这个前提条件对应的实际情况大概是:弹丸始终在磁饱和状态下;分级足够精细,各级紧密相邻,且各级均带关断与能量回收。

结论是:若加速度$a=(C_{3}\ x+C_{4})^{\frac{1}{3}}$,则效率可能最高。其中C3和C4是和v0,v1,x1有关的常数。

求解过程如下:

以位移为零的时刻为时间起点,即$t|_{x=0}=0$,设位移为x1时,时间为t1(t1不是已知量)。设电阻损耗的总能量为$E_{r}$。则此问题可以描述为如下形式:

在满足固定边界条件$v|_{x=0}=v_{0},\ v|_{x=x_{1}}=v_{1}$的情况下,求函数v(x),使泛函$E_{r}[v(x)]=k\ \int_{0}^{t_{1}} a^{2}\mathrm{d}t$取极小值。

∵$v={\mathrm{d}x}/{\mathrm{d}t},\ a={\mathrm{d}v}/{\mathrm{d}t}$

∴$\mathrm{d}t={\mathrm{d}x}/{v},\ a=v\cdot {\mathrm{d}v}/{\mathrm{d}x}=v\cdot v^{\prime},\  (v^{\prime}={\mathrm{d}v}/{\mathrm{d}x})$

∴$E_{r}[v(x)]=k\int_{0}^{x_{1}}v{\cdot} v^{\prime2}\mathrm{d}x$

设$ G(x,v,v^{\prime})=v\cdot v^{\prime2} $

对于物理可实现的系统,$G(x,v,v^{\prime})$拥有连续的二阶偏导数

∴由欧拉—拉格朗日方程可知,Er取极值的必要条件是

$$G_{v}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}G_{v^{\prime}}=0$$

$$v^{\prime2}+2v{\cdot} v^{\prime\prime}=0$$

这是一个可降阶的二阶微分方程,可以求出

$$v^{\prime}=C_{0}v^{-\frac{1}{2}}$$

进而求出

$$v=(C_{1}x+C_{2})^{\frac{2}{3}}$$

代入边界条件可以求出C1,C2的值,求出的结果形式上比较复杂 ,mathematica给出的结果是这样的,里面可能有些解不符实际需要舍去

c1c2.jpg

求出v(x)后,可以很方便的求出加速度与位置的关系,即a(x)

$$a(x)=\frac{2}{3}C_{1}(C_{1}x+C_{2})^{\frac{1}{3}}=(C_{3}\ x+C_{4})^{\frac{1}{3}}$$

对于常见的初始速度为0的情况,易知C2=0,所以对于这种情况有

$$a=C_{5}\ x^{\frac{1}{3}}$$

所以初速为0时,若加速度与位置的三分之一次方成正比,则可能得到最高的效率。

至此求解完毕

然后说点闲话。记得我之前曾经发过一篇帖子说效率最高的是匀加速,当时没有发解法(当时本来是打算把另一个问题解决之后一起发出来的,后来发现另一个问题解不动……)结果前两天突然发现,我把当时的解法给忘了……然后又翻了一遍书重做了一遍,发现当时的结论不对,估计是边界条件给错了。当然这个也不保证对,毕竟欧拉方程只给出必要条件,是不是充分条件还要另求……而且关于位移,速度,加速度的那个部分我还有点迷糊……

[修改于 3 年前 - 2018-06-23 13:13:36]

来自:高压与强磁 / 电磁炮严肃内容:专著/论述
 
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952421214
3年5个月前
1楼

看不懂(´・_・`),等大佬铺好路摸着大佬过河。

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10班陈大葱22号
1年5个月前
2楼

楼主牛逼,数学基础真好

这么看来,在第一级就不需要放太多努力了,用细线把电感往高了放,后续的加速级则加粗线径把电感降低,是最合适的

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月下孤狼
1年5个月前
3楼

磁阻式在理论上比较美好,但是最大的问题是涡电流。目前所用的发射物都是高电导率的铁之类的,涡电流不能忽略,尤其是后面几级,通电时间很短,此时涡电流引起的排斥力会有负面效应。


基于“速度快了通电时间非常短(几十us~ms)”原则上,爱好者的条件下能实现高速的只有多级感应式。从目前能够获取的一些资料来看,实现超高速的线圈炮均为感应式(国外),因为只有感应式是直面“涡电流效应”。

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三水合番作者
1年5个月前
4楼

涡流不是啥大问题

磁阻炮即使有涡流,影响也不是特别显著。因为弹丸口径较小,电阻率也比铜铝这种高很多。所以弹丸时间常数很小,一般只有十几us级,就算速度到200m/s,也依然显著小于线圈电流脉冲的持续时间,所以涡流不会造成倍数级别的性能恶化。“你好,电磁炮”那本书上有考虑涡流和不考虑涡流的仿真对比,速度差距并不显著。

而且磁阻炮在原理上也不是必然产生涡流的。它产生电磁力,只需要弹丸两端有磁通量差,不需要弹丸上的磁场有波动。所以只要分级足够细密,就可以通过“减小磁场波动”的方式,来减小涡流。参考这篇帖子 https://www.kechuang.org/t/81534 在使用这种方案实现高速高效率的过程中,涡流的问题自然而然的就解决了,不是啥大问题

爱好者只有多级感应炮实现了高速,也不是因为它直面了涡流。只是因为感应炮的效率和加速度无关,可以靠堆储能的方式,大力出奇迹,用较少的级数达到高速,而不会让像磁阻炮那样让效率降到ppm级。

另外,涡流的问题和本文主题无关,有兴趣的话建议到这篇帖子下讨论 https://www.kechuang.org/t/81534


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Haha_dx11
2个月28天前
5楼
引用10班陈大葱22号发表于2楼的内容
楼主牛逼,数学基础真好这么看来,在第一级就不需要放太多努力了,用细线把电感往高了放,后续的加速级则加...

线圈的时间常数只和体积有关,不管是细线多匝还是粗线少匝,只要体积相仿,那放电时间就相仿。

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