一种特殊情况下磁阻式电磁炮的效率极限
通常,我们把效率定义为:弹丸的动能/消耗的电能。其中消耗的电能 = 弹丸的动能 + 其它的电能损耗。而其它的电能损耗,在电磁炮的应用条件下,其实只是电阻损耗。
这样我们就可以得到
$$ \eta = \frac{E_{k}}{E_{k}+E_{R}} \quad (1)$$为了简化计算,我们考虑一种特殊情况:使用恒定磁场对弹丸进行加速。
这种加速方式要求"以磁场中心为参考系,磁场的各种属性(强度、与空间分布)恒定不变",且"磁场与弹丸保持相对静止,磁场中心始终领先弹丸一段固定的距离"。(我们暂时不考虑如何实现这种神奇的磁场)

由于磁场的各种属性恒定不变且与弹丸相对静止。所以弹丸受电磁力也恒定。
而且由这篇帖子的思路可推知,磁场强度不变时,线圈的发热功率也恒定不变。
而且此时弹丸中的磁通无变化,故没有感应电流引起的排斥力的影响。
所以此时效率的计算变得非常简单。

注意这里没证明这种加速方式的效率最高。谁有兴趣的话可以试着证一证,或者求出理论效率最高的加速方式。不过可以肯定的是,磁阻式的效率极限大于等于上述加速方式的效率极限。
对于\(E_{k}\) ,由常识可知
$$E_{k}=Fx \quad (2)$$其中,F为线圈对弹丸产生的电磁力,x为加速距离。

对于 \(E_{R}\),考虑效率"极限"的话,由于电容内阻,以及开关,连线等的电阻可以通过各种技术手段优化到可忽略的程度,所以这里不考虑他们。此时回路电阻仅包括线圈电阻。即
$$E_{R} = I^{2}R_{D}t \quad (3)$$其中,I为线圈电流, \(R_{D}\)为驱动线圈电阻,t为加速时间。
由电磁力F和弹丸质量m,可以求出加速时间t。将其代入上式可以得到
$$E_{R} = I^{2}R_{D}\sqrt{\frac{2mx}{F}} \quad (4)$$所以效率η 可以表示为
$$\eta = \frac{1}{ 1 +  \frac{ I^{2}R_{D} \sqrt{2m} } { F\sqrt{Fx} }  } \quad (5)$$
如果我们认为那个常见的磁阻式模拟器是靠谱的,那么可以通过它求出上面的效率表达式中的各个参数。进而推出这种情况下的效率极限。

举个例子,使用0.7mm线绕制的内径6mm,外径16.5mm,长10mm的线圈,其电阻为约为153mΩ,在直径5mm,长12mm,重1.86g的弹丸上产生17.7N的电磁力,需要79A的电流。此时可以在52cm的加速距离内,将弹丸加速到100m/s。将上面提到的各量代入式(5)。可以算得效率极限为48%。

铁磁体严重磁饱和后,磁化强度与外加磁场几乎无关。此时,加速力正比于驱动线圈电流。即
$$ F=kI $$ 也可以表示为 $$ I=\frac{F}{k} $$将其代入式(5),可以得到
$$\eta = \frac{1}{ 1 +  \frac{ R_{D} }{ k^{2} } \sqrt{ \frac{ 2Fm }{ x } }  } \quad (6)$$这里,加速力F可以用速度v,初速度\(v_{0}\),加速距离x,弹丸质量m表示。即
$$\eta = \frac{1}{ 1 +  \frac{ mR_{D} }{ k^{2}x } \sqrt{v^{2}-{v_{0}}^{2}}  } \quad (7)$$当初速度为0时,上式简化为
$$\eta = \frac{1}{ 1 +  \frac{ mvR_{D} }{ k^{2}x } } \quad (8)$$式中,m为弹丸质量;v为弹丸出速度;\(R_{D}\)为线圈电阻;k为一比例系数,表示产生线圈对弹丸加速力与线圈电流的比值;x为加速距离。
注意,上式的适用条件非常苛刻,最主要的要求是“那个常见的磁阻式模拟器是靠谱的”……还要求满足开篇提到的特殊情况,即"使用恒定磁场对弹丸进行加速",同时,还要求弹丸磁化强度恒定,忽略摩擦等阻力。所以,这里的效率只是这种特殊情况下的效率极限。

代入前面那个例子里的数据,把式(8)画成图像。得到这种情况下的弹丸速度-效率曲线。
效率极限.jpg 此图为,这种特殊情况下,使用内径6mm,外径16.5mm,长10mm的线圈,将在直径5mm,长12mm,重1.86g的弹丸,在52cm内,加速到该速度时的效率极限。最优化的磁阻式,效率大于等于此值。

可以看出,即使在半米的距离上,将小口径弹丸加速到200m/s,磁阻式的效率极限也将比目前常见的效率高出一个数量级。
看起来,磁阻式还是前途无量的。

[修改于 4 年前 - 2017-12-09 18:13:21]

+1  学术分    虎哥   2016-11-16   长期从事电磁枪理论推导,为相关爱好者提供基础研制依据。
来自:高压与强磁 / 电磁炮
 
随天
5年0个月前 修改于 5年0个月前
1楼
楼主可否把(2)公式里的X写大一点………刚看的时候还以为是角标
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虎哥
5年0个月前
2楼
引用 随天:
楼主可否把(2)公式里的X写大一点………刚看的时候还以为是角标
我这里看没问题,如果您看到字符很小,建议截图发到管理中心版的反馈帖https://www.kechuang.org/t/79229 ,并提供浏览器的型号和版本。

“最优化的磁阻式,效率大于等于此值”希望讲解一下为什么不是小于计算值。
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三水合番作者
5年0个月前 修改于 5年0个月前
3楼
引用 虎哥:
我这里看没问题,如果您看到字符很小,建议截图发到管理中心版的反馈帖https://www.kechuang.org/t/79229 ,并提供浏览器的型号和版本。

“最优化的磁阻……
这里的“最优“指的是理论上的最优,不是工程上的最优……所以如果这种特殊情况是理论最优的话,就是等于,如果它不是理论最优的话,就是大于。
(第一个学术分,开心\(^o^)/ )
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rb-sama
5年0个月前
4楼
楼主推导得很不错。
最后的(8)式将分子分母同乘Fx ,最右下角一项就能变成实际的电阻损耗能量。
ー> I*m*V*Rd/k
挺尴尬的,I越大,损耗越大。意味着电流无穷接近于0时损耗最小。
m也是如此,则能量难保证。v 也是如此。
而这个模型的最优解是无限长枪管+无穷接近于0电流加速质量接近于0的物体效率勉强接近1。
不过这也很符合磁阻的感性认知。
楼主可以试着推导一下效率与磁场保持弹丸距离的相关性问题。
以及把v拆分开来推导与电流等的相关性,如果有二次函数出现,也许能找到奇点。
也就是最优解了,有工程价值。
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心亦文雨
4年11个月前
5楼
真是巧了,最近正在设计这类加速装置,取名“乘波加速器”,像冲浪一样。
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