公式清晰明了
由于上期文章赶稿急促,排版不满足一般文章要求,在此向大家致歉,后续会注意相关情况。
本篇将接续上篇内容,从火箭运动方程进而分析刚体稳定性
绪论
正如上节所述,火箭运动方程由刚体、晃动、弹性振动运动方程组成。三种运动都对火箭稳定飞行产生不可忽视的影响。然而,为了描述清晰与讨论方便,首先讨论火箭刚体稳定性。 俯仰、偏航、滚动三个通道的稳定分析方法基本相同。因此,以俯仰通道为例讨论其稳定性。
根据推导结果:
\begin{array}{l}
\Delta \dot{\theta}= c_{1} \Delta \alpha+c_{2} \Delta \theta+c_{3} \Delta \delta_{\varphi}+c_{3}^{\prime \prime} \Delta \ddot{\delta}_{\varphi} \\
+c_{1}^{\prime} \sum_{k} \alpha_{W_{k}}+\bar{F}_{y} \\
\Delta \ddot{\varphi}+b_{1} \Delta \dot{\varphi}+b_{2} \Delta \alpha+b_{3} \Delta \delta_{\varphi}+b_{3}^{\prime \prime} \Delta \ddot{\delta}_{\varphi} \\
=- b_{2} \sum_{k} \alpha_{w_{k}}-\bar{M}_{z} \\
\Delta \varphi= \Delta \theta+\Delta \alpha \\
(k=P, Q, G)
\end{array}
无控火箭飞行姿态稳定性分析
对于无控火箭,设初试姿态为零,对上式进行拉普拉斯变换,可导出:
\begin{array}{c} \left\{s^{3}+\left(b_{1}+c_{1}-c_{2}\right) s^{2}+\left[b_{2}+b_{1}\left(c_{1}-c_{2}\right)\right] s-b_{2} c_{2}\right\} \Delta \varphi \\ =b_{1} c^{\prime} \sum_{k} \sum_{W_{k}}+\left(s+c_{1}-c_{2}\right)\left[-b_{2} \sum_{k} \alpha_{W_{k}}-\bar{M}_{z}\right] \end{array}
显然,无控火箭的角运动特征方程为
\begin{eqnarray} M(s) & = & s^{3}+(b_{1}+c _{1}-c_{2})s^{2}+[b_{2}+b_{1}(c_{1}-c_{2}]s-b_{2}c_{2} \end{eqnarray}
(1)静不稳定火箭
火箭的稳定性与所讨论的飞行时刻(又称特征秒)有关.以起飞时刻,负b2最大时刻、真空时刻为特征秒讨论其稳定性。
1)起飞时刻
大量计算表明,M(s)可分解为如下形式:
\begin{eqnarray} M(s) \approx (s+c_{1}-c_{2})[s^{2} +2\zeta \omega s+\omega ^{2} ] 其中 \omega & = & [-b_{2}c_{2}/(c_{1}-c_{2})]^{\frac{1}{2} } 并且 \zeta \omega & = & b_{2}c_{1}/2(c_{1}-c_{2})^{2}< 0 \end{eqnarray}
显然有一对实部为正的复根。因此,火箭姿态将震荡发散。
2)负b2最大时刻
从特征方程的分布来看
\begin{eqnarray} M(s) \approx (s-c_{2})(s-\sqrt{\left | b_{2} \right | } )(s+\sqrt{\left | b_{2} \right | } ) \end{eqnarray}
表明特征方程有两个正实根,因为b2的值很大,所以火箭姿态会迅速发散。
3)真空飞行段
在真空飞行段,火箭动压头为零,所以
\begin{eqnarray} M(s) & = & (s+c_{1}-c_{2})s^{2} \end{eqnarray}
显然有两个零跟,理论上讲,火箭处于临界稳定。但是由于结构安饶的存在,火箭还是会迅速发散。
(2)静稳定火箭
对于静稳定火箭,b2大于零,继续讨论三个特征下的发散情况
1)起飞时刻
\begin{eqnarray} M(s) & = & (s+c_{1}-c_{2})(s+A_{1} )(s+A_{2} ) 其中 A_{1} & = & b_{2}c_{1}/[2(c_{1}-c_{2})^{2} ]+[b_{2}c_{2}/(c_{1}-c_{2})]^{\frac{1}{2} } 并且 A_{2} & = & b_{2}c_{1}/[2(c_{1}-c_{2})^{2} ]-[b_{2}c_{2}/(c_{1}-c_{2})]^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray}
说明火箭单调发散
2)b2最大时刻
\begin{eqnarray} M(s) \approx (s-c_{2})[s^{2} +b_{1} s+b_{2} ] \end{eqnarray}
可见有一个正实根c2,在这一阶段火箭将缓慢单调发散。
3)真空飞行段
\begin{eqnarray} M(s) & = & (s+c_{1} -c_{2})s^{2} \end{eqnarray}
与静不稳定火箭一样,飞行姿态将在干扰下单调发散
3.结论
通过本节讨论可见,无论是静稳定火箭还是静不稳定火箭,当无姿态控制时,它们的飞行姿态都是不稳定的。但是,静稳定火箭发散得较慢,静不稳定火箭发散得较快,尤其是在负b2最大时刻,发散得更快。由于静稳定火箭发散得较慢,所以,有的近程战术火箭可以是无控的。
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下节将介绍姿态稳定方案及其稳定性分析
[修改于 1年9个月前 - 2023/03/06 19:14:54]
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