由于上期文章赶稿急促，排版不满足一般文章要求，在此向大家致歉，后续会注意相关情况。

本篇将接续上篇内容，从火箭运动方程进而分析刚体稳定性

1. 绪论

   正如上节所述,火箭运动方程由刚体、晃动、弹性振动运动方程组成。三种运动都对火箭稳定飞行产生不可忽视的影响。然而,为了描述清晰与讨论方便，首先讨论火箭刚体稳定性。 俯仰、偏航、滚动三个通道的稳定分析方法基本相同。因此，以俯仰通道为例讨论其稳定性。

   根据推导结果：

   \begin{array}{l} \Delta \dot{\theta}= c_{1} \Delta \alpha+c_{2} \Delta \theta+c_{3} \Delta \delta_{\varphi}+c_{3}^{\prime \prime} \Delta \ddot{\delta}_{\varphi} \\ +c_{1}^{\prime} \sum_{k} \alpha_{W_{k}}+\bar{F}_{y} \\ \Delta \ddot{\varphi}+b_{1} \Delta \dot{\varphi}+b_{2} \Delta \alpha+b_{3} \Delta \delta_{\varphi}+b_{3}^{\prime \prime} \Delta \ddot{\delta}_{\varphi} \\ =- b_{2} \sum_{k} \alpha_{w_{k}}-\bar{M}_{z} \\ \Delta \varphi= \Delta \theta+\Delta \alpha \\ (k=P, Q, G) \end{array}
   

2. 无控火箭飞行姿态稳定性分析

   对于无控火箭，设初试姿态为零，对上式进行拉普拉斯变换，可导出：

   \begin{array}{c} \left\{s^{3}+\left(b_{1}+c_{1}-c_{2}\right) s^{2}+\left[b_{2}+b_{1}\left(c_{1}-c_{2}\right)\right] s-b_{2} c_{2}\right\} \Delta \varphi \\ =b_{1} c^{\prime} \sum_{k} \sum_{W_{k}}+\left(s+c_{1}-c_{2}\right)\left[-b_{2} \sum_{k} \alpha_{W_{k}}-\bar{M}_{z}\right] \end{array}

   显然，无控火箭的角运动特征方程为

   \begin{eqnarray} M(s) & = & s^{3}+(b_{1}+c _{1}-c_{2})s^{2}+[b_{2}+b_{1}(c_{1}-c_{2}]s-b_{2}c_{2} \end{eqnarray}

   （1）静不稳定火箭

   火箭的稳定性与所讨论的飞行时刻(又称特征秒）有关．以起飞时刻，负b2最大时刻、真空时刻为特征秒讨论其稳定性。

   1）起飞时刻

   大量计算表明，M（s）可分解为如下形式：

   \begin{eqnarray} M(s) \approx  (s+c_{1}-c_{2})[s^{2} +2\zeta \omega s+\omega ^{2} ] 其中 \omega & = & [-b_{2}c_{2}/(c_{1}-c_{2})]^{\frac{1}{2} } 并且 \zeta \omega & = & b_{2}c_{1}/2(c_{1}-c_{2})^{2}<  0 \end{eqnarray}

   显然有一对实部为正的复根。因此，火箭姿态将震荡发散。

   2）负b2最大时刻

   从特征方程的分布来看

   \begin{eqnarray} M(s) \approx  (s-c_{2})(s-\sqrt{\left | b_{2} \right | } )(s+\sqrt{\left | b_{2} \right | } ) \end{eqnarray}

   表明特征方程有两个正实根，因为b2的值很大，所以火箭姿态会迅速发散。

   3）真空飞行段

   在真空飞行段，火箭动压头为零，所以

   \begin{eqnarray} M(s) & = & (s+c_{1}-c_{2})s^{2} \end{eqnarray}

   显然有两个零跟，理论上讲，火箭处于临界稳定。但是由于结构安饶的存在，火箭还是会迅速发散。

   （2）静稳定火箭

   对于静稳定火箭，b2大于零，继续讨论三个特征下的发散情况

   1）起飞时刻

   \begin{eqnarray} M(s) & = &  (s+c_{1}-c_{2})(s+A_{1} )(s+A_{2} ) 其中 A_{1} & = & b_{2}c_{1}/[2(c_{1}-c_{2})^{2} ]+[b_{2}c_{2}/(c_{1}-c_{2})]^{\frac{1}{2} } 并且 A_{2} & = & b_{2}c_{1}/[2(c_{1}-c_{2})^{2} ]-[b_{2}c_{2}/(c_{1}-c_{2})]^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray}

   说明火箭单调发散

   2）b2最大时刻

   \begin{eqnarray} M(s)  \approx (s-c_{2})[s^{2} +b_{1} s+b_{2} ] \end{eqnarray}

   可见有一个正实根c2，在这一阶段火箭将缓慢单调发散。

   3）真空飞行段

   \begin{eqnarray} M(s) & = & (s+c_{1} -c_{2})s^{2} \end{eqnarray}

   与静不稳定火箭一样，飞行姿态将在干扰下单调发散

3.结论

     通过本节讨论可见,无论是静稳定火箭还是静不稳定火箭，当无姿态控制时，它们的飞行姿态都是不稳定的。但是，静稳定火箭发散得较慢，静不稳定火箭发散得较快，尤其是在负b2最大时刻,发散得更快。由于静稳定火箭发散得较慢，所以，有的近程战术火箭可以是无控的。

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下节将介绍姿态稳定方案及其稳定性分析