尝试在这里发点自己在知乎上写（过）的东西，在科创平台上也转一些，物理中碰到的有意思的问题和自己的思考

声明：文章中包含自己错误的思路以及对其的一步步改正，有些错误有点唐请见谅

在考试中碰到的一道题，原文是：

频率为$\nu$光在相对地系流速为$\nu$的折射率为$n$的水中传播，从A地传播到B地，二者在地系中间隔长度为$L$，求流动的水对光波的附加相位差$\mathrm{\Delta }$。

想想该怎么做

此题背景来源于斐索实验，目的是测量流水对光的拖拽效应，标准做法如下：

使用相对论速度变换，则在地系观测的光速为$v_d=\frac{\beta c+\frac{c}{n}}{1+\beta \frac{1}{n}}=\frac{1+\beta n}{n+\beta }c$

因此在地系测量到的光走的时间为$t=\frac{L}{c}\frac{n+\beta }{1+\beta n}$

在这段时间内光源改变的相位${\mathrm{\Delta }}^{{}^{\prime }}=\frac{n+\beta }{1+n\beta }\frac{2\pi \nu L}{c}$

原本光的相位差显然等于${\mathrm{\Delta }}_0=\frac{2\pi n\nu L}{c}$

二者相减，得到$\mathrm{\Delta }=\frac{2\pi \nu L}{c}\frac{(1-n^2)\beta }{1+n\beta }$

上面的方法看起来似乎很简单和正确，不过我考试的时候选择了另一种计算方式（相信很多人第一次碰到都会用这种）

变换到水的参考系${\mathrm{\Sigma }}^{{}^{\prime }}$中，那么此时根据多普勒变换可以知道${\nu }^{\prime }=\sqrt{\frac{1-\beta }{1+\beta }}\nu$

在水的视角中，就是A地和B地在以$v$的速度向左运动，那么$t^{\prime }=\frac{L}{\frac{c}{n}+\beta c}=\frac{L}{c}\frac{n}{1+\beta n}$

由于相位是一个洛伦兹不变量，因此$\mathrm{\Delta }\varphi =\mathrm{\Delta }{\varphi }^{\prime }=\frac{2\pi \nu L}{c}\frac{n}{1+\beta n}\sqrt{\frac{1-\beta }{1+\beta }}$

为何和上面不一样？

Try#1：尺缩效应？

在另一个参考系中，此时AB两地之间的距离也会跟着收缩，我没考虑这个效应

尝试补上这个效应：把$L$改为$\frac{L}{\gamma }$

带入，化简，$\mathrm{\Delta }\varphi =\frac{2\pi \nu nL}{c}\frac{1-\beta }{1+n\beta }$，还是不对

并且我们甚至可以发现，当n等于1的时候原式子等于$\frac{2\pi \nu L}{c}\frac{1-\beta }{1+\beta }$，意味着我们在真空中换了一个参考系，得出了两个不同的相位差！这一定是有哪里出了问题

Try#2：什么是相位差？

我们不妨回归原本，想一想什么是相位差，相位差是光子出发的事件和到达的事件之间的总相位变化量吗？

仔细想一想，一定不是，因为相位是$(\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{x}-\omega t)$，而光子出发和到达事件一定是由光速联系着的，因此这个相位差是0

相位差的真正定义应该是对于“在某个参考系中，同时发生在不同地方的两个事件，他们在这一时刻相位的差值”，写成四维矢量的形式，就是$\mathrm{\Delta }\varphi =\overrightarrow{k^{\mu }}\cdot \mathrm{\Delta }\overrightarrow{x^{\mu }}$，其中$\overrightarrow{k^{\mu }}=(\overrightarrow{k},i\frac{\omega }{c})$，Δx是两个四维事件坐标的差值。而我们知道，两个四维矢量的内积是个洛伦兹不变量，因此保证了相位差是个洛伦兹不变量。因此上面的计算不正确的原因在于：在一个参考系中“同时”的事件在另一个参考系中并非“同时”

那么对于这个情景，相位差应该如何计算呢？我们可以选择地系中$\overrightarrow{k^{\mu }}\cdot \mathrm{\Delta }\overrightarrow{x^{\mu }}$来计算，也可以选择水系中的$\overrightarrow{k^{\mu }}\cdot \mathrm{\Delta }\overrightarrow{x^{\mu }}$来计算，经过一番斟酌我们决定使用地系来计算比较简便。

在地系下，我们选取两个事件$A=(c{t}_{arrive},0)$，$B=(c{t}_{arrive},L)$，注意这里的A一定不是发射事件，不然相位差就是0了。

显然$\overrightarrow{k^{\mu }}\cdot \mathrm{\Delta }\overrightarrow{x^{\mu }}$此时等于$kL$，因此只需要计算电磁波波矢$k$即可，那么如何计算？

想到利用相对论矩阵变换来计算，水系中的$k$好求，不妨在水系中求出后变换回地系。

由洛伦兹变换，有：$\left(\begin{array}{l}k\\ \frac{\omega }{c}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lr}\gamma & \gamma \beta \\ \gamma \beta & \gamma \end{array}\right)\left(\begin{array}{}{k}^{\prime }\\ \frac{{\omega }^{\prime }}{c}\end{array}\right)$

在水系中由相对论多普勒变换可知${\omega }^{\prime }=\sqrt{\frac{1-\beta }{1+\beta }}\omega$

在水系中一定有$\frac{k^{\prime }}{{\omega }^{\prime }}=\frac{n}{c}$

代入，一通解方程，得到：$\mathrm{\Delta }\varphi =\frac{2\pi \nu L}{c}\frac{n+\beta }{1+\beta }$，为何还是不对...

Try#3：也许多普勒变换有问题？

上面的矩阵方程同样能解出$\frac{\omega }{c}$，带进去解一下，神奇的发现竟然不是原本的$\omega$了，难道不能用多普勒？

不能用多普勒照样能解，只需要联立这几个一定成立的方程：

$\left(\begin{array}{l}k\\ \frac{\omega }{c}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lr}\gamma & \gamma \beta \\ \gamma \beta & \gamma \end{array}\right)\left(\begin{array}{}{k}^{\prime }\\ \frac{{\omega }^{\prime }}{c}\end{array}\right)$

$\frac{k^{\prime }}{{\omega }^{\prime }}=\frac{n}{c}$

$\omega =2\pi \nu$

带进去解一下，终于得到了正确答案：$\mathrm{\Delta }\varphi =\frac{n+\beta }{1+n\beta }\frac{2\pi \nu L}{c}$

Try#4：反思，为什么这时多普勒不能用了？

我第一次求解的时候果断用了多普勒是因为我假想了光在射出光源的时候先经过了一段极小的真空，那么在这段真空中即可运用多普勒，而在介质系中看来折射后的频率显然是不会变的，故在介质中的频率就应该等于直接使用多普勒的结果。这个假想和上面似乎矛盾，这是为什么？难道无穷小的真空真的会改变光的频率吗？

再仔细想想“频率”究竟是什么，频率其实只是一个测量量，在真空中的频率和在介质中的频率发生突变是合理的，因为此处折射率发生突变，也就是说其实测量到的频率并非反映了光源的固有性质！而是与光源所处的介质环境及介质的流动速度有关。比如这样做一个假象实验，一个静止光源在真空中的本征频率为$\nu$，如果其四周有流速为$v$的介质，那么观测者所测量到的频率和本征频率是不相同的

至于应该怎么具体假设一个光源的发光效应（比如原子跃迁），并在此效应下具体解释频率变化的机制，我不太会，希望能有佬给出详细推导