一道初中物理题,求圆满解释
虎哥 2011-11-17物理
如图,一个轻质、弹性杆A,一端固定在一个足够牢固的基座上。

如果向另一端施加一个力f,这个杆子会产生一个弹性形变(向下弯曲,比如弯曲2mm)。

A.gif



用螺栓在A杆一端连接一根加长杆B,B的特点是轻质,且刚性,B的长度和A相同。

如果给B杆的另一端施加相同的力f,请问A杆的型变量是多少?

B.gif



如果在A杆一端连接B杆时,方向与A杆相反,只不过为了避免两个杆子帖在一起,在中间垫有刚性轻质物体C。在B杆一端也施加力f,请问A杆型变量是多少?

  
C.gif


忽略A杆螺栓处的局部变形。
+200  科创币    hambaby   2012-01-27   提出好的论题
+1  科创币    五成熟的牛排   2012-04-01   初、初中?!!我们初中只学了“力能使物体形变”……至于形变量完全没提过啊
+1  科创币    飞线大师   2012-04-06   不是初中,我初三,根本没见过
+1  科创币    浴血前锋   2013-10-25   这是要用材质的挠曲系数算的
来自 物理
 
5
2011-11-17 16:51:58
1楼
对于第一题..如果完全理想化.忽略所有螺栓连接的宽度之类的...
简化如下图.
910_20e51321518881b50d196ac927cf6.gif



对于此题而言.只需要计算力矩即可..设长度为L
不连接B杆情况下.力矩为fxL/2
连接B杆以后.力矩为..fx3L/2
即变形量为原来的三倍.

同理,第二题,力矩大小为fxL/2 变形量不变.但是显然方向是反的,

C可能有厚度,但是可以证明C的厚度对结果无影响..

所有计算都基于力矩转轴在A杆的中点X,且不变的情况下.也许这个情况根本就是错误的,或者根本计算全错了..还请各位大侠指正.

PS..这真的是初中...?  我中学全部白念了....
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2楼
二图,A杆未端下沉4MM。
三图,A杆未端上升2MM。

不知错了没有。
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3楼
向下4mm和2mm
这是初中的吗[s:241]
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4楼
请问B杆的重力是否可无视?
话说这应该是高一的,我们正在教……
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5楼
回 1楼(wjwj1234xx) 的帖子
这个俺以为力矩轴应该在基座处?第一种情况得出的结论是变形量4mm。

第二种情况变形是一毫米向下。
~~~~~~~~[s:275]
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6楼
有点不妥 再想想 不好意思
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7楼
回 5楼(samhrc) 的帖子
如果力矩轴在端点的话.第一题的结论就是变形量翻倍..第二题就应该是端点完全无下垂,因为力矩此时为0,但是以连接点为转轴考虑的话.实际上相当于A杆中点受一个大小为2F的力,更接近于6L的结论,且中点下垂也是2MM
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8楼
上面说错了 现在正在翻书 不好意思
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9楼
这是一个培养空间想象能力的题 能够难倒大学生 我的答案是全都弯曲2mm不变
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10楼
这初中????我初中咋没见过啊。。。。。。。
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虎哥(作者)
11楼
初中物理没见过说明初中读的死书,杠杆、弹簧都是初中学的。
不过俺虽然高中毕业了,还是不会做这道题,怎么办啊
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12楼
9楼正解
            文字补丁。exe
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13楼
坐等力学达人给一个完美的.详细的推论过程和结果...

这题目要是考虑了支座宽度.螺栓连接那边搭接的错位.板厚之类的...还真不是初中能玩的转的..奥林匹克或许可以...
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2011-11-18 00:30:05
14楼
这起码高中吧?全部2MM
首先,我们把整个系统看成一个整体,其处于平衡状态,受到向下的 重力 压力f ,受到向上的桌面弹力,并且重力+f=桌面弹力
此时,连接部分和杆重量为0
再来分析底座,无论怎么连接,始终受到向下的重力,f,桌面弹力
因为底座受到的f不变,而A的劲度系数又不变,推知A形变始终为2MM
以上
+100  科创币    虎哥   2011-12-14   答案和实验相符,但是解释貌似不够明朗。
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15楼
我的分析上半部分无用
整体思路就是整体分析与部分分析结合,先分析系统,只看合外力,不分析内力,然后再分部分分析(比如底座),得出结论
BTW,只分析底座也是可行的
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16楼
这应该是高中奥赛中简单级别的了吧……
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17楼
谁用工程软件仿真实验一下好了_
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18楼
忽略A杆螺栓处的局部变形。且b、c均为纯刚性体的话,变形量均为2mm,
a杆顶端受力情况可以看做是一个向下的力f和一个力矩的合力,力矩不会产生变形,f产生的变形为2mm,加起来为2mm
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19楼
这么简单的问题,竟然要讨论。有意思。

关键在,单位长度单位力量的形变是固定的。杆子上所有点的受力是一样的。

所以不管在哪里点施一定的力,A点的形变是固定的, 在此题目中,是2mm.

这和杠杆一点关系都没有。所有搞错的人,都被图形迷惑得以为是杠杆的问题了。
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20楼
的确是初中物理竞赛的题目
换当年初中的俺去求解,直接忽略A杆以及基座部分劳什子的物理存在,只将A杆右端点等效看成空间中的一个不计尺寸的弹簧秤。

经过简化问题以后,3种情况下,『弹簧秤』的读数相同,均为f。

推论,A杆的形变在3种情况下相同。
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2011-11-27 16:40:50
2011-11-27 16:40:50
21楼
话说是单位长度单位力量的形变是固定的,还是单位长度单位力矩的形变是固定的?
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22楼
知识点确实是初中的没有错,我记得很清楚。不过难度……
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23楼
受力分析高一的我们正在学!
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24楼
回 9楼(实事求是) 的帖子
我也你的同意观点
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25楼
而且,向下弯曲说明有位移,力f有做功,轻质杆说明功只能转化为弹性势能。如果作用于端点B,力f的位移应该更大,做功应该更多,如果A的形变不变,弹性势能不变,多出的功哪去了?
再者说,这道题似乎是讨论力的作用点的变动,把整个系统等效成一个点是不是本质上忽略了力的作用点变动了这一事实?相当于问力的作用点变了会有什么情况,回答却是力的作用点不会变也不可能变,所以如何如何,有点答非所问呢...
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2011-11-28 22:26:26
2011-11-28 22:26:26
26楼
我就是 9楼(实事求是)   这么多人拥护我的答案可是还是被冻结了 唉 上哪去说理去呢
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2011-12-01 00:47:50
2011-12-1 00:47:50
27楼
根据精密计算,,,

二图,延长杆,A杆未端下沉4MM。
三图,转折杆,A杆未端下沉2MM。

猜一个吧,,呵呵。。。
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2011-12-14 04:08:40
2011-12-14 04:08:40
28楼
这个是很纠结的  不同人有不同人的算法 找物理学家研究一下
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2012-01-17 11:09:06
2012-1-17 11:09:06
29楼
假设螺栓连接区域长度占杆总长很小,并且螺栓连接区域足够坚固。
那么情景一:变形3倍,即6mm。
情景二:变形1倍,即2mm。
具体推演过程需要图来讲解,现在不方便。
欢迎有人实验验证我的说法。有个百分表之类的就行。
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30楼
拿 情景一 和 参考情景 对比下:
参考情景 下,板子左边扭转力矩设为T,线性降到A点的0。
情景一 下,左边扭转力矩为2T,线性降到A点的T。
总变形正比于扭转力矩沿长度的积分。
参考情景 积分值为T*L/2。L为杆长。
情景一 积分值为3TL/2。故 情景一 的变形是 参考情景 的3倍。
情景二,只要上下颠倒着来分析就行了。就是说,假设左上角做锚接固定(就是说,位置固定,但旋转自由),往上压左下角。此时下面杆的受力情形是与 参考情景 一样的。
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31楼
我觉得此题条件不充分

11.JPG


1、如图,应该考虑到
A与基座连接部分的长度,以及A与B连接部分的长度

12.JPG


2、如图,A的形变是整体弯曲,还是仅在与基座的接触点处弯曲?

22.JPG


3、第二题会发生怎样的形变?有无如上图形变的可能?
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2012-01-27 13:35:46
2012-1-27 13:35:46
32楼
一直没有时间,今天终于抽空实验了一下,顺便也给我自己解惑。
材料:白钢车刀板,杠杆百分表,50克砝码,卷尺,磁力表座,铣床工作台,铣床压板。就是如下图中的各个物件,抱歉工作台比较乱,请自行寻找各物。
将表针打在钢板伸出部分的1/2处,以模拟两个钢板相接。
图看不大清楚,给解释下。
第一图是实验配置。
第二图是百分表调零。
第三图是中间放砝码,百分表动10格。
第四图是末端放砝码,百分表动26格。
第五图是顺便水一下我的机械学实验室。[s:274]
IMG_20120127_132648.jpg

IMG_20120127_132519.jpg

IMG_20120127_132541.jpg

IMG_20120127_132438.jpg

IMG_20120127_132450.jpg

+200  科创币    hambaby   2012-01-27   理论联系实践
+200  科创币    虎哥   2012-01-30   实践要赞扬
+15  科创币    天一阁楼   2013-10-25   感谢分享
+50  科创币    猎鹰   2013-10-25   实验分
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33楼
结果有点意思,放在末端比起放在中间,变形量是2.5倍。当然,实验不是很精确。
刚才又用悬吊大 法而不用摆放大 法来加砝码;为了减少误差,砝码重量也增加了,结果仍然是2.5倍左右(68/28=2.43)。
请大家思考之。
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34楼
引用第33楼yearn3guns于2012-01-27 13:37发表的 :
结果有点意思,放在末端比起放在中间,变形量是2.5倍。当然,实验不是很精确。
刚才又用悬吊大 法而不用摆放大 法来加砝码;为了减少误差,砝码重量也增加了,结果仍然是2.5倍左右(68/28=2.43)。
请大家思考之。  


请注意您的实践器材中与楼主原始命题显著不同之处:命题中延长杆B为刚性杆,模拟实验中延长杆(百分表测量点到杆的自由端)为弹性杆。
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35楼
确实,题目和我的实验中,B杆不一样。但是,感觉,只要变形不是很大,那么B杆基本上处于水平状态,则B杆的变形对A杆的影响应该不大。
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36楼
这个题目的难度应该不止初中,当然不排除极度聪颖的初中生能够解决。
今天下午试验测试是2.5倍。
今晚我从理论上推演了下,发觉果然就是2.5倍。
推演过程和我几天前那个回帖类似。
拿出我前几天的推演,
“拿 情景一 和 参考情景 对比下:
参考情景 下,板子左边扭转力矩设为T,线性降到A点的0。
情景一 下,左边扭转力矩为2T,线性降到A点的T。
总变形正比于扭转力矩沿长度的积分。参考情景 积分值为T*L/2。L为杆长。
情景一 积分值为3TL/2。故 情景一 的变形是 参考情景 的3倍。

从红色这句话开始,就错了。
因为杆的变形是从左到右逐渐扭转变形,同样的局部扭转角度,发生扭转的位置 距离 测量点 越远,带来的位移会越大。所以,对测量点的位移的贡献,应该是
(本地的扭转力矩)*(本地与测量点的距离) 这个乘积沿着杆的积分。
按照这个积分,我自制了个excel表格,采用数值计算的方法,把A杆分成了20段,分别计算每段受到的扭转力矩,扭转角,对测量点的位移的贡献,以及所有段的贡献的和。
结果完美地与实验符合。2.5倍。
当然,大家也可做两个简单的定积分来解决这个问题。我是工作很久了,偷懒用工具了。
科创上的弹性杆形变问题.jpg

编辑:图比较大,右边没有显示出来,请单独点击打开这个图来看。
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37楼
上传原始计算表格,供大家参考
科创虎哥的弹性杆变形问题.rar
3.00k
RAR
0次下载

上传思考时用的模型,供有兴趣的童鞋构造积分公式
科创上的弹性杆形变问题2.jpg
+200  科创币    虎哥   2012-01-30   赞扬
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38楼
1.jpg
2.jpg
3.jpg
  

分别对应第一种第二种第三种情况。

材料45#,属性见下图。直径10mm,长度200mm。末端固定约束,另一端加竖直向下载荷20N。
12.jpg


谁有空可以用上面的材料属性算一下,是不是对的。
+200  科创币    虎哥   2012-01-30   也很详细。
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39楼
有限元结果第一种情况是0.5194mm,第二种情况是1.299mm,第三种情况是0.2601mm。

1.299/0.5194=2.501

0.5194/0.2601=1.997

换算下来差不多就是:如果第一种情况是  下降2mm,第二种就下降5mm,第三种下降1mm。


和某人用理论算的差不多。
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2012-01-28 10:58:44
40楼
OK,楼上你的仿真与我的实验和计算符合,都是2.5倍。
所以我也相信最后一个仿真,即把B杆折回去那个实验是0.5倍没问题了。
话说能否给介绍下您的有限元软件,我好拿来练习练习?
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2012-01-29 19:42:08
2012-1-29 19:42:08
41楼
回 40楼(yearn3guns) 的帖子
SOLIDWORKS 不是很专业的有限元,但是比较简单易学。
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42楼
引用第14楼乖wall于2011-11-18 00:30发表的  :
这起码高中吧?全部2MM
首先,我们把整个系统看成一个整体,其处于平衡状态,受到向下的 重力 压力f ,受到向上的桌面弹力,并且重力+f=桌面弹力
此时,连接部分和杆重量为0
再来分析底座,无论怎么连接,始终受到向下的重力,f,桌面弹力
因为底座受到的f不变,而A的劲度系数又不变,推知A形变始终为2MM
.......



32楼的兄弟的实验与题意有点出入,
因为题目中是假设的延长部分是"长度为L的刚性杆"
因此这部分是没有弹性型变的...

而从照片上看,32楼兄弟用的应该是均质白钢条,前半段和后半段有相同的弹性系数...
因此您的计算结果也不一定符合题目的假设,
但很符合客观实际...

而对于38楼兄弟的有限元分析,我不清楚图中延长的部分被软件当成是与目标物同材质还是刚性体...
从计算结果上看,很可能是前者...

二位的计算结果我不能否认,
但我按照题目的假设用初中知识计算了一下,
得出的确是与题目相同的结果....
当然,这个计算中肯定有理想化的成份,现实世界中不容易满足条件...

过程如下:

111.jpg


如图,
左半部是有弹性的杆,右半部是延长的刚性无质量杆.
已知力大小为F,原(左)杆长为L,延(右)杆长也为L
则端点O‘处的力矩(设为A1)为:  A1 = F*L
端点O‘在力矩A1下位移为S1=2mm,
则左杆的弹性系数(设为K1)为: K1 = A1 / S1 = F*L/S1
忽略左杆弯曲引起的力偏转(即设F垂直于右杆端),
并设右杆为绕左杆端点O‘的力矩(设为A2),则 A2 =  F*L
即延长杆上的力F在原杆端点O’处的等效力矩为 F * L

那么,此时原杆端点下弯的形变量(设为S2)为: S2 = A2 / K1 = F * L / (F * L / S1) = S1 = 2mm

同理也可算出另一种情况下的形变量也是 2mm。

=============================
但这个算法中有两个问题,一是把杆当成弹簧来计算弹性系数是否正确,
二是把力矩当成了力套用到弹性形变的公式中是否正确。。。
我感觉计算有问题,具体哪里出了问题期待高手指正。。。

另:32和38楼两位兄弟的计算科学又精确,
但在考试中很可能我的计算能得分。。。
+200  科创币    虎哥   2012-01-30   详细
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43楼
话说 把一个弹性杆当做弹簧来处理是不妥当的。
弹簧,就像电磁学里的电感电容电阻一样,是个理想化的集总元件(即不考虑变形点到底发生在弹簧内部的具体位置)。
而实际上杆是整体各个地方都有弯曲。每个地方的弯曲,都会带来杆末端的位移。同样的弯曲角,带来的位移 与 弯曲点距离末端的距离 是成正比的。
如果能想到这里,那么就会知道这里是一定有个类似于积分的操作,才能把杆上每点的弯曲对杆末端位移的贡献累积起来。
我虽然没用过有限元分析软件,但我有强烈的直觉认为我和shoiv兄弟的结果是正确的。
B杆是否刚性,对这个问题的结论没啥影响。因为B杆刚性与否既不改变A杆各处的扭矩,也不改变测量点的位移。因为位移是从固定端到测量点逐步累积起来的,还没有积分到B杆呢。
请虎哥重做实验,作为最后判决性实验。多谢。
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44楼
确实,
但老虎的标题是《[物理]一道初中物理题》,
因此仅对这个题目本身来说,
不必想得太复杂。。。
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2012-01-30 22:04:44
45楼
引用第42楼kknd于2012-01-29 20:51发表的 :



32楼的兄弟的实验与题意有点出入,
因为题目中是假设的延长部分是"长度为L的刚性杆"
.......  



我是设置的载荷是  刚性连接,应该和题设吻合。
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虎哥(作者)
46楼
我即将(也许几天之后)做这个实验。

我希望选择一种比较巧妙的实验方式。现在开始征集实验设计创意!

非常感谢大家积极提出解决思路,特别是yearn3guns、shoiv、kknd兄弟精彩的演绎。

我希望再约束一下条件:

A杆的弹性足够强,以及力f并不大,以至于A杆的形变量在任何时候都很小,不超过A杆长度的q倍(q<<1)。
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47楼
引用第45楼shoiv于2012-01-30 22:04发表的  :



我是设置的载荷是  刚性连接,应该和题设吻合。



兄弟你的受力点设置是否正确。。。
比如延长后的刚性杆有没有在金属杆的端面上产生轴向偏压(上拉伸下压缩)。。。
如图。。。
123.jpg


SW的有限元计算优点是太精确,
缺点是太全面。。。
您模拟出来的绝不止是垂直于长度方面上的弹性变形,
还包括端面对轴向和其它方向(包括固定端的接触面)的各种力及形变。。。
因此太全面反而可能出问题。。。
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2012-01-31 03:49:17
48楼
首先声明:
截止目前,本人仍然坚持本人在20楼发表的观点:
20#.jpg




引用第46楼虎哥于2012-01-30 22:32发表的 :
我即将(也许几天之后)做这个实验。

我希望选择一种比较巧妙的实验方式。现在开始征集实验设计创意!

.......  


特别为验证实验准备了以下器材:

YZ.jpg


实际当中去模拟纯理论状态的理想刚(弹)性轻杆是困难的,需要将楼主的示意图顺时针或者逆时针旋转90度
旋转 AB1.JPG

旋转 AB2.JPG

在弹性轻杆A的自由端运动幅度甚小(<<杆长)的情况下,无论是模拟弹性杆还是模拟刚性杆的本身质量(重力),对于实验误差的影响将变到最小。

定滑轮有现成的,标称载荷1T,显然不适用,可能需要DIY或者寻找现成的替代品。利用定滑轮将测试砝码的铅垂方向的重力转换为水平方向对测试杆的施加力。

模拟弹性杆开始准备用标准钢锯条(300mm孔距),然而发现太软,可能需要找替代品……

连接的渔线也没有现成的……

百分表没有,可能需要设计其他巧妙的精确测量位移的方式……
+30  科创币    delete   2012-01-31   好的实验思路,消去了板重量的影响
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虎哥(作者)
49楼
打算采用土农大-法进行试验。

为了尽可能消除偏离垂线时重力的影响,要求:

弹性系数足够大(或者弹性杆较短),使重物施加的力远大于装置偏离垂线时力的水平分量。

滑轮正在做,摇车床中[s:275]
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