发个据说是小学数学题(奥数?),看看大家都能想到什么样的解法。

 求红色区域的面积。这道题是一个客人拿来的,说是小学的题目。天知道小学怎么会有这种题,应该是奥数的吧。天知道小学生的知识怎么解题。

通过某种方法,我解出是πa²/128。

想看看其他的解法是什么样的。

来自 数学
2018-11-14 10:54:10
1楼

方法一:定积分

方法二:按不同颜色区域的面积设未知数,建立方程组


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2楼

感觉小学的做法应该是三个弓形拼一个三角形

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迪纳米斯(作者)
3楼

@drzzm32 @radio 这些方法都很复杂。我自己都搞不定~ 积分是个很强大的方式。可惜是高数的范围。 用弓形加三角形。计算难度也很高。

不知道小学生学过概率了没。我记得简单的概率运算是在高中最后才学的。现在的小学生学的东西感觉比以前的深奥一些。

我的解法思路是,把面积交集的问题转化成概率问题。这样只需要做分数运算就可以得出答案。运算步数非常少。这个方法是小学生最可能的方法。

只需要算出正方形当中的点,出现在红色区域的概率。这个问题很好解。

正方形面积设为S1;大扇形面积设为S2和S2’ ;最小的扇形设为S3 ;设红色区域面积为Sr。

S1=a²

S2=S2‘=πa²/4

S3=πa²/8

点出现在大扇形的范围内的概率P2等于S2/S1,以此类推

P2=P2‘=π/4

P3=π/8

接下来正方形内所有的点出现在红色区域的概率设为Pr。

Pr=P2*P2*P3=π/128  (这步算错了,应该为π³/128) 

所以

红色区域Sr=πa²/128(之前算错,更正为:π³a²/128)



[修改于 8 个月前 - 2018-11-14 22:17:27]

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迪纳米斯(作者)
4楼

可是~红色区域怎么看也不像是只是大圆的1/128的样子~~

哎·~


 

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5楼

手生了,不知道有没错。

(3*arcsin(0.8)/4 - sqrt(3)/4 - π/24)*a²

大约0.13156*a²

 

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2
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6楼

2S3不是圆,是个椭圆

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迪纳米斯(作者)
7楼

之前分数乘法搞错了...........

丢了好多年的数学...

(π/4)*(π/4)*(π/8)=π³/128

....................

所以 红色的面积实际上是 a²π³/128

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迪纳米斯(作者)
8楼

把面积问题改成概率问题。能很大程度简化解题过程。

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迪纳米斯(作者)
9楼

0.24223653656484234512090871146173*a²

面积约等于正方形面积的24.2%

[修改于 8 个月前 - 2018-11-14 22:14:15]

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迪纳米斯(作者)
10楼


我分数乘法都搞错了  闹了个笑话​

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11楼

小学肯定是容斥原理

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2018-11-15 08:53:25
12楼

楼主可以用概率的方法算一下这两个图形红色部分的面积,看它们的结果是否一样。

 

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13楼

这个问题考点应该是两个圆重叠区域的面积,两个圆的扇形,减去辅助三角形。中学生列方程直接一些,但是小学不能用,小朋友可以用替换法。要细心代数,非常容易算错。。。结果好像近似等于0.13156*a²。。。

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14楼

 

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2018-11-16 21:00:05
2018-11-16 21:00:05
15楼

把红色三个顶点连接,切出一个三角形,通过测量算出三角形面积;

然后把剩下三个弧分别做一个圆(椭圆?),测量弧长,算出面积(或者建立坐标系二次函数法搞出面积)

最后相加

题目没说不能测量

(考试有的题做不出来我们就这么搞,俗称“科学测量法”)

[修改于 8 个月前 - 2018-11-16 21:06:54]

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2018-11-17 00:16:59
16楼

@迪纳米斯 这个算法应该不对, 这里应该不能直接套古典概型, 应该是个条件概型 典型的 贝叶斯概率

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17楼
引用:迪纳米斯 发表于3 楼的内容:
@ drzzm32 @ radio 这些方法都很复杂。我自己都搞不定~ 积分是个很强大的方式。可惜是.....

这个方法不对。

这个算法完全没有考虑各个形状的位置,也就是说不论扇形位置如何求出的重叠面积都是一样的。然而移动其中图形的位置明显会产生面积变化,例如把最上面那个半圆形翻转到底下那边来,面积明显与原来不同。

之所以不能这么算的原因如楼上所说。点是否落在某个扇形内并不是互相独立的事件,直接乘是没用的。

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18楼

把圆补充完整,构建一个辅助三角形,很容易得到红色+棕色的总面积。

如法炮制,很容易得到(一个绿色)+整个红色的总面积。

半个红色+一个绿色的面积,可以用小圆面积减去黄色面积求得。

于是,上面两个面积相减,就得到半个红色的面积。×2就得答案。

其余未知数均半圆,四分之一圆,及已知的色块(的组合)的面积加减得到。

普通少年解法的要点,是构建辅助三角形求圆重叠部分面积,以及分割对称图形。就这两个技巧。

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