用“时间常数”来分析电磁炮里的电容和线圈
三水合番 2020-5-25原创 研究了个寂寞
关键词
电磁炮时间常数

1. 电容的时间常数

评价电容放电性能的时候,经常会用到两个参数:一个是“电容量”,简写为“容量”或C;另一个是“等效串联电阻”,简写为“内阻”,ESR或R。分开使用这两个参数,不便于比较容量和内阻都不同的电容。比如“1000μF,60mΩ”和“2000μF,40mΩ”,哪个质量更好,就不太好比。

 

1.1 电容时间常数的概念

这时我们可以引入一个“时间常数”的概念。

$$ 电容的时间常数=内阻 \times 容量 $$

$$ \tau = R \cdot C $$

时间常数简写为τ(希腊字母,tau,在论坛的字体下长得像把T做成角标了一样……),单位是“秒”(没错,就是表示时间的那个秒。法拉和欧姆相乘,结果竟然是秒,也是颇为神奇)。对于电容来说,时间常数的物理意义是:把电容短路起来,经过一个时间常数那么长的时间再断开,电容的电压会下降到原来的“自然常数分之一(1/e)”,即37%。

举例来说,一个典型的电解电容,电压450V,容量1000μF,内阻60mΩ,那么它的时间常数就是(1000*10-6) * (60*10-3)=60*10-6 s 即60μs。把它的引脚短路起来,过60μs之后再断开,电压就会下降到450/e=450/2.718=166V。

 

1.2 用时间常数评价电容放电性能

显然,电容的时间常数越小,放电性能也就越好。在脉冲时间相同的场合下,时间常数小的电容,损耗在内阻上的能量更少,效率更高。时间常数小,用俗话说就是“放电速度快”,就可以用在脉冲时间更短的场合,比如小口径感应炮,或者“高出速的,打钢珠的磁阻炮,靠近出口的几级”。回到文章第一段的例子,利用时间常数,我们就可以判断出,“1000μF,60mΩ”的电容,放电性能就比“2000μF,40mΩ”的更好。这也很好理解,毕竟把两个“1000μF,60mΩ”的电容并联起来,得到的是一个“2000μF,30mΩ”电容,显然就比“2000μF,40mΩ”的更好。

 

1.3 实际电容的时间常数

对于最常用的高压电解电容,比如330V和450V这种,其时间常数与具体的容量和耐压几乎无关,一般均在30到100μs之间(参考[1][2])。据此可以估算电容的内阻,即R=τ/c,比如我们买到了一个680μF的电容,则它的内阻就在R=(30*10-6)/(680*10-6)=44mΩ到(100*10-6)/(680*10-6)=147mΩ之间。如果超出这个范围,需要怀疑测试是否准确,以及电容是否有其它方面的重大问题。比如有些牛角电容,可能是连接处接触不良,把电桥夹在牛角上测到的内阻,会显著大于夹在铆钉上测到的结果。

夹在不同地方,测到的内阻可能不同.jpg

图1 夹在不同地方,测到的内阻可能不同

低压电解电容的时间常数会显著更高,比如16V的电解电容,时间常数普遍能比高压电容大一个数量级,700μs这种也很正常。而薄膜电容的时间常数则比电解电容低两到三个数量级,可以达到1μs,甚至几十ns级。此时内阻已经可以忽略,限制放电电流和脉冲时间的因素,已经变成了“等效串联电感”和“电容允许的电压变化率”。

关于如何买到时间常数更小的电解电容。一般来说,容量较小的电容,时间常数也较小。不过,这个影响并不显著,把容量从1000μF换到100μF,时间常数也不一定能变小一半。价格的影响同样不显著,也是10倍价格不一定能差一半。根据我的经验,最主要的影响因素是运气……所以各位买的时候不用太纠结…开心就好。

 

1.4 根据时间常数选择合适的电容

根据时间常数,可以判断某个场合需要什么种类的电容。总的原则就是,电容的时间常数要远小于放电的脉冲时间。比如磁阻炮的第一级,放电时间通常是大几百μs到1ms多,远大于电解电容的时间常数,因此随便用哪种电解电容都可以。同理,轨道炮的放电时间也很长,比如30cm轨道,300m/s出速,按匀加速算,弹丸要在轨道里待2ms,所以也是随便用哪种电解电容都可以。

而比如小口径的感应炮,每级的脉冲时间可能只有几十μs,和电解电容的时间常数大致相当,此时用电解电容就很不合适了。因为只有当电容的输出是短路的时候,它放电脉冲的持续时间才能到时间常数那么短。而输出短路时,电容所有的能量都会消耗在内阻上,一点能量都不会输出。所以当需要的脉冲时间非常短,接近电容时间常数时,电容内阻损耗的能量会很大,电磁炮的效率也会显著下降,到ppm级都很正常。因此用电解电容做同轴感应炮(一般口径都不大),效果就很差(参考[3])。同理,对于高初速的,发射钢珠的磁阻炮,在靠近出口的几级,也需要很短的放电时间,因此电容内阻损耗也会很大。此时想要提高效率,有两种做法:一种是使用时间常数小的电容,比如换用薄膜电容;另一种是延长放电时间,比如把所有电容都并联起来并使用可关断方案,这样电容的放电时间就从“某一级导通的时间(几十μs级)”,扩展到了“弹丸在炮管里的总时间(ms级)”

 

2. 电感的时间常数

2.1 电感的时间常数的概念

说完了电容,我们来说说电感,也就是线圈。线圈也有两个参数:①电感量,简称电感或L②寄生电阻,简称电阻或R。

$$ 电感的时间常数=\frac{电感}{电阻} $$

$$ \tau = \frac{L}{R} $$

与电容的类似,电感的时间常数,单位也是秒。其物理意义是:把电感短路起来,经过一个时间常数那么长的时间,电感的电流会下降到原来的“自然常数分之一”,即37%。举例来说,某个磁阻炮第一级线圈的电感是300μH,电阻是400mΩ,则它的时间常数是(300*10-6)/(400*10-3)=750μs。假如它上面的电流有400A,则把这个线圈短路起来(比如续流二极管导通),经过750μs之后,它的电流会衰减到400/2.718=147A。

 

2.2 线圈时间常数多大好?

线圈时间常数越长,能量损耗的也就越慢。对于轨道炮(把轨道当作单匝线圈),感应炮,以及“带关断和能量回收的磁阻炮”,我们希望线圈时间常数越大越好,这样在相同导通时间内,线圈电阻消耗的能量也就越少,电磁炮的效率也就越高。

但对于最常见的“可控硅无关断磁阻炮”(这词实在太长了,以下简称TNC-RCG,即“Thyristor-switched non-cutoff reluctance coilgun”),我们并不总是希望线圈能量损耗得慢,因为TNC-RCG是靠线圈电阻来“关断”的,线圈时间常数过大,磁场衰减的就慢,回拉就会很严重。极端的例子是,假如使用超导线圈,时间常数会是无穷大,弹丸就只会在线圈里往复振荡,直到摩擦力让它停在线圈中央为止。因此对于TNC-RCG,我们希望线圈的时间常数“合适”。为此往往需要在靠近出口的级,降低线圈的时间常数。

从2.1节的公式看,降低时间常数有两种做法:一是减小电感,二是增大电阻。由于电感量需要配合储能电容的电容量,所以就只能故意的增加线圈电阻(没错,就是增加电阻),常见的做法就是用更薄的线圈。所以设计优良的作品,往往前面几级特别是第一级线圈很“厚”,外径能达到内径的两三倍;而靠近出口的几级线圈则非常薄,可能只绕三四层线,外径连内径的1.5倍都不到。

 

2.3 什么决定了线圈的时间常数?

线圈的时间常数,基本只取决于线圈的外形(还有材料电阻率和填充率),与线圈的电感量和匝数都几乎无关。形象地说一下就是:外形相同的线圈,用粗线+少匝数(比如1mm线绕100匝),和用细线+多匝数(比如0.5mm线绕400匝),尽管电感和电阻都不同,但电感与电阻的比值,即时间常数不变。关于这一点,可以参考[4][5]

线圈的尺寸越大,时间常数也就越大。可以这样理解,假如我们把一个线圈的尺寸,等比例的变为原来的k倍,则导线长度∝k,导线截面积∝k2,因此线圈电阻∝导线长度/截面积∝k/k2=1/k。而线圈电感∝k(参见[6]),因此线圈时间常数=电感/电阻∝k/(1/k)=k2,即时间常数和尺寸的平方成正比。当然,这个比例关系,仅对所有尺寸都等比例缩放有效。对于线圈炮常用的矩形截面线圈,单独增加长度或外径,虽然也会提高时间常数,但是提高的速度远达不到平方倍(这个可以自己仿真来验证一下)。而单独改变内径时,反而是增加内径会降低时间常数,毕竟内径越大,线圈越轻嘛。

 

2.4 用线圈的时间常数来解释一些现象

根据电感的时间常数,可以解释一些现象。比如上面提到的,为什么TNC-RCG要逐渐减薄线圈。


2.4.1 为啥感应炮需要短脉冲

也可以解释为什么感应炮需要很短的脉冲,效果才会好(参考[3], [7], [8], [9]):因为弹丸的时间常数较小。举例来说,一个同轴感应炮[8],发射的弹丸是14mm长,12.7mm外径,1.2mm壁厚的铝管。如果不考虑趋肤效应,它的时间常数大约是62μs。关于这个62μs,一个简单的计算方法是,用那个常见的模拟器,仿一个外形一致的线圈,然后直接用仿到的电感和电阻相除,如下图。因为2.3节提到过,只要线圈外形相同,时间常数就一致。

  线圈时间常数的简单计算方法.png

图2 线圈时间常数的简单计算方法

这意味着,假如驱动线圈上的电流是一个“阶跃信号”,发射时从0A瞬间升到某个值并保持恒定不变,则只需要62μs,弹丸上的电流就会衰减到刚发射时的37%,如下图。

阶跃信号驱动线圈.png

图3 使用阶跃信号驱动线圈

attachment icon 阶跃信号驱动线圈.ms14 81.38KB MS14 57次下载

假如弹丸位置没动,则电磁力也会相应的降到37%。然而驱动线圈电流不变,也就是说电阻损耗功率没变。电磁力变小而电阻损耗不变,效率自然就下降了。此时,继续给线圈通恒定电流,只能白白消耗电能,而几乎起不到加速的作用。因此感应炮需要保证单个脉冲的持续时间,不显著大于弹丸时间常数,才能得到看得过去的效率,所以需要使用很短的电流脉冲。比如我在[8]里,发射这个时间常数62μs的铝管时,使用的电流脉冲,理论上是一个持续时间仅130μs的正弦半波(不考虑弹丸和线圈的互耦,考虑的话应该会明显更低)。

 

2.4.2 为啥电感储能不好用

根据时间常数,还可以解释为啥电感储能在电磁炮里不好用:因为储能用的电感时间常数太小了,所以如果初级能源(在电磁炮里基本就是电池)的功率不大,则电感储能的能量密度会低得惨不忍睹。

设储能电感的电感量为L,电阻为R,时间常数为τ,储能之后上面有大小为I的电流。则它储存的磁场能Em,和电阻消耗的电功率Pr,分别为

$$E_{m}= \frac{1}{2} L I^{2} $$

$$ P_{r}=R I^{2} $$

两式相除可得

$$ E_{m} =\frac{1}{2} \frac{L}{R} P_{r}=\frac{1}{2} \tau P_{r} $$

可以看到,电感的储能和寄生电阻消耗的电功率是成正比的,如果我们没法提供很大的电功率给寄生电阻消耗,则电感能储存的能量也就高不了。那么我们能给寄生电阻提供多少功率呢?显然,在电磁炮里,我们不能用电容这种大功率的元件作为初级能源,因为这样就失去电感储能的意义了:电容的能量密度,显然是比“电容+电感”更高的,有电容的话,直接用电容就行了,没必要让能量在电感上过一遍。如果用电池的话,能提供的功率就很有限了。市面上比较优秀的航模锂电(比如穿越机用的一百多C的电池),功率密度可以做到14kW/kg。如果我们下血本,冒着被炸死的风险,把2kg这样的电池并在一起,那我们能提供28kW的功率。此时电感储能就是Em=14000τ,那么τ是多少呢?

假如我们又下了血本,做了一个内径10cm,外径20cm,长5cm的巨大电感。这个电感的形状已经是理论最优的brooks coil了,在相同重量下,有最大的时间常数。同时为了提高能量密度(减重),我们使用纯铝制作这个线圈(相同重量的铝,导电性比铜好得多)。于是这个线圈的时间常数大约是18ms,其重量约为2.5kg。配合上前面提到的2kg电池,这个总重4.5kg的电感储能系统,总储能将达到Em=14000*0.018=252J。

而用电解电容储252J需要多少重量呢?比如闪光灯电容的能量密度普遍能做到1kJ/kg,因此储252J,需要252g的电容。我们下了血本做的9斤重的电感储能,性能上终于赶上了5两重的电解电容,可喜可贺……

tenor.gif

扩大装置规模也没有效果,因为2.3节提到过,把线圈尺寸变成k倍,时间常数只会变成k2倍,然而线圈重量会变成k3倍。这还没考虑“如何用恒流源驱动感性负载”这种麻烦事。所以说,用时间常数这个概念分析可以看到,在室温超导普及之前,还是别想着用电感储能给电磁炮供电了。

 

3. 结论

用时间常数,可以评价不同容量电容的放电性能,估算电容内阻,给选择合适的电容提供参考。可以解释和线圈有关的一些现象,比如为什么可控硅无关断磁阻炮靠近出口的线圈要变薄,为什么感应炮需要短脉冲,为什么电感储能不好用。总之是一个很方便的理论工具。

本贴扩充自《你好,电磁炮》第3.2节中的某几段,你看光是一节里的某几段就能扩出来这么多东西,其它那么多节是不是非常值得一看?论坛购买还可享受内部价,心动不如行动哦 https://www.kechuang.org/t/84859


参考

[1] 三水合番,测量一批电容的参数(流量警告),https://www.kechuang.org/t/83329

[2] 猎鹰 ,测量一批电容的参数(流量不警告),https://www.kechuang.org/t/83514

[3] badboy-fly ,柱状感应线圈炮16J与67J储能发射对比实验,https://www.kechuang.org/t/65780 

[4] 三水合番,定性分析 线圈炮效果与线圈匝数和电压的关系,https://www.kechuang.org/t/79380

[5] 白井黑子,低压线圈炮效率真的高吗?,XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX/read-944

[6] Ma3.02的守望,磁阻炮用线圈参数选型表&多层空心线圈电感计算方法&线圈参数计算器V1.1,https://www.kechuang.org/t/84939

[7] rb-sama,设计一台感应炮你需要知道的(理论+实验),https://www.kechuang.org/t/84037

[8] 三水合番,记录一次可控硅开关的单级同轴感应式的发射,https://www.kechuang.org/t/82409

[9] XXXXX,经过试验,柱状感应炮线圈过长是无法发射的,https://www.kechuang.org/t/65827

[修改于 1 年前 - 2020-05-26 21:52:08]

+1  科创币    忆昔长别   2020-06-08   原来如此
来自:高压与强磁 / 电磁炮
 
18
三水合番 作者
1年5个月前 修改于 1年5个月前
1楼

结束之后说点闲话,这篇帖子真是生动地说明了人类的本质是鸽子。因为这篇帖子的文档,在两天前还长这样……

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本贴比较长,难免会有笔误。如果有人发现了细小的错误,请在这层楼的“评论”里提醒一下,非常感谢

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信仰は儚き人間の為に
1年5个月前
2楼

好帖,居然没人回复。

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Canglang
1年5个月前
3楼

个人认为电阻当然越小越好,从能量角度来说,在电感不太大情况下,电阻越小,电容分配到电感的能量就越大。磁阻炮在小电流情况下,因为铁芯增大了电感,导致分配到电容的能量增加,所以才有磁阻炮效率比感应炮高这一说法。

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rb-sama
1年5个月前
4楼

不错不错,支持支持

电感储能必须上规模。阻抗影响不到能量释放的程度

否则老实电容

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月下孤狼
1年4个月前
5楼

其实楼主还要补充一点,对于电解电容来说,相同尺寸的高压电容比低压电容储能要高,极限输出脉冲功率也更高。现有工艺下,一个450V的电容器输出内阻通常仅仅是相同尺寸16V电容器的十倍到二十倍,但是由于储能和输出功率和电压都是平方关系,所以能量和功率都要远高于低压电容器。换句话说,去买什么16V超大容量电容的,从能量密度角度已经输给用高压电解电容组的了。。。而且,低压电解电容器的内阻特性甚至还不如动力电池。。。所以,玩低压要么就用动力电池,要么用高压的铝电解或者更高压的薄膜,低压铝电解这个选项很尴尬。。。

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三水合番作者
1年4个月前
6楼
引用月下孤狼发表于5楼的内容
其实楼主还要补充一点,对于电解电容来说,相同尺寸的高压电容比低压电容储能要高,极限输出脉冲功率也更高...

是的。低压电解的能量密度和时间常数都惨不忍睹😂厂家宣传自家的低压电解电容时,都会说它“CV值”高,就是“电容量*耐压”高。从这看,尺寸重量相同的低压电解,CV值应该是相对固定的。而储能=CV2/2,所以CV值固定时,提升电压,能让储能等比例的提升——耐压更高的低压电解,能量密度也会更高。

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黄喉貂
1年4个月前
7楼

如果一些晦涩难懂的专业术语都用这种方式介绍就好了,这种文章很值得推广。


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佚名
1年3个月前 修改于 1年3个月前
8楼

image.png

问两个问题,这是我的igbt驱动电路,这样驱动可以吧?
第二个问题,线圈炮的RLC工具里这个两个参数怎么填?

image.png

求指点,谢谢!

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