实用多角度可调-3D打印手机支架-及其稳定性分析~对于疫情期间的居家学习十分有好处
忆昔长别 2020-2-16原创 创意与DIY物理
中文摘要
众所周知,没有手机支架,看视频相当不舒服。把手机靠在墙上的话会因为摩擦力不足,而很容易滑下,严重影响了使用心情。所以,本人经过严谨的受力到分析,设计了一个"多角度可调3D打印手机支架",经过两天的使用,感觉效果奇佳,所以分享给大家。此手机支架具备以下优点:

(1)没有任何活动部件的情况下,实现多角度可调。不容易损坏,同时便于观看视频。
(2)全3D打印结构,方便大家在家制造。
(3)受分析严谨,不会出现手机滑倒、倾覆的问题。
关键词
3D打印手机支架理论力学仿真

简介:


众所周知,没有手机支架,看视频相当不舒服。把手机靠在墙上的话会因为摩擦力不足,而很容易滑下,严重影响了使用心情。所以,本人经过严谨的受力到分析,设计了一个"多角度可调3D打印手机支架",经过两天的使用,感觉效果奇佳,所以分享给大家。此手机支架具备以下优点:


(1)没有任何活动部件的情况下,实现多角度可调。不容易损坏,同时便于观看视频。

(2)全3D打印结构,方便大家在家制造。

(3)受分析严谨,不会出现手机滑倒、倾覆的问题。


目录

  1. 多角度可调3D打印手机支架展示。

  2. 受力分析

  3. 结论

  4. 后期改进

  5. 附件:3D打印文件分享

    attachment icon 手机架.STL 184.55KB STL 51次下载   (未切片的文件,可以修改打印设置)

    attachment icon 手机架.gcode 3.24MB GCODE 37次下载 (已经切片完毕多文件,直接可以打印)


正文


1.多角度可调3D打印手机支架展示


solidworld模型设计,首先根据手机大小,测绘了一个手机模型,然后再设计手机支架。两者进行装配,观察使用的效果,然后不断修改手机支架的设计,直到满足要求。最后的结果如下。


6.jpg

图1:手机支架的三维图。

5.jpg

图2:手机支架的三维透视图。

4.jpg

图3:手机支架角度1.

2.jpg

图4:手机支架角度2

3.jpg

图5:手机支架角度3


底座接触面设计:与地面配合的部分,设计成两条线接触,避免大平面接触带来的工艺问题。即使打印的底部不那么平坦,依然可以保证放置的稳定。


重心设计:底座左侧的伸出部分,保证了即使在最坏的情况下,手机的重心依然落在底座的投影范围内,保证了手机在任何情况下都不会倾倒。


凹槽设计:上面的凹槽提供了有效的接触力,保证手机任意角度下,都不会打滑。一共有4种不同的角度,可以满足不同的使用要求。


把手机支架单独另存为$*.stl$文件,然后使用打印机的切片软件生成$*.gcode$的G代码文件,准备进行打印。


7.jpg

图5:3d打印切片效果。大约需要打印2个小时,耗材使用约5米。


使用效果展示。看起来尺寸,长约58mm,宽约46mm,高约52mm,大概巴掌的一半大小。

IMG_20200215_172254.jpg

图6:打印完毕的手机支架。


由于要使用手机拍照,所以拿了一个计算器进行摆拍,实际使用手机的效果是极好的。基本上不存在手机滑倒的可能性,而且确实做到了多角度可调。

IMG_20200215_165551.jpg

图7:手机支架3D打印实物。

IMG_20200215_165544.jpg

图8:手机支架,实物使用效果。


2.受力分析


为了DIY的科学性起见,一些受力分析是必要的,下面按照静力学的原理进行受力分析。


受力分析2.jpg

图9:手机支架受力分析


首先对手机和手机支架整体进行分析,受到手机的重力$mg$,手机架的重力(手机支架的重力分量是固定的,图上未画出,设为$G_1,G_2$)就不一起计算了,桌面对手机架的支反力$F_{N1},F_{N2}$。


垂直方向受力平衡$\sum F_y=0$有
$$ F_{N1}+F_{N2}-mg=0$$

对A点的和力矩平衡$\sum M_A=0$,有
$$ F_{N2}\cdot (d_2+d_3)-mg\cdot d_2=0$$

联立上面两式,得到支反力
$$F_{N1}=\frac{d_3}{d_2+d_3}\cdot mg$$
$$F_{N2}=\frac{d_2}{d_2+d_3}\cdot mg$$

把支架的固定分量加上去,得到

$$
\left \{
\begin{aligned}
F_{N1}&=\frac{d_3}{d_2+d_3}\cdot mg+G_1\\
F_{N2}&=\frac{d_2}{d_2+d_3}\cdot mg+G_2
\end{aligned}
\right.
$$

根据几何关系可以得到
$$
\left \{
\begin{aligned}
d_2&=\frac{h}{tan\theta}-\frac{L}{2}\cdot cos\theta +d_1\\
d_3&=l-d_2
\end{aligned}
\right.
$$


$l$是底座的总长度。下面对手机单独进行分析,受到手机架的作用力$F_1,F_2,F_3$,重力$mg$。

水平方向受力平衡$\sum F_x=0$,有
$$F_1\cdot sin\theta - F_3=0$$

垂直方向受力平衡$\sum F_y=0$,有
$$F_1\cdot cos\theta + F_2 - mg=0$$

对B点的合力矩平衡$ \sum M_B=0$,有
$$-F_1\cdot \frac{h}{sin\theta} + mg\cdot cos\theta \cdot \frac{L}{2}=0$$

联立上面的三个方程,解得
$$
\left \{
\begin{aligned}
F_1&=\frac{mgL}{2h}\cdot sin\theta \cdot cos\theta\\
F_2&=mg(1-\frac{L}{2h}\cdot sin\theta \cdot cos^2\theta)\\
F_3&=\frac{mgL}{2h}\cdot sin^2\theta \cdot cos\theta \\
\end{aligned}
\right.
$$


为了保证手机能够靠在手机架上,对于一定尺寸的手机架和手机,摆放时存在一个最小角度$\theta_{min}$满足
$$
sin\theta_{min}=\frac{h}{L}
$$
所以,手机摆放角度的取值范围是$\theta \in [arcsin(\frac{h}{L}),90\deg]$。


综上,手机和支架的受力可以表示为$(F_1,F_2,F_3,F_{N1},F_{N2})=f(m,L,h,l,d_1,\theta)$,$\theta \in [arcsin(\frac{h}{L}),90\deg]$ ,具体数学关系如下
$$
\left \{
\begin{aligned}
F_{N1}&=\frac{d_3}{d_2+d_3}\cdot mg+G_1\\
F_{N2}&=\frac{d_2}{d_2+d_3}\cdot mg+G_2\\
d_2&=\frac{h}{tan\theta}-\frac{L}{2}\cdot cos\theta +d_1\\
d_3&=l-d_2\\
F_1&=\frac{mgL}{2h}\cdot sin\theta \cdot cos\theta\\
F_2&=mg(1-\frac{L}{2h}\cdot sin\theta \cdot cos^2\theta)\\
F_3&=\frac{mgL}{2h}\cdot sin^2\theta \cdot cos\theta \\
\end{aligned}
\right.
$$


上面的参数中,手机的形状质量特性$(m,L)$,手机架的形状特性$(h,l,d_1)$,以及手机在手机架上面的安放角度$\theta$,共同决定了他们的受力特性$F_1,F_2,F_3,F_{N1},F_{N2})$。对于一个确定形状、质量的手机、手机架,参数$(m,L,h,l,d_1)$是常数,他们的受力情况就只和手机的摆放角度$\theta$有关。


下面,对我手上的这个手机和手机架,进行一波计算,看看受力随着$\theta$角是怎么变化的, 计算使用的参数如下表所示。

参数表.jpg

计算得到的受力随摆放角度的变化曲线如下。

受力变化曲线.jpg

图10:手机摆放角度变化时$F_1,F_2,F_3$的变化曲线。

当手机摆放的角度从35度逐渐增加到90度的过程中,$F_1,F_2$先增大,然后一直减小到0,存在一个最大值,。而$F_3$一直保持单调递增。最大值的具体位置和大小为


角度=45.013 deg时,有$F1_max$=0.679 N
角度=89.994 deg时,有$F2_max$=1.558 N
角度=54.754 deg时,有$F3_max$=0.523 N


对于第二条,根据生活常识,就可以理解手机垂直放置的时候,角度接近90度时,$F_2$承受力全部的手机重力。即$F_2=m\cdot g=0.159\times 9.8=1.58N$。


对于第一条,从生活常识出发很难观察到,居然会有一个最大的受力位置。最大值的位置45.013 度那么接近45 度,那么应该能够从公式上尝试推导这个结论。根据倍角关系$\sin2\theta=2 sin\theta cos\theta$,有
$$
\begin{aligned}
F_1&=\frac{mgL}{2h}\cdot sin\theta \cdot cos\theta\\
&=\frac{mgL}{4h}\cdot sin2\theta
\end{aligned}
$$
当$2\theta=90deg$,即$\theta=45deg$,$F_1$取得最大值
$$F_1,{max}=\frac{mgL}{4h}.$$


对于第三条,几乎不可能凭借生活经验察觉到。本人感觉最大值的位置也是一个确定的位置,而和手机、手机架的具体参数无关,于是尝试通过数学方法推导解析解
$$F_3=\frac{mgL}{2h}\cdot sin^2\theta \cdot cos\theta$$
根据三角函数关系$sin^2\theta+cos^2\theta=1$,得到
$$
\begin{aligned}
F_3&=\frac{mgL}{2h}\cdot(1-cos^2\theta)\cdot cos\theta\\
&=\frac{mgL}{2h}\cdot(cos\theta-cos^3\theta)
\end{aligned}
$$
求$F_3$的极值的问题可以转换成求$f(\theta)=(cos\theta-cos^3\theta),\theta \in[0,90]deg$ 的极值的问题。设$x=cos\theta,x \in [0,1]$,上面的方程可以转化为
$$f(x)=(x-x^3)$$
令上式导数为0,得到
$$f'(x)=1-3x^2=0$$
解得,$x_1=\frac{\sqrt{3}}{3}$,$x_2=-\frac{\sqrt{3}}{3}<0$舍去。
所以$F_3$最大受力点的位置为
$$\theta=arccos\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 54.7356 deg$$
确实是一个固定的角度,与仿真结果一致。


所以,当手机摆放的角度为54.7度时,手机需要的水平作用力最大,最容易滑倒。


支反力变化曲线.jpg

图11:手机摆放角度变化时$F_{N1}1,F_{N2}$的变化曲线。



从上图可以看出,当手机的摆放角度从35度逐渐增到到90度时,$F_{N1}$单调递减,$F_{N2}$单调递增。这和生活经验一致,手机摆放的角度越大,越接近左边,底座左边受力越大,底座右边受力越小。


手机摆放到最左边时,如果出现$F_{N2}<0$那么手机就会向后翻倒。下面通过数学推导$F_{N2}$ 的最小值的表达式,以及不翻倒的条件。根据前面的推导,有
$$
\left\{
\begin{aligned}
F_{N2}&=\frac{d_2}{d_2+d_3}\cdot mg+G_2\\
d_2&=\frac{h}{tan\theta}-\frac{L}{2}\cdot cos\theta +d_1\\
d_3&=l-d_2\\
\end{aligned}
\right.
$$
于是,得到
$$
F_{N2}=\frac{1}{l}\cdot ( \frac{h}{tan\theta}-\frac{L}{2}\cdot cos\theta +d_1 )\cdot mg+G_2
$$


先不考虑底座产生的支持力分量$G_2$,以及左侧额外伸出的长度$d_1$,则求$F_{N2}$最小值的问题,可以归结为求下式的最小值
$$f(\theta)=\frac{h}{tan\theta}-\frac{L}{2}\cdot cos\theta$$
求导得到
$$f'(\theta)=-\frac{h}{cos^2\theta}+\frac{L}{2}\cdot sin\theta$$


当$\theta \in [arcsin\theta,90]deg$时,$-\frac{h}{cos^2\theta}$单调递增,$\frac{L}{2}\cdot sin\theta$单调递减,极值点的位置与比值$\frac{h}{L}$有关。


设$k=\frac{h}{L}$,则上面两式可以写为
$$
\left\{
\begin{aligned}
f(\theta)&=L\cdot(\frac{k}{tan\theta}-\frac{1}{2}\cdot cos\theta)\\
f'(\theta)&=L\cdot(-\frac{k}{cos^2\theta}+\frac{1}{2}\cdot sin\theta)\\
\end{aligned}
\right.
$$

因为$\frac{1}{2}\cdot sin\theta \in [0,\frac{1}{2}]$,所以有,

当$k>0.5$时,$-\frac{k}{cos^2\theta}<-\frac{1}{2}$,恒有$f'(\theta)<0$,即$f(\theta)$ 在此区间上单调递减,最小值为

$$f(90deg)=0$$
所以不会出现$F_{N2}$小于0的情况,即手机架不会向后翻倒。


当$k<0.5$时,$f'(\theta)$有正有负,某个角度范围内$f(\theta)$会小于0,即向后翻倒。暂时没时间推导出严格的数学证明。下面是k的一组取值范围内的$f(\theta)$的曲线。


f-kn.jpg

图12:不同k值下的$f(\theta)$曲线,从下往上k分别是0.1到1。


3.结论:


(1) $F_2$随着摆放角度$\theta$的增大而单调增加,当手机垂直放置的时候,$F_2$达到最大值,承受力全部的手机重力。

$F_1$随着摆放角度$\theta$的增大而先增加后减小,当手机摆放角度$\theta=45deg$,时$F_1$达到最大值$F_1,{max}=\frac{mgL}{4h}$。


(2) $F_3$随着摆放角度$\theta$的增大而先增加后减小,当手机摆放角度$\theta=arccos\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 54.7356 deg$时,$F_3$达到最大值$F_3=\frac{\sqrt{3}mgL}{3h}$。所以平时没有手机架时,靠着物体摆放手机时,要避开这个角度,因为受力最大,容易打滑。


(3) 当手机的摆放角度$\theta$从35度逐渐增到到90度时,$F_{N1}$单调递增,$F_{N2}$单调递减,并且最小值大于0。这和生活经验一致,即手机摆放的角度越大,越接近左边,底座左边受力越大,底座右边受力越小。所以为了让手机不容易向后翻倒,应该把摆放角度选小一些。


(4) 当靠背高度和手机宽度的比值$k=\frac{h}{L}>0.5$时,即使手机架很轻,底座左侧没有伸出的额外长度。不论手机怎么摆放,手机座都不会向后翻倒。这也和生活经验一致,即手机的重心高度不会超过靠背高度,是安全的。


(5) 当手机架不稳定时,增加手机架底座左侧伸出的长度$d_1$,增大底座的重量$G_2$可以有效提高手机摆放的稳定性。这个也和生活经验一致,即底盘越大越沉,就越稳定。


4.后期改进


目前发现,如果手机立着放,就不满足稳定性条件,摆放的角度一大就很容易向后翻倒。所以根据分析结果想到以下几个改进方案:

(1)增大手机座靠背的高度$h$。

(2)底座加配重$G_2$

(3)增大底座左侧伸出的长度$d_1$

(3)增大锯齿段的长度$l$,使得手机可以以一个较小的角度进行摆放。


由于目前的3D打印机的尺寸限制,所以方案(2)是最合适的。考虑给底座灌铅或者沙子。




+2  科创币    yz710804695   2020-02-16   分析丝丝入扣,到位!
来自:生活广场 / 创意与DIY物理学 / 物理
 
6
2020-2-16 8:08:47
1楼

可以用“解得”代替繁琐冗长的求解过程。。。又不是搞物理竞赛

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2020-2-16 22:27:18
2楼

我严重怀疑楼主正在用冗长的过程骗取我们的KC币

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忆昔长别(作者)
3楼
引用BSP发表于2楼的内容
我严重怀疑楼主正在用冗长的过程骗取我们的KC币

本来只是想分享一个3D打印手机支架,结果一不留神写了这么长一串。根本没预料到会推导出什么东西来~


写个帖子,感觉自己涨了不少了技能。

(1)PPT绘图。

(2)Matlab仿真。

(3)数值仿真发现规律,然后用解析方法进行证明。

(4)堆砌太多公式,也不是太好的事情。

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2020-02-17 01:38:44
4楼

LZ居然是一次写完的,没有编辑修改,这么多公式居然只有零星的几个因为LaTEX格式问题没能正确显示,实在是佩服。

通过脑补(LZ没有分析),终于搞清楚了为啥随便弄一个纸盒撑手机,不论怎么调整都会滑倒了。

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忆昔长别(作者)
5楼

多谢虎哥支持 sticker

我是在电脑上写完,用latex编译好了之后,再一次性贴进来的。粘贴过来的时候可能字符出了点问题吧,

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6楼
引用虎哥发表于4楼的内容
LZ居然是一次写完的,没有编辑修改,这么多公式居然只有零星的几个因为LaTEX格式问题没能正确显示,...

论坛怎么做到全篇LaTeX直接上传呢

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忆昔长别(作者)
7楼
引用UICalc发表于6楼的内容
论坛怎么做到全篇LaTeX直接上传呢

复制写好的latex正文的源码,然后粘贴进编辑窗口。


公式\begin{equation}F=m\cdot a\end{equation}改成了$$F=m\cdot a$$基本都识别出来了

段落、表格、图片……我猜论坛可能不识别,所以另外在编辑窗口里手动修改。

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1
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忆昔长别(作者)
8楼

这个居然可以识别?!论坛到底支持哪些latex语句?


前面打的是

$$\begin{equation}F=m\cdot a\end{equation}$$

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9楼

试试

v=t1t0a(t)dt 

就是重新编辑似乎要再输一遍

[修改于 7 个月前 - 2020-02-17 16:16:15]

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忆昔长别(作者)
10楼

测试三线表

\begin{table}[h]
    \centering
    \begin{tabular}{p{1cm}p{2cm}p{2cm}p{2cm}p{2cm}p{2cm}p{2cm}p{2cm}}
        \toprule
        周数 &星期一&星期二&星期三&星期四&星期五&星期六&星期日\\
        \midrule
        1  &\sout{2月2日3}&\sout{5}&\sout{5}&\sout{6}&\sout{7}&\sout{8}&\sout{9} \\
        2  &\sout{10}&\sout{11}&\sout{12}&\sout{13}&\sout{14}&\sout{15}&\sout{16} \\
        3  &\Large{\textcircled{\small{\textbf{17}}}}&18&19&20&21&22&23 \\
        4  &24&25&26&27&28&29&3月1日 \\
       \bottomrule
    \end{tabular}
\end{table}

\begin{table}[h]

    \centering

    \begin{tabular}{p{1cm}p{2cm}p{2cm}p{2cm}p{2cm}p{2cm}p{2cm}p{2cm}}

        \toprule

        周数 &星期一&星期二&星期三&星期四&星期五&星期六&星期日\\

        \midrule

        1  &\sout{2月2日3}&\sout{5}&\sout{5}&\sout{6}&\sout{7}&\sout{8}&\sout{9} \\

        2  &\sout{10}&\sout{11}&\sout{12}&\sout{13}&\sout{14}&\sout{15}&\sout{16} \\

        3  &\Large{\textcircled{\small{\textbf{17}}}}&18&19&20&21&22&23 \\

        4  &24&25&26&27&28&29&3月1日 \\

       \bottomrule

    \end{tabular}

\end{table}

[修改于 7 个月前 - 2020-02-17 17:45:09]

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11楼

用公式插入工具,可以检查到底什么东西不支持。比如楼上的代码:

1.png

公式插入功能会经常优化,比如打算改为编辑器中不渲染(现在是短的渲染,长的不渲染),这样方便修改。

[修改于 7 个月前 - 2020-02-17 17:48:54]

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