【纸上谈兵】关于火箭喷管的一些基本理论
粥粥2023/09/03喷气推进 IP:湖北

在阅读本帖前,请确保自己拥有基本的物理学知识,以及一定的数学水平(至少可以用微积分解决一般的物理问题)

在本帖中,我将按照喷管工作的机理对其进行分析和对各区域状态函数的定量关系的探究。如果你希望从我的研究中学习到一些知识,请在观看过程中跟随我的思路动笔计算。

由于笔者学识所限,文中难免有疏漏差错之处,敬请读者批评指正。

来自:航空航天 / 喷气推进
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~~空空如也
粥粥 作者
7个月15天前 IP:湖北
925042

第一部分,一些基本概念:

在高中阶段(相见选修三第二章),我们曾接触过如下的公式

pV=C(玻意耳定律)

V=CT(盖—吕萨克定律)

p=CT(查理定理)

显然,为了更好的把ρ、p、T、V等物理量联系起来,上述公式无能为力,所以我们需要一个包含上述物理量的公式:

完全气体状态方程:

$p/ρ=RT$(式1-1)

其中:

R为气体常数,标准状况下:R=8314/M(J/kg•K),M为分子量。

需要注意,气体在低温高压,临近液化时,不再适用于上述公式。

我们把一个在与环境无热交换发生,且没有能量损耗的过程称为“等熵过程”

对于一个等熵过程,有:

$p/ρ^k=c$(式1-2)

如果不能理解这些公式的由来,可以作为定律使用,现阶段不必深究

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粥粥作者
7个月15天前 IP:湖北
925046

第二部分,可压缩气流的一些基本定量关系:

取一根无限长,面积为A,内有压强为p,密度为ρ的可压缩流体的管道,左端有一活塞,以微小速度dv向右运动,如图2-1所示

受到由活塞运动产生的速度为a的扰动波影响,

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粥粥作者
7个月15天前 修改于 7个月15天前 IP:湖北
925048

第二部分,可压缩气流的一些基本定量关系:

取一根无限长,面积为A,内有压强为p,密度为ρ的可压缩流体的管道,左端有一活塞,以微小速度dv向右运动,如图2-1所示

IMG_9907.jpeg

受由活塞运动所产生的速度为a的扰动波的影响,流体的压强、密度、速度均发生微小改变,分别变为p+dp、ρ+dρ、a-dv。

取活塞两侧虚线内区域为研究对象(即控制体),令控制体两面无限接近,故控制体体积趋近于零,得到控制体连续性方程和动量方程:

$ρaA=(ρ+dρ)(a-dv)A$

$pA-(p+dp)A=ρaA[(a-dv)-a)]$

展开上二式,略去高阶微小项-dρdv,整理可得:

$adρ=ρdv$

$ρadv=dp$

显然,由上二式可得:

$dv=dp/ρa$

代入一式:

$adρ-dp/a=0$

化简可得:

$a^2=dp/dρ$(式2-1)


由式(1-2)微分可得

$dp/dρ=$ckρk-1=kp/ρ(式2-2)

将式2-2和式1-2代入式2-1中可得:

$a^2=kp/ρ=kRT$


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粥粥作者
7个月15天前 IP:湖北
925051

第三部分,无粘性完全气体一维恒定流动基本方程:

在一维恒定气流中任取断面A1、A2,由质量守恒原理可得:

ρ1v1A12v2A2=c

对上式微分:

$dρ/ρ+dv/v+dA/A=0$(式3-1)

由式1-1微分可得:

$dp/p=dρ/ρ+dT/T$(式3-2)

取距离为dl的流体段,基本信息如图所示:

IMG_9907.jpeg

可得其合力大小ΣF=ma

左侧:$pA$

右侧:$(p+dp)(A+dA)$

事实上其侧面依然受力:$(p+dp/2)dA$

又有:$ma=ρAdldv/dt$

综上:$pA-(p+dp)(A+dA)+(p+dp/2)dA=ρAdldv/dt$

在一维恒定流中,有:$dv/dt=dv/(dl/v)=vdv/dl$

代入上式整理并略去高阶微小项,可得:

$dp/ρ+vdv=0$(式3-3)

式3-3还可以表示为:

$dp/ρ+d(v^2/2)=0$

将式1-2代入式3-3可得:

(k/k-1)p/ρ+v2/2=c(式3-4)

便于大家理解,也为我不习惯使用公式编辑器,把我手写的推导过程放在这里:

IMG_9909.jpeg

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粥粥作者
4个月28天前 IP:湖北
927073

想把内容都修改到主题部分但是每次复制过去的公式都会格式大错乱,耐心不足,于是只好继续在下面编辑内容

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粥粥作者
4个月28天前 IP:湖北
927075

将式3-4变形可得:

$(1/k-1)p/ρ+ p/ρ +v^2/2=c$

这是无粘性流体恒定绝热运动的能量方程,相比于不可压缩流体的能量方程,多出了一项$(1/k-1)p/ρ$,该项是单位质量流体的内能,这同时表明,对于无粘性流体的绝热流动,流体的机械能和内能之和恒定。


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