从牛顿大炮说起,谈谈火箭入轨的控制原理
忆昔长别 2019-7-27原创 喷气推进航天技术

    一、从牛顿大炮说起


        牛顿曾说在一座高山上架起一门大炮,只要这门炮的威力足够大,炮弹的速度足够快,炮弹就可以围绕地球不停的转而不会掉下来。那么对于一枚火箭,速度多快才能入轨?中学课本告诉我们,只要达到第一宇宙速度7.9km/s,我们的火箭就能够进入地球轨道。

图片1.png


以上便是大家熟知的火箭入轨的方法。但是请思考以下问题:

(1) 速度大小必须达到7.9千米每秒吗?

(2) 对速度方向没有要求吗?

(3) 轨道的形状怎么确定?

(4) 怎么控制火箭进入预定的轨道?

    牛顿大炮的例子中,我们可以感觉到以上问题的答案。大炮在山顶的位置、炮弹的出膛速度、以及速度的角度,共同决定了炮弹的轨道的形状。下面我们就来谈谈这些问题。



二、火箭入轨的过程


火箭入轨可以简单分为以下几个过程。

(1) 垂直起飞。发动机点火,待发动机推力稳定后,放开火箭。火箭离开发射塔,快速穿过稠密的底层大气层。

(2) 程序转弯。启动转弯过程,以适当的角度穿越跨声速段,防止箭体结构破坏。同时使得火箭在关机点达到所需的速度方向。

(3) 主动段关机。保持速度方向,不断加速,当速度达到所需速度时,执行发动机关机指令。

(4) 星箭分离。分离卫星和火箭,启动反推火箭,让火箭刹车,以免碰撞卫星。同时使火箭减速落回地面。

(5) 入轨。卫星进入轨道。

图片2.png

        其中(1)(2)(3)并称为主动段,(4)(5)称为被动段。火箭入轨后的参数唯一取决于主动段关机点的参数。即火箭从发射架上起飞,飞到某个位置然后执行发动机关机指令。在关机点的位置、速度、速度方向就唯一确定了其入轨后的轨道参数。

图片3.png

        如图3个关机点参数为:到地心的距离$r_k$、速度大小$V_k$、弹道倾角$\Theta _{k}$。那么如何根据想要的卫星的轨道参数,确定所需要的主动段关机点参数呢?



[修改于 2 年前 - 2019-07-27 03:44:00]

来自:航空航天 / 喷气推进航空航天 / 航天技术
17
 
4
忆昔长别 作者
2年6个月前 修改于 2年6个月前
1楼

  三、由轨道参数计算关机点参数


        中学物理就讲过,卫星的轨道形状是一个椭圆。地球在椭圆的一个焦点上,而椭圆的参数包括半长轴a、偏心率e。

图片4.png

       在研究轨道问题时,常常在极坐标系下进行,如下图所示。

图片5.png


        图中,$p$为近地点,$a$为远地点。已知轨道近地点到地心的距离$r_a$,远地点到地心的距离$r_p$,近地点的位置$p$,关机点与地心连线与$op$的夹角为$f_k$。那么关机点参数可以用下面的公式进行计算。

关机点到地心的距离

$$r_k=\frac{p}{1+e\cdot cosf}$$

关机点的速度大小

$$V_k=\sqrt{\frac{\mu }{p}(1+2\cdot e \cdot cosf+e^2))}$$

关机点弹道倾角为(弹道倾角:速度方向与当地水平面的夹角)

$$tan\Theta =\frac{e\cdot sinf}{1+e\cdot cosf}$$

其中,

$\mu$为地球引力常数,$\mu=3.986\times 10^{14}$,

$e$为椭圆轨道偏心率,$e=\frac{r_a-r_p}{r_a+r_p}$,

$a$为椭圆半长轴,$a=\frac{r_a+r_p}{2}$,

$p$为椭圆半通径,$p=a\cdot (1-e^2)$。


此外要想成为地球卫星,还有一些附加条件。

(1)关机点速度应小于第二宇宙速度,因为大于第二宇宙速度的话就飞离地球了。

(2)弹道倾角应在0~90(不包括90度)度之间,$\Theta=90^{\circ}$垂直向上发射火箭一定会落下来。

(3)椭圆轨道不应与地面有交点。因为砸到人不好。


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忆昔长别作者
2年6个月前 修改于 1年7个月前
2楼

四、举例


        打算发射一枚火箭入轨,轨道参数是这样的。在近地点到地面的高度为100km,远地点到地面的高度为200km,关机点和近地点的夹角是120度。已知地球平均半径R=6371km,问火箭主动段关机点的参数?


解:,远地点到地心距离

$$r_a=6371+200=6571km$$

近地点到地心距离

$$r_p=6371+100=6471km$$

偏心率

$$e=\frac{r_a-r_p}{r_a+r_p}=0.00767$$

半长轴

$$a=\frac{r_a+r_p}{2}=6531km$$

半通径

$$p=a\cdot (1-e^2)=6520.62km$$

关机点到地心的距离

$$r_k=\frac{p}{1+e\cdot cosf}=6545.72km$$

关机点的海拔高度为

$$h_k=r_k-R=174.72km$$

关机点的速度大小

$$V_k=\sqrt{\frac{\mu }{p}(1+2\cdot e \cdot cosf+e^2))}=7.79km/s$$

关机点弹道倾角为(弹道倾角:速度方向与当地水平面的夹角)

$$tan\Theta =\frac{e\cdot sinf}{1+e\cdot cosf}=6.67/time 10^{-3},\Theta=0.38^{\circ}$$


所以想要获得所需轨道,只需在距地面174.72千米处,使得关机点的速度为7.79千米每秒,速度与当地水平面的夹角为0.38度即可。


可能有人会奇怪,为什么关机点速度小于7.9km/s?这是因为7.9km/s是第一宇宙速度,也是成为人造卫星的最大速度,即人造卫星贴地飞行时速度是7.9km/s。事实上卫星距离地面越远,则速度越慢。举个极端例子,近地轨道卫星一天能绕地球十几圈,而同步轨道上的卫星几乎相对地面静止。




五、小结


(1)火箭入轨后的轨道唯一取决于主动段关机点的参数。

(2)可以根据椭圆轨道的参数计算出关机点的参数。

(3)通过设计火箭主动段弹道,即可实现火箭进入预定轨道。

(4)控制的过程是,(a)首先火箭垂直起飞,以最快速度离开稠密的底层大气,减少能量消耗。(b)然后进行程序转弯,在跨声速段,保持攻角为零,避免火箭受气动力过大导致结构破坏,最后要转弯到指定的弹道倾角,并保持这个角度。(c)当火箭加速到关机速度时,执行关机指令,发动机关机。启动反推火箭,星箭分离,卫星进入轨道。

(5)注意设计的椭圆轨道不应与地面有交点,会变成弹道导弹的,会砸到人的




END


2020/06/20 18:41 修改:补一个仿真结果

1.jpg

图1 另一个帖子里的程序的仿真结果,0刻度的水平线左右两侧分别是近地点和远地点。因为绘图原因,显示略有干扰。


2.jpg

图2 参数和图1一致,只是对绘图结果进行了调整,方便观察。近地点与关机点(图中发射点)的夹角为设计值120deg。


3.jpg

图3 右侧远地点的放大结果。到地面的距离刚好是100km卡门线的2倍,即200km远地点。


4.jpg

图4 左侧近地点的放大结果。与100km卡门线重合,对应于100km近地点。


通过数值仿真,说明了文中给出的计算公式的正确性。


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白晓
2年6个月前
3楼

一般来说...如果不是为了进入转移轨道都不会搞偏心率太大的椭圆轨道...

嗯,轨道不与地面相交原因只是因为砸到人...而且应该加一句近地点最好也不要在太低的位置,除非入轨之后立即抬升或者不再经过近地点。

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忆昔长别作者
2年6个月前
4楼

算的时候发现了,偏心率真是相当接近0,几乎是圆形轨道了。


我记得高纬度地区的通信卫星是大椭圆轨道,远地点运行很慢,近地点很快,可以保证星下点大部分时间都在高纬度地区。


远程火箭一级二级落点也是可以计算的,算好落点以免落到有人区,砸到人。



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Robot_V1
2年6个月前
5楼

玩过ksp就很容易理解了

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314152
2年6个月前
6楼
引用Robot_V1发表于5楼的内容
玩过ksp就很容易理解了

RSS/RO全家桶一装,人生更多精彩 21-24-50-296287.jpg


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忆昔长别作者
2年6个月前
7楼
引用Robot_V1发表于5楼的内容
玩过ksp就很容易理解了

感觉坎巴拉就是低配版本的stk。玩这样一个游戏也是相当不错的。

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dkhtt
2年6个月前
8楼

厉害,都开始计算轨道了

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zx-86504
1年8个月前
9楼

记得当时我都是自学这些的😂

推荐有个叫航天模拟器的手游,适宜作为ksp的入门版(二维的),玩这个就容易懂了。

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JoeyBoy
5个月7天前
10楼
引用忆昔长别发表于4楼的内容
算的时候发现了,偏心率真是相当接近0,几乎是圆形轨道了。我记得高纬度地区的通信卫星是大椭圆轨道,远地...

求教一二级火箭落点怎么算,谢谢了

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JoeyBoy
5个月5天前
11楼

楼主,我经过反复计算,认为您给出的求关机点速度的公式或者u的数值(3.986×10^14)其中一个或两个有问题!我将您的计算范例中的数据带入后,来来回回算了十来遍,与范例您的答案相差太大。后来用Wolfram Mathematica 12再算一遍,还是有很大误差。还有,您给出的求关机点速度的公式为何凭空多一半个括号?我怀疑里面有东西缺失。网络上未能检索到相关资料,所以我特此向您求教,如果是我的计算出现失误麻烦指出一下,我好好反省一下。谢谢!各位创友如有知道的也请不吝赐教,谢谢!上图:

Wolfram Mathematica 12计算结果:

2021-08-23_155544.png

数据用的全是您的,我自己也算了一下,都一样。

2021-08-23_160717.png

公式的问题:

2021-08-23_160438.png

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忆昔长别作者
5个月5天前
12楼
引用JoeyBoy发表于11楼的内容
楼主,我经过反复计算,认为您给出的求关机点速度的公式或者u的数值(3.986×10^14)其中一个或...

难得有人这么用心 sticker ,半夜爬起来写个回复

一、注意转换为国际单位再进行计算

其一,6520.62km=6520.62*1000m

其二,cos120°=cos(2*3.14/3)=-0.5

误算过程

Screenshot_2021_0824_003241.png

运算过程:

IMG_20210824_001058.jpg

二、多出来的半个括号是笔误,式子没有漏东西。

三、参考资料。

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX/item/%E8%88%AA%E5%A4%A9%E5%99%A8%E8%BD%A8%E9%81%93%E5%8A%A8%E5%8A%9B%E5%AD%A6/10153616

55ddd295e7448158515ce52ba1fa634922c19e878d61c4d73289efce4966a6e9.0.webp

第3章应该有相关内容(如果我没记错的话~)

Screenshot_2021_0824_002103.png

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JoeyBoy
5个月4天前
13楼
引用忆昔长别发表于12楼的内容
难得有人这么用心,半夜爬起来写个回复一、注意转换为国际单位再进行计算其一,6520.62km=652...

谢谢楼主

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JoeyBoy
5个月4天前
14楼

对了楼主,还有一个地方我认为您说错了,3.986×10^14这个应该是开普勒常数,不是地球引力常数,其单位是m^3/s^2。

图:

1.png 2.png 3.png

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TonyCheng
5个月4天前
15楼
引用JoeyBoy发表于14楼的内容
对了楼主,还有一个地方我认为您说错了,3.986×10^14这个应该是开普勒常数,不是地球引力常数,...

这就是你知识不够了...3.986*10^14是地心引力常数,地心引力常数和引力常量、开普勒常数根本不是一回事,而且你难道没发现开普勒常数和3.986*10^14在数值上也不相等么...

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JoeyBoy
5个月4天前
16楼
引用TonyCheng发表于15楼的内容
这就是你知识不够了...3.986*10^14是地心引力常数,地心引力常数和引力常量、开普勒常数根本...

我查了一下,确实。是我知识不足了。

顺便一说:那么这个东西打错了。

1.png

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JoeyBoy
4个月28天前
17楼

大佬,科创的这个公式编辑器分式的横线怎么弄

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